Matematikk S1 Eksamen våren 2009 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk S1

Matematikk S1 eksamen vår 2009 – løsningsforslag

Komplett løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave har transkribert oppgavetekst, trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil og digital kontroll med GeoGebra CAS og Python der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a 1 Algebra og brøkuttrykk

Oppgave 1a 1

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\dfrac{x^2}{\left(x-1\right)^2}-\dfrac{2}{x-1}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Finn fellesnevner

Nevnerne er \(\left(x-1\right)^2\) og \(x-1\). Fellesnevneren er derfor \(\left(x-1\right)^2\).

Steg 2 — Utvid den andre brøken

Vi ganger teller og nevner i den andre brøken med \(x-1\): \[\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2}\]

Steg 3 — Trekk sammen tellerne

\[\dfrac{x^2}{\left(x-1\right)^2}-\dfrac{2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2}=\dfrac{x^2-2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2}\]

Steg 4 — Forenkle telleren

\[x^2-2\left(x-1\right)=x^2-2x+2\]

Steg 5 — Skriv svaret med betingelse

Siden nevneren ikke kan være null, må \(x\ne 1\).

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Vanlig feil: Å trekke sammen brøker uten fellesnevner, eller å glemme at \(x=1\) ikke er lov.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 x^2/(x-1)^2-2/(x-1) → \(\dfrac{x^2-2x+2}{\left(x-1\right)^2}\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, simplify, factor x = symbols('x') uttrykk = x**2/(x - 1)**2 - 2/(x - 1) forenklet = simplify(uttrykk) definisjon = 'x != 1' print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk) print('Forenklet uttrykk:', forenklet) print('Faktorisert teller:', factor((x - 1)**2 * forenklet)) print('Betingelse:', definisjon) print('Kontroll ved x = 3:') print('Opprinnelig:', uttrykk.subs(x, 3)) print('Forenklet:', forenklet.subs(x, 3)) # Utskrift: # Opprinnelig uttrykk: -2/(x - 1) + x**2/(x - 1)**2 # Forenklet uttrykk: (x**2 - 2*x + 2)/(x - 1)**2 # Faktorisert teller: x**2 - 2*x + 2 # Betingelse: x != 1 # Kontroll ved x = 3: # Opprinnelig: 5/4 # Forenklet: 5/4

Fasit: \(\dfrac{x^2-2x+2}{\left(x-1\right)^2}\), der \(x\ne 1\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1a 2 Potensregler

Oppgave 1a 2

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\dfrac{\left(2a^2\right)^2\cdot b}{a^3\cdot b^{-2}}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Regn ut potensen i telleren

\[\left(2a^2\right)^2=2^2\cdot \left(a^2\right)^2=4a^4\]

Steg 2 — Sett dette inn i uttrykket

\[\dfrac{\left(2a^2\right)^2\cdot b}{a^3\cdot b^{-2}}=\dfrac{4a^4b}{a^3b^{-2}}\]

Steg 3 — Bruk potensregelen for samme grunntall

\[\dfrac{a^4}{a^3}=a^{4-3}=a\]

Steg 4 — Behandle \(b\)-potensene

\[\dfrac{b^1}{b^{-2}}=b^{1-\left(-2\right)}=b^3\]

Steg 5 — Samle faktorene

\[\dfrac{4a^4b}{a^3b^{-2}}=4ab^3\]

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Vanlig feil: Å glemme at \(b^{-2}\) står i nevneren. Å dele på \(b^{-2}\) øker eksponenten med \(2\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 ((2*a^2)^2*b)/(a^3*b^(-2)) → \(4ab^3\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, simplify a, b = symbols('a b') uttrykk = ((2*a**2)**2 * b)/(a**3 * b**(-2)) forenklet = simplify(uttrykk) print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk) print('Forenklet uttrykk:', forenklet) print('Kontroll ved a = 2, b = 3:') print('Opprinnelig:', uttrykk.subs({a: 2, b: 3})) print('Forenklet:', forenklet.subs({a: 2, b: 3})) # Utskrift: # Opprinnelig uttrykk: 4*a*b**3 # Forenklet uttrykk: 4*a*b**3 # Kontroll ved a = 2, b = 3: # Opprinnelig: 216 # Forenklet: 216

Fasit: \(4ab^3\), for \(a\ne 0\) og \(b\ne 0\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b 1 Eksponentiallikning

Oppgave 1b 1

Oppgave:

Løs likningen \(2\cdot 10^{2x}=2000\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Isoler tierpotensen

