Matematikk S1 Eksamen våren 2014 – løsningsforslag

Matematikk S1 eksamen Vår 2014 – løsningsforslag

Komplett ifingo-løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave har transkribert oppgavetekst, trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll og Python-kontroll med nøytral kodevisning.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Likning andregrad

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs likningen \(-x^2+3x-3=3-2x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Samle alt på én side

Vi flytter alle ledd til venstre side slik at høyre side blir null: \[-x^2+3x-3-3+2x=0\]

Steg 2 — Trekk sammen like ledd

Da får vi \[-x^2+5x-6=0\]

Steg 3 — Gjør fortegnet enklere

Vi multipliserer hele likningen med \(-1\): \[x^2-5x+6=0\]

Steg 4 — Faktoriser andregradsuttrykket

Vi leter etter to tall med produkt \(6\) og sum \(-5\): \[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\]

Steg 5 — Bruk nullproduktregelen

Når \((x-2)(x-3)=0\), må én av faktorene være null. Derfor er \[x=2 \quad ext{eller} \quad x=3\]

Tolkning

Begge verdiene gjør venstre og høyre side like store i den opprinnelige likningen.

Vanlig feil: Å glemme at fortegnet endres når hele likningen multipliseres med \(-1\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(-x^2+3x-3=3-2x) → \(x=2 \lor x=3\) 2 Faktoriser(x^2-5x+6) → \((x-2)(x-3)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, factor, simplify x = symbols('x') likning = Eq(-x**2 + 3*x - 3, 3 - 2*x) standardform = simplify(likning.lhs - likning.rhs) print("Standardform:", standardform) print("Faktorisert form:", factor(standardform)) print("Løsninger:", solve(likning, x)) for verdi in solve(likning, x): print("Kontroll x =", verdi, "gir", likning.lhs.subs(x, verdi), "=", likning.rhs.subs(x, verdi))

Fasit: \(x=2\) eller \(x=3\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Logaritmelikning

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningen \(\lg(x+2)=2\lg x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

Siden \(\lg x\) står i likningen, må \(x>0\). Dessuten er da \(x+2>0\).

Steg 2 — Bruk logaritmeregelen

Vi bruker \(2\lg x=\lg(x^2)\). Da blir likningen \[\lg(x+2)=\lg(x^2)\]

Steg 3 — Sammenlikn argumentene

Når logaritmene med samme grunntall er like, er argumentene like: \[x+2=x^2\]

Steg 4 — Løs andregradslikningen

Vi får \[x^2-x-2=0=(x-2)(x+1)\]

Steg 5 — Kontroller definisjonsmengden

Kandidatene er \(x=2\) og \(x=-1\), men \(x=-1\) er ikke lov fordi \(x>0\).

Tolkning

Bare \(x=2\) ligger i definisjonsmengden og kan derfor være svar.

Vanlig feil: Å ta med \(x=-1\) selv om \(\lg x\) ikke er definert for negative tall.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(lg(x+2)=2*lg(x)) → \(x=2\) 2 x^2-x-2 → \((x-2)(x+1)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, log, simplify x = symbols('x', positive=True) likning = Eq(log(x + 2, 10), 2*log(x, 10)) polynomlikning = Eq(x + 2, x**2) print("Etter logaritmeregelen får vi:", polynomlikning) print("Løsninger i polynomlikningen:", solve(polynomlikning, x)) for verdi in solve(polynomlikning, x): if verdi > 0: print("Lovlig løsning:", verdi) print("Venstre side:", simplify(log(verdi + 2, 10))) print("Høyre side:", simplify(2*log(verdi, 10)))

Fasit: \(x=2\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Logaritmeregler

Oppgave 2

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \[2\lg\left(\dfrac{a^2}{b^2}\right)+3\lg\left(\dfrac{b^2}{a}\right)+\lg\left(\dfrac{b}{a}\right)\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Flytt koeffisientene opp som eksponenter

Vi bruker regelen \(r\lg u=\lg(u^r)\): \[\lg\left(\left(\dfrac{a^2}{b^2}\right)^2\right)+\lg\left(\left(\dfrac{b^2}{a}\right)^3\right)+\lg\left(\dfrac{b}{a}\right)\]

Steg 2 — Samle logaritmene

Summen av logaritmer blir logaritmen til produktet: \[\lg\left(\dfrac{a^4}{b^4}\cdot \dfrac{b^6}{a^3}\cdot \dfrac{b}{a}\right)\]

Steg 3 — Tell potenser av \(a\)

Eksponenten til \(a\) blir \(4-3-1=0\), altså forsvinner \(a\)-faktoren.

Steg 4 — Tell potenser av \(b\)

Eksponenten til \(b\) blir \(-4+6+1=3\). Derfor står vi igjen med \[\lg(b^3)\]

Steg 5 — Skriv eventuelt med faktor foran

Siden \(\lg(b^3)=3\lg b\), er begge former likeverdige.

Tolkning

Uttrykket avhenger bare av \(b\), ikke av \(a\), når alle potensene er trukket sammen.

