Matematikk S1 Eksamen høsten 2015 – løsningsforslag

Matematikk S1 eksamen Høst 2015 – løsningsforslag

Fullstendig originalt løsningsforslag på bokmål. Del 1 og Del 2 er skilt, og hver deloppgave har metode, regning, tolkning, vanlig feil og digital kontroll der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a andregradslikning

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs likningen \(2x^2-3x=0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Faktoriser felles faktor

Begge leddene har faktoren \(x\), derfor kan vi skrive \[2x^2-3x=x\left(2x-3\right).\]

Steg 2 — Bruk nullproduktregelen

Når et produkt er null, må minst én faktor være null: \[x\left(2x-3\right)=0.\]

Steg 3 — Løs første faktor

Den første muligheten er \[x=0.\]

Steg 4 — Løs andre faktor

Den andre muligheten er \[2x-3=0 \Rightarrow x=\dfrac{3}{2}.\]

Steg 5 — Kontroller i likningen

Setter vi inn \(0\) eller \(\dfrac{3}{2}\), blir venstresiden \(0\).

Tolkning

Likningen har to løsninger fordi uttrykket kan bli null på to måter.

Vanlig feil: Å dele hele likningen på \(x\). Da mister man løsningen \(x=0\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(2x^2-3x=0) → \(x=0 \lor x=\dfrac{3}{2}\)

Python

from sympy import symbols, solve x = symbols("x") print(solve(2*x**2 - 3*x, x))

Fasit: \(x=0\) eller \(x=\dfrac{3}{2}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b eksponentiallikning

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningen \(2^{3x+1}=4^{17}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Skriv alt med samme grunntall

Siden \(4=2^2\), får vi \[4^{17}=\left(2^2\right)^{17}=2^{34}.\]

Steg 2 — Sammenlikn potenser

Likningen blir \[2^{3x+1}=2^{34}.\]

Steg 3 — Sett eksponentene like

Når grunntallet er likt og positivt ulik \(1\), må eksponentene være like: \[3x+1=34.\]

Steg 4 — Løs lineært

Vi får \[3x=33 \Rightarrow x=11.\]

Steg 5 — Kontroller

Da er \(3x+1=34\), så begge sider er \(2^{34}\).

Tolkning

Eksponenten må være \(34\), og det skjer når \(x=11\).

Vanlig feil: Å skrive \(4^{17}=2^{17}\) i stedet for \(2^{34}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(2^(3x+1)=4^17) → \(x=11\)

Python

from sympy import symbols, solve, Eq x = symbols("x") print(solve(Eq(2**(3*x+1), 4**17), x))

Fasit: \(x=11\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c logaritmelikning

Oppgave 1c

Oppgave:

Løs likningen \(\lg\left(2x+2\right)=3+\lg 2\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Sjekk definisjonsmengden

Vi må ha \(2x+2>0\), altså \(x>-1\).

Steg 2 — Skriv \(3\) som logaritme

Fordi \(3=\lg 1000\), kan høyresiden skrives som \[\lg 1000+\lg 2.\]

Steg 3 — Bruk logaritmeregel

\[\lg 1000+\lg 2=\lg\left(1000\cdot 2\right)=\lg 2000.\]

Steg 4 — Sammenlikn argumentene

Likningen blir \[\lg\left(2x+2\right)=\lg 2000\Rightarrow 2x+2=2000.\]

Steg 5 — Løs og kontroller domenet

\[2x=1998\Rightarrow x=999.\] Verdien ligger i definisjonsmengden \(x>-1\).

Tolkning

Løsningen er gyldig fordi logaritmeuttrykket er definert for denne verdien.

Vanlig feil: Å glemme definisjonsmengden før man bruker logaritmereglene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(log10(2x+2)=3+log10(2)) → \(x=999\)

Python

from sympy import symbols, solve, log, Eq x = symbols("x") print(solve(Eq(log(2*x + 2, 10), 3 + log(2, 10)), x))

Fasit: \(x=999\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a algebra

Oppgave 2a

Oppgave:

Skriv uttrykket så enkelt som mulig: \(\dfrac{8a^3\left(a^{-1}b\right)^2}{\left(2ab\right)^2}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Regn ut potensen i telleren

\[\left(a^{-1}b\right)^2=a^{-2}b^2.\]

Steg 2 — Forenkle telleren

\[8a^3\cdot a^{-2}b^2=8ab^2.\]

Steg 3 — Regn ut nevneren

\[\left(2ab\right)^2=4a^2b^2.\]

Steg 4 — Sett sammen brøken

\[\dfrac{8ab^2}{4a^2b^2}.\]

Steg 5 — Forkort felles faktorer

\[\dfrac{8ab^2}{4a^2b^2}=\dfrac{2}{a}.\]

Tolkning

Uttrykket kan ikke forenkles mer når \(a e 0\) og \(b e 0\).

