Matematikk S1 Eksamen våren 2022 (K06) – løsningsforslag

Matematikk S1 eksamen vår 2022 K06 – løsningsforslag

Komplett bokmålsversjon med original ifingo-løsning. Hver deloppgave har metode, begrunnelse, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll og Python-kontroll med realistisk utskrift.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Andregradslikning

Oppgave 1a

Oppgave (2 poeng):

Løs likningen

\[\left(x+1\right)^2-16=0\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig metode, vise algebraen tydelig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Isoler kvadratet

Vi flytter konstantleddet over: \[\left(x+1\right)^2=16.\]

Steg 2 — Ta kvadratrot på begge sider

Når et kvadrat er lik 16, må uttrykket være \(4\) eller \(-4\): \[x+1=\pm 4.\]

Steg 3 — Løs de to lineære likningene

Fra \(x+1=4\) får vi \(x=3\). Fra \(x+1=-4\) får vi \(x=-5\).

Steg 4 — Kontroller ved innsetting

For \(x=3\) blir \(4^2-16=0\). For \(x=-5\) blir \((-4)^2-16=0\).

Tolkning

Likningen har to løsninger fordi et kvadrat kan ha både positiv og negativ rot.

Vanlig feil: Å bare ta \(x+1=4\) og miste løsningen \(x=-5\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs((x+1)^2-16=0) → \(x=-5\lor x=3\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify x = symbols('x') likning = Eq((x + 1)**2 - 16, 0) losninger = solve(likning, x) kontroll = [simplify((verdi + 1)**2 - 16) for verdi in losninger] print("Likning:", likning) print("Løsninger:", losninger) print("Kontroll ved innsetting:", kontroll)

Utskrift når koden kjøres:

Likning: Eq((x + 1)**2 - 16, 0) Løsninger: [-5, 3] Kontroll ved innsetting: [0, 0]

Fasit: \(x=-5\) eller \(x=3\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Eksponentiallikning

Oppgave 1b

Oppgave (2 poeng):

Løs likningen

\[2\cdot 10^{-3x}+3=2003\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig metode, vise algebraen tydelig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Isoler potensleddet

\[2\cdot 10^{-3x}=2000.\]

Steg 2 — Del på 2

\[10^{-3x}=1000.\]

Steg 3 — Skriv høyresiden som tierpotens

Siden \(1000=10^3\), får vi \[10^{-3x}=10^3.\]

Steg 4 — Sammenlikn eksponentene

Når grunntallet er det samme, må eksponentene være like: \(-3x=3\).

Steg 5 — Løs for \(x\)

\[x=-1.\]

Vanlig feil: Å ta logaritme for tidlig og gjøre avrundingsfeil i en likning som kan løses eksakt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(2*10^(-3x)+3=2003) → \(x=-1\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify x = symbols('x') likning = Eq(2*10**(-3*x) + 3, 2003) losning = solve(likning, x) kontroll = [simplify(2*10**(-3*verdi) + 3 - 2003) for verdi in losning] print("Likning:", likning) print("Løsning:", losning) print("Kontroll:", kontroll)

Utskrift når koden kjøres:

Likning: Eq(3 + 2*10**(-3*x), 2003) Løsning: [-1] Kontroll: [0]

Fasit: \(x=-1\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Logaritmelikning

Oppgave 1c

Oppgave (2 poeng):

Løs likningen

\[\left(\lg x\right)^2+2\lg x=\lg x+1\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig metode, vise algebraen tydelig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett hjelpevariabel

La \(u=\lg x\). Da blir likningen \(u^2+2u=u+1\).

Steg 2 — Samle alle ledd

\[u^2+u-1=0.\]

Steg 3 — Bruk abc-formelen

\[u=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot(-1)}}{2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.\]

Steg 4 — Gå tilbake til \(x\)

Siden \(u=\lg x\), får vi \[x=10^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\quad\text{eller}\quad x=10^{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}.\]

Steg 5 — Sjekk definisjonsmengden

Begge svar er positive, og logaritmene er derfor definert.

Vanlig feil: Å løse andregradslikningen for \(u\), men levere \(u\)-verdiene som om de var \(x\)-verdier.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs((log(10,x))^2+2log(10,x)=log(10,x)+1) → \(x=10^{\frac{-1-\sqrt5}{2}}\lor x=10^{\frac{-1+\sqrt5}{2}}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, sqrt, simplify u = symbols('u') likning_u = Eq(u**2 + 2*u, u + 1) los_u = solve(likning_u, u) los_x = [10**verdi for verdi in los_u] print("Likning for u = lg(x):", likning_u) print("u-verdier:", los_u) print("x-verdier:", los_x)

Utskrift når koden kjøres:

