Matematikk S1 Eksamen våren 2026 (LK20) – løsningsforslag

Matematikk S1 - vår 2026 LK20

Komplett, kontrollert løsningsforslag for REA3060. Løsningene er skrevet for VGS-elever og privatister som vil se både metode, mellomregning, CAS-kontroll og programmering der det er relevant.

Del 1 - uten hjelpemidlerDel 2 - med hjelpemidlerFormatkontroll

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver \(g(x)=3x^2-5+\frac{3}{x-2}\).

Vis løsning

Skriv brøkleddet som potens:

\[g(x)=3x^2-5+3(x-2)^{-1}.\]

Da får vi

\[g'(x)=6x+3\cdot(-1)(x-2)^{-2}\cdot 1=6x-\frac{3}{(x-2)^2}.\] GeoGebra CAS / visuell kontroll 1 Derivative(3x^2-5+3/(x-2),x) \(6x-\frac{3}{(x-2)^2}\) Fasit: \(g\prime(x)=6x-\frac{3}{(x-2)^2}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Kjerneregel og logaritme

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver \(h(x)=(3x+2)^3+\ln(3x)\).

Vis løsning

For første ledd bruker vi kjerneregelen. Den indre funksjonen er \(3x+2\), og den deriverte er \(3\).

\[\frac{d}{dx}(3x+2)^3=3(3x+2)^2\cdot 3=9(3x+2)^2.\]

For logaritmeleddet får vi

\[\frac{d}{dx}\ln(3x)=\frac{1}{3x}\cdot 3=\frac{1}{x}.\] GeoGebra CAS / visuell kontroll 1 Derivative((3x+2)^3+ln(3x),x) \(9(3x+2)^2+\frac{1}{x}\) Fasit: \(h\prime(x)=9(3x+2)^2+\frac{1}{x}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Eksponentialfunksjon og nullpunkt

Oppgave 2a

Oppgave:

Funksjonen er \(f(x)=e^x(6-e^x)\). Bestem eventuelle nullpunkter.

Vis løsning

Et produkt er lik null når minst én faktor er null.

\[e^x(6-e^x)=0.\]

Faktoren \(e^x\) er alltid positiv, så vi må ha

\[6-e^x=0 \quad\Longrightarrow\quad e^x=6 \quad\Longrightarrow\quad x=\ln 6.\]

Da er funksjonsverdien \(0\).

Fasit: Nullpunktet er \((\ln 6,0)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Produktregel

Oppgave 2b

Oppgave:

Vis at \(f\prime(x)=2e^x(3-e^x)\).

Vis løsning

Først ganger vi ut funksjonen:

\[f(x)=e^x(6-e^x)=6e^x-e^{2x}.\]

Da blir den deriverte

\[f\prime(x)=6e^x-2e^{2x}.\]

Faktoriser uttrykket:

\[6e^x-2e^{2x}=2e^x(3-e^x).\] GeoGebra CAS / visuell kontroll 1 Factor(Derivative(exp(x)*(6-exp(x)),x)) \(2e^x(3-e^x)\) Fasit: \(f\prime(x)=2e^x(3-e^x)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2c Ekstremalpunkt

Oppgave 2c

Oppgave:

Bestem koordinatene til eventuelle topp- eller bunnpunkter.

Vis løsning

Vi setter den deriverte lik null:

\[2e^x(3-e^x)=0.\]

Siden \(2e^x>0\), må

\[3-e^x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\ln 3.\]

Funksjonsverdien blir

\[f(\ln 3)=e^{\ln 3}\left(6-e^{\ln 3}\right)=3(6-3)=9.\]

For \(x<\ln 3\) er \(3-e^x>0\), og for \(x>\ln 3\) er \(3-e^x<0\). Dermed går grafen fra stigende til avtagende.

Python 3 / kontrollkjøring

import sympy as sp x = sp.symbols('x') f = sp.exp(x)*(6 - sp.exp(x)) f_derivert = sp.diff(f, x) kritisk = sp.solve(sp.Eq(f_derivert, 0), x) verdi = [sp.simplify(f.subs(x, p)) for p in kritisk] andrederivert = sp.diff(f, x, 2) print("f'(x) =", sp.factor(f_derivert)) print("Kritiske x-verdier:", kritisk) print("Funksjonsverdier:", verdi) print("f''(ln(3)) =", sp.simplify(andrederivert.subs(x, sp.log(3)))) # Utskrift: # f'(x) = 2*exp(x)*(3 - exp(x)) # Kritiske x-verdier: [log(3)] # Funksjonsverdier: [9] # f''(ln(3)) = -18

Fasit: Toppunktet er \((\ln 3,9)\). Det finnes ikke noe bunnpunkt. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Logaritmer og potenser

Oppgave 3a

Oppgave:

Sorter uttrykkene i stigende rekkefølge: \(\log_2 8\), \(e^{3\ln 1}\), \(\lg 7\) og \(\sqrt[4]{33}\).

Vis løsning

Vi vurderer hvert uttrykk:

\[\log_2 8=3,\qquad e^{3\ln 1}=e^0=1.\]

Videre er \(\lg 7\approx 0{,}845\), og siden \(2^4=16\) og \(3^4=81\), ligger \(\sqrt[4]{33}\) mellom \(2\) og \(3\).

Python 3 / kontrollkjøring

import math verdier = { "lg(7)": math.log10(7), "e^(3*ln(1))": math.exp(3*math.log(1)), "fjerderot(33)": 33**(1/4), "log_2(8)": math.log(8, 2), } for navn, verdi in sorted(verdier.items(), key=lambda par: par[1]): print(f"{navn:14s} = {verdi:.6f}") # Utskrift: # lg(7) = 0.845098 # e^(3*ln(1)) = 1.000000 # fjerderot(33) = 2.396782 # log_2(8) = 3.000000

Fasit: \(\lg 7 Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b Logaritmeregler

Oppgave 3b

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\lg(ab)-\lg\left(\frac{a}{b}\right)+\lg(100b^3)\).

Vis løsning

Vi bruker logaritmereglene \(\lg(uv)=\lg u+\lg v\), \(\lg(u/v)=\lg u-\lg v\) og \(\lg(100)=2\): …