Vanlig feil: Å glemme at \(a^{-1}\) også skal opphøyes i \(2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle(8a^3(a^(-1)b)^2/(2ab)^2) → \(\dfrac{2}{a}\)

Python

from sympy import symbols, simplify a,b = symbols("a b", nonzero=True) expr = 8*a**3*(a**-1*b)**2/(2*a*b)**2 print(simplify(expr))

Fasit: \(\dfrac{2}{a}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b algebra

Oppgave 2b

Oppgave:

Skriv uttrykket så enkelt som mulig: \(\left(x+y\right)\left(x-y\right)+\left(y+x\right)\left(y-x\right)-\left(x+y\right)\left(x-y\right)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Se felles uttrykk

La \(A=\left(x+y\right)\left(x-y\right)\).

Steg 2 — Skriv om andre produkt

Siden \(y+x=x+y\) og \(y-x=-\left(x-y\right)\), er \[\left(y+x\right)\left(y-x\right)=-A.\]

Steg 3 — Sett inn med \(A\)

Uttrykket blir \[A+\left(-A\right)-A=-A.\]

Steg 4 — Sett tilbake

\[-A=-\left(x+y\right)\left(x-y\right).\]

Steg 5 — Bruk konjugatsetningen

\[-\left(x^2-y^2\right)=y^2-x^2.\]

Tolkning

Det midterste produktet skifter fortegn fordi \(y-x=-\left(x-y\right)\).

Vanlig feil: Å behandle \(y-x\) som det samme som \(x-y\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle((x+y)(x-y)+(y+x)(y-x)-(x+y)(x-y)) → \(y^2-x^2\)

Python

from sympy import symbols, expand, simplify x,y = symbols("x y") expr = (x+y)*(x-y)+(y+x)*(y-x)-(x+y)*(x-y) print(simplify(expand(expr)))

Fasit: \(y^2-x^2\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 likningssystem

Oppgave 3

Oppgave:

Løs likningssystemet \[\begin{cases}2x^2+x+y=7\3x+y=-5\end{cases}\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Isoler \(y\) i den lineære likningen

Fra \(3x+y=-5\) får vi \[y=-5-3x.\]

Steg 2 — Sett inn i den andre likningen

\[2x^2+x+\left(-5-3x\right)=7.\]

Steg 3 — Samle ledd

\[2x^2-2x-12=0.\]

Steg 4 — Del på \(2\) og faktoriser

\[x^2-x-6=0=\left(x-3\right)\left(x+2\right).\]

Steg 5 — Finn \(x\)-verdiene

\[x=3 \quad \text{eller} \quad x=-2.\]

Steg 6 — Finn tilhørende \(y\)-verdier

Når \(x=3\), er \(y=-14\). Når \(x=-2\), er \(y=1\).

Tolkning

Systemet har to løsninger fordi en rett linje kan skjære en parabel i to punkter.

Vanlig feil: Å stoppe etter \(x\)-verdiene uten å finne \(y\)-verdiene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs({2x^2+x+y=7,3x+y=-5},{x,y}) → \(\left\{\left(x=3,y=-14\right),\left(x=-2,y=1\right)\right\}\)

Python

from sympy import symbols, solve x,y = symbols("x y") print(solve([2*x**2 + x + y - 7, 3*x + y + 5], [x, y]))

Fasit: \(\left(3,-14\right)\) og \(\left(-2,1\right)\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 ulikhet

Oppgave 4

Oppgave:

Løs ulikheten \(-3\left(x-2\right)\left(x+1\right)<0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne svaret systematisk, vise metoden og kontrollere at resultatet stemmer.

Steg 1 — Del på negativ faktor

Når vi deler på \(-3\), må ulikhetstegnet snus: \[\left(x-2\right)\left(x+1\right)>0.\]

Steg 2 — Finn nullpunktene

Faktorene er null når \[x=2 \quad \text{og} \quad x=-1.\]

Steg 3 — Del tallinjen i intervaller

Intervallene er \(x<-1\), \(-1 2\).

Steg 4 — Vurder fortegn

Produktet er positivt når faktorene har samme fortegn, altså utenfor nullpunktene.

Steg 5 — Husk streng ulikhet

Siden ulikheten er streng, skal \(-1\) og \(2\) ikke være med. …