Vanlig feil: Å forkorte inne i logaritmer uten å bruke potensreglene systematisk.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle(2*lg(a^2/b^2)+3*lg(b^2/a)+lg(b/a)) → \(\lg(b^3)\) 2 lg(b^3) → \(3\lg b\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, simplify, expand_log a, b = symbols('a b', positive=True) uttrykk = 2*log(a**2/b**2, 10) + 3*log(b**2/a, 10) + log(b/a, 10) samlet = log((a**2/b**2)**2 * (b**2/a)**3 * (b/a), 10) print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk) print("Samlet som én logaritme:", samlet) print("Forenklet argument:", simplify((a**2/b**2)**2 * (b**2/a)**3 * (b/a))) print("Forenklet logaritme:", simplify(samlet)) print("Utvidet form:", expand_log(simplify(samlet), force=True))

Fasit: \(\lg(b^3)=3\lg b\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Algebra

Oppgave 3a

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(2(a+b)^2-2(a-b)^2\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Faktoriser ut felles faktor

Begge ledd har faktoren \(2\): \[2\left((a+b)^2-(a-b)^2\right)\]

Steg 2 — Utvid første kvadrat

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

Steg 3 — Utvid andre kvadrat

\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

Steg 4 — Trekk uttrykkene fra hverandre

\[(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab\]

Steg 5 — Multipliser med \(2\)

Dermed får vi \[2\cdot 4ab=8ab\]

Tolkning

Uttrykket blir et rent produktledd. Kvadratleddene kansellerer hverandre.

Vanlig feil: Å glemme parentesen når \((a-b)^2\) trekkes fra.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Utvid(2*(a+b)^2-2*(a-b)^2) → \(8ab\) 2 Forenkle(2*(a+b)^2-2*(a-b)^2) → \(8ab\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, expand, simplify a, b = symbols('a b') uttrykk = 2*(a + b)**2 - 2*(a - b)**2 print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk) print("Utvidet uttrykk:", expand(uttrykk)) print("Forenklet uttrykk:", simplify(uttrykk))

Fasit: \(8ab\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b Potenser

Oppgave 3b

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \[\dfrac{a^{-4}\cdot b^2\cdot a^3}{\left(a^2\cdot b\right)^{-3}\cdot a^0}\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Bruk \(a^0=1\)

Nevneren inneholder \(a^0=1\), så denne faktoren påvirker ikke verdien.

Steg 2 — Forenkle telleren

I telleren er \(a^{-4}\cdot a^3=a^{-1}\). Telleren blir \[a^{-1}b^2\]

Steg 3 — Forenkle potensen i nevneren

\[\left(a^2b\right)^{-3}=a^{-6}b^{-3}\]

Steg 4 — Del potenser med samme grunntall

\[\dfrac{a^{-1}b^2}{a^{-6}b^{-3}}=a^{-1-(-6)}b^{2-(-3)}\]

Steg 5 — Regn ut eksponentene

Da får vi \[a^5b^5\]

Tolkning

Svaret viser at negative eksponenter ikke betyr negative tall, men plassering i brøk.

Vanlig feil: Å behandle \((a^2b)^{-3}\) som \(a^{-6}b\) og glemme at også \(b\) får eksponenten \(-3\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle((a^(-4)*b^2*a^3)/((a^2*b)^(-3)*a^0)) → \(a^5b^5\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify, expand_power_base a, b = symbols('a b', nonzero=True) uttrykk = (a**(-4)*b**2*a**3)/((a**2*b)**(-3)*a**0) print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk) print("Forenklet uttrykk:", simplify(uttrykk)) print("Kontroll ved a=2, b=3:") print("Opprinnelig verdi:", uttrykk.subs({a: 2, b: 3})) print("Forenklet verdi:", (a**5*b**5).subs({a: 2, b: 3}))

Fasit: \(a^5b^5\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4a Rasjonal funksjon

Oppgave 4a

Oppgave:

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved \[f(x)=\dfrac{ax+b}{x-1},\qquad D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\] Grafen til \(f\) skjærer \(x\)-aksen i \(x=3\) og \(y\)-aksen i \(y=6\). Bestem \(a\) og \(b\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden som gir poeng, kontrollere svaret digitalt og peke på en typisk feil.

Steg 1 — Bruk skjæring med \(x\)-aksen

Når grafen skjærer \(x\)-aksen i \(x=3\), er \(f(3)=0\). Dermed må telleren være null: \[3a+b=0\]

Steg 2 — Bruk skjæring med \(y\)-aksen

Når grafen skjærer \(y\)-aksen i \(y=6\), er \(f(0)=6\).

Steg 3 — Sett inn \(x=0\)

\[f(0)=\dfrac{a\cdot 0+b}{0-1}=\dfrac{b}{-1}=-b\]

Steg 4 — Finn \(b\)

Siden \(-b=6\), får vi \[b=-6\]

Steg 5 — Finn \(a\)

Sett \(b=-6\) inn i \(3a+b=0\): \[3a-6=0\Rightarrow a=2\] …