Likning for u = lg(x): Eq(u**2 + 2*u, u + 1) u-verdier: [-1/2 + sqrt(5)/2, -sqrt(5)/2 - 1/2] x-verdier: [10**(-1/2 + sqrt(5)/2), 10**(-sqrt(5)/2 - 1/2)]

Fasit: \(x=10^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\) eller \(x=10^{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Algebraisk forenkling

Oppgave 2a

Oppgave (2 poeng):

Skriv uttrykket så enkelt som mulig.

\[4\left(a+b\right)^2-\left(2b-a\right)^2-3a\left(a+2b\right)\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig metode, vise algebraen tydelig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Utvid første kvadrat

\[4\left(a+b\right)^2=4\left(a^2+2ab+b^2\right)=4a^2+8ab+4b^2.\]

Steg 2 — Utvid andre kvadrat

\[\left(2b-a\right)^2=a^2-4ab+4b^2.\]

Steg 3 — Husk minustegnet foran parentesen

Når vi trekker fra kvadratet, får vi \(-a^2+4ab-4b^2\).

Steg 4 — Utvid siste ledd

\[-3a\left(a+2b\right)=-3a^2-6ab.\]

Steg 5 — Samle like ledd

\[(4a^2-a^2-3a^2)+(8ab+4ab-6ab)+(4b^2-4b^2)=6ab.\]

Vanlig feil: Å glemme at hele \(\left(2b-a\right)^2\) skal trekkes fra, slik at fortegnene endres.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Utvid(4(a+b)^2-(2b-a)^2-3a(a+2b)) → \(6ab\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, expand, simplify a, b = symbols('a b') uttrykk = 4*(a + b)**2 - (2*b - a)**2 - 3*a*(a + 2*b) forenklet = simplify(expand(uttrykk)) print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk) print("Utvidet og forenklet:", forenklet) print("Kontroll mot 6*a*b:", simplify(forenklet - 6*a*b))

Utskrift når koden kjøres:

Opprinnelig uttrykk: -3*a*(a + 2*b) + 4*(a + b)**2 - (-a + 2*b)**2 Utvidet og forenklet: 6*a*b Kontroll mot 6*a*b: 0

Fasit: \(6ab\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Brøkuttrykk

Oppgave 2b

Oppgave (2 poeng):

Skriv uttrykket så enkelt som mulig.

\[\dfrac{4x}{x^2-4}-\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{2}{x-2}\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig metode, vise algebraen tydelig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Faktoriser nevneren

\[x^2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right).\]

Steg 2 — Finn fellesnevner

Fellesnevneren er \(\left(x-2\right)\left(x+2\right)\).

Steg 3 — Skriv alle brøkene over fellesnevner

\[\dfrac{4x-2\left(x-2\right)+2\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}.\]

Steg 4 — Forenkle telleren

\[4x-2x+4+2x+4=4x+8=4\left(x+2\right).\]

Steg 5 — Forkort felles faktor

\[\dfrac{4\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{4}{x-2},\quad x\ne \pm 2.\]

Vanlig feil: Å forkorte før alle leddene har fellesnevner. Det gir ofte feil fortegn i telleren.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle(4x/(x^2-4)-2/(x+2)+2/(x-2)) → \(\dfrac{4}{x-2}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify, factor, cancel x = symbols('x') uttrykk = 4*x/(x**2 - 4) - 2/(x + 2) + 2/(x - 2) forenklet = cancel(uttrykk) print("Nevner faktorisert:", factor(x**2 - 4)) print("Uttrykk:", uttrykk) print("Forenklet uttrykk:", forenklet) print("Kontroll:", simplify(uttrykk - 4/(x - 2)))

Utskrift når koden kjøres:

Nevner faktorisert: (x - 2)*(x + 2) Uttrykk: 4*x/(x**2 - 4) + 2/(x - 2) - 2/(x + 2) Forenklet uttrykk: 4/(x - 2) Kontroll: 0

Fasit: \(\dfrac{4}{x-2}\), der \(x\ne -2\) og \(x\ne 2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Lineær modell

Oppgave 3

Oppgave (3 poeng):

Magne har sommerjobb. Han tjener 150 kroner per time. Dersom han arbeider overtid, tjener han 250 kroner per time. En måned arbeider han til sammen 70 timer og tjener 13 500 kroner.

Hvor mange timer overtid jobber Magne denne måneden?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig metode, vise algebraen tydelig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Definer ukjent

La \(x\) være antall timer overtid. Da er \(70-x\) antall ordinære timer.

Steg 2 — Sett opp inntektslikningen

\[250x+150\left(70-x\right)=13\,500.\]

Steg 3 — Regn ut parentesen

\[250x+10\,500-150x=13\,500.\]

Steg 4 — Samle \(x\)-leddene

\[100x=3\,000.\]

Steg 5 — Løs for \(x\)

\[x=30.\]

Tolkning

Magne arbeidet 30 timer overtid og \(40\) timer vanlig arbeid. …