Vi deler begge sider på \(2\): \[10^{2x}=1000\]

Steg 2 — Skriv \(1000\) som tierpotens

\[1000=10^3\]

Steg 3 — Sammenlikn eksponentene

Når grunntallet er likt, får vi \[2x=3\]

Steg 4 — Løs for \(x\)

\[x=\dfrac{3}{2}=1{,}5\]

Steg 5 — Kontroller ved innsetting

\[2\cdot 10^{2\cdot 1{,}5}=2\cdot 10^3=2000\]

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Vanlig feil: Å lese \(10^{2x}\) som \(10^2x\). Her står hele \(2x\) i eksponenten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(2*10^(2x)=2000,x) → \(x=\dfrac{3}{2}\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational x = symbols('x') likning = Eq(2*10**(2*x), 2000) losning = solve(likning, x) print('Likning:', likning) print('Løsning:', losning) print('Kontroll:') for verdi in losning: venstre = 2*10**(2*verdi) print('x =', verdi, 'gir venstre side =', venstre) print('Forventet høyre side =', 2000) # Utskrift: # Likning: Eq(2*10**(2*x), 2000) # Løsning: [3/2] # Kontroll: # x = 3/2 gir venstre side = 2000 # Forventet høyre side = 2000

Fasit: \(x=\dfrac{3}{2}=1{,}5\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b 2 Logaritmelikning

Oppgave 1b 2

Oppgave:

Løs likningen \(\lg\left(x^2\right)+3\lg x-15=0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Sjekk definisjonsmengden

Siden \(\lg x\) inngår, må \(x>0\). Da er også \(x^2>0\).

Steg 2 — Bruk logaritmeregel

For \(x>0\) er \(\lg\left(x^2\right)=2\lg x\).

Steg 3 — Sett inn regelen

\[2\lg x+3\lg x-15=0\]

Steg 4 — Samle logaritmeleddene

\[5\lg x=15\]

Steg 5 — Løs logaritmelikningen

\[\lg x=3\Rightarrow x=10^3=1000\]

Steg 6 — Kontroller definisjonen

\(1000>0\), så løsningen er gyldig.

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven.

Vanlig feil: Å bruke \(\lg\left(x^2\right)=2x\). Det riktige er \(2\lg x\), ikke \(2x\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(lg(x^2)+3*lg(x)-15=0,x) → \(x=1000\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve, log, simplify x = symbols('x', positive=True) likning = Eq(log(x**2, 10) + 3*log(x, 10) - 15, 0) losning = solve(likning, x) print('Likning:', likning) print('Løsning:', losning) print('Kontroll:') for verdi in losning: verdi_i_likning = simplify(log(verdi**2, 10) + 3*log(verdi, 10) - 15) print('x =', verdi, 'gir venstre side =', verdi_i_likning) # Utskrift: # Likning: Eq(log(x**2)/log(10) + 3*log(x)/log(10) - 15, 0) # Løsning: [1000] # Kontroll: # x = 1000 gir venstre side = 0

Fasit: \(x=1000\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Andregradsfunksjon

Oppgave 1c

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f\left(x\right)=ax^2+bx+5\). Grafen går gjennom punktene \(\left(1,4\right)\) og \(\left(-1,8\right)\). Bruk opplysningene til å bestemme \(a\) og \(b\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi leser uttrykket eller modellen nøyaktig, velger riktig metode, regner stegvis, tolker svaret og kontrollerer digitalt.

Steg 1 — Bruk punktet \(\left(1,4\right)\)

At grafen går gjennom punktet betyr \(f\left(1\right)=4\): \[a\cdot 1^2+b\cdot 1+5=4\]

Steg 2 — Forenkle første likning

\[a+b=-1\]

Steg 3 — Bruk punktet \(\left(-1,8\right)\)

At grafen går gjennom punktet betyr \(f\left(-1\right)=8\): \[a\cdot \left(-1\right)^2+b\cdot \left(-1\right)+5=8\]

Steg 4 — Forenkle andre likning

\[a-b=3\]

Steg 5 — Løs likningssystemet

Legg sammen likningene: \[\left(a+b\right)+\left(a-b\right)=-1+3\Rightarrow 2a=2\Rightarrow a=1\]

Steg 6 — Finn \(b\)

Sett \(a=1\) inn i \(a+b=-1\): \[1+b=-1\Rightarrow b=-2\]

Tolkning

Svaret er vurdert mot definisjonsmengde, modellforutsetninger og størrelsesorden i oppgaven. …