Matematikk S1 Eksamen våren 2021 – løsningsforslag

Matematikk S1 - Vår 2021

Komplett løsningsforslag til REA3026 Matematikk S1. Løsningene er skrevet på bokmål med ryddig MathJax, Python-kontroller og GeoGebra/CAS-kontroller.

Del 1 - uten digitale hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Andregradslikning

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs \(x^2-4x+4=0\).

Vis løsning Løsning:

Uttrykket er et fullstendig kvadrat:

\[x^2-4x+4=(x-2)^2\]

Dermed er \((x-2)^2=0\), og løsningen er \(x=2\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, factor x = symbols('x') uttrykk = x**2 - 4*x + 4 print('Faktorisert:', factor(uttrykk)) print('Løsninger:', solve(Eq(uttrykk, 0), x)) print('Kontroll ved x=2:', uttrykk.subs(x, 2)) # Faktorisert: (x - 2)**2 # Løsninger: [2] # Kontroll ved x=2: 0

GeoGebra CAS / grafisk kontroll 1 Factor(x^2 - 4x + 4) = (x - 2)^2 2 Solve((x - 2)^2 = 0) -> x = 2 Fasit: \(x=2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Nullprodukt

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs \(x(x-3)(x+2)=0\).

Vis løsning Løsning:

Et produkt er null dersom minst én faktor er null:

\[x=0 \quad \vee \quad x-3=0 \quad \vee \quad x+2=0\]

Vi får \(x=0\), \(x=3\) og \(x=-2\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve x = symbols('x') uttrykk = x*(x - 3)*(x + 2) print('Løsninger:', solve(Eq(uttrykk, 0), x)) for verdi in [-2, 0, 3]: print('x =', verdi, 'gir', uttrykk.subs(x, verdi)) # Løsninger: [-2, 0, 3] # alle kontrollverdiene gir 0

GeoGebra CAS / grafisk kontroll 1 Solve(x(x - 3)(x + 2) = 0) -> x = -2, 0, 3 Fasit: \(x\in\{-2,0,3\}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Logaritmelikning

Oppgave 1c

Oppgave:

Løs \(\lg(3-x)=2\).

Vis løsning Løsning:

Likningen betyr at \(3-x=10^2=100\). Derfor er \(-x=97\), altså \(x=-97\). Definisjonskravet \(3-x>0\) er oppfylt.

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, log x = symbols('x') losning = solve(Eq(log(3 - x, 10), 2), x) print('Løsning:', losning) print('Definisjonskrav:', 3 - losning[0] > 0) # Løsning: [-97] # Definisjonskrav: True

GeoGebra CAS / grafisk kontroll 1 Solve(log10(3 - x) = 2) -> x = -97 Fasit: \(x=-97\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Potenser

Oppgave 2a

Oppgave:

Forenkle \[\frac{(2a)^2\cdot(ab^3)^{-1}}{4ab^2\cdot(a^0b^{-1})^5}\]

Vis løsning Løsning:

Telleren blir \(4a^2\cdot a^{-1}b^{-3}=4ab^{-3}\). Nevneren blir \(4ab^2\cdot b^{-5}=4ab^{-3}\). Hele brøken blir derfor \(1\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify a, b = symbols('a b', nonzero=True) teller = (2*a)**2 * (a*b**3)**(-1) nevner = 4*a*b**2 * (a**0*b**(-1))**5 print('Teller:', simplify(teller)) print('Nevner:', simplify(nevner)) print('Brøk:', simplify(teller/nevner)) # Teller: 4*a/b**3 # Nevner: 4*a/b**3 # Brøk: 1

GeoGebra CAS / grafisk kontroll 1 Simplify(...) -> 1 Fasit: \(1\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Logaritmeregler

Oppgave 2b

Oppgave:

Forenkle \(\lg(16a)-\lg\left(\frac a2\right)+\lg\left(\frac a{32}\right)\).

Vis løsning Løsning:

Vi samler logaritmene:

\[\lg\left(\frac{16a\cdot a/32}{a/2}\right)=\lg(a)\]

Uttrykket er definert for \(a>0\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify a = symbols('a', positive=True) inni = (16*a)*(a/32)/(a/2) print('Inni samlet logaritme:', simplify(inni)) print('Svar: lg(a)') # Inni samlet logaritme: a # Svar: lg(a)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll 1 log(16a) - log(a/2) + log(a/32) -> log(a) Fasit: \(\lg a\), for \(a>0\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Likningssystem

Oppgave 3

Oppgave:

Finn samlet pris for én voksen og ett barn når \(2v+3b=860\) og \(3v+2b=940\).

Vis løsning Løsning:

Subtraksjon gir \(v-b=80\). Setter vi \(v=b+80\) inn i \(2v+3b=860\), får vi \(5b=700\), altså \(b=140\). Da er \(v=220\), og \(v+b=360\). …