Matematikk S1 Eksamen høsten 2011 – løsningsforslag

Matematikk S1 eksamen Høst 2011 – løsningsforslag

Komplett ifingo-løsningsforslag på bokmål. Oppgavene er transkribert fra Udir-PDF-en og løst med presise mellomregninger, tolkning, vanlige feil og digital kontroll.

REA3026 Matematikk S1 Høst 2011 Del 1 og Del 2

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 løses for hånd med algebra, derivasjon, ulikheter, fortegnslinje, likningssystem og kombinatorikk.

Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=2x^3-5x^2+2x+3\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(f\prime(x)\). Siden funksjonen er et polynom, kan vi derivere ledd for ledd.

Steg 1 — Potensregelen

For et ledd \(ax^n\) er den deriverte \(anx^{n-1}\).

Steg 2 — Deriver første ledd

\[(2x^3)\prime=2\cdot3x^2=6x^2\]

Steg 3 — Deriver andre ledd

\[(-5x^2)\prime=-5\cdot2x=-10x\]

Steg 4 — Deriver resten

\[(2x)\prime=2,\qquad 3\prime=0\]

Steg 5 — Sett sammen

\[f\prime(x)=6x^2-10x+2\]

Tolkning

Den deriverte er en andregradsfunksjon som beskriver momentan vekstfart til \(f\).

Vanlig feil: Å glemme at konstantleddet får derivert lik \(0\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Deriver(2*x^3-5*x^2+2*x+3) → \(6x^2-10x+2\)

💻 Python

from sympy import symbols, diff x = symbols('x') f = 2*x**3 - 5*x**2 + 2*x + 3 print(diff(f, x))

Fasit: \(f\prime(x)=6x^2-10x+2\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Likninger

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningene: 1) \(\dfrac{6x}{5}-2=\dfrac45+\dfrac{x}{2}\), 2) \(3x^2=18-3x\), 3) \(2\lg x+3=5\), 4) \(2\cdot3^x=54\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse fire ulike likningstyper: lineær likning med brøker, andregradslikning, logaritmelikning og eksponentiallikning.

Steg 1 — Likning 1: fjern brøkene

Fellesnevneren er \(10\):

\[10\left(\dfrac{6x}{5}-2\right)=10\left(\dfrac45+\dfrac{x}{2}\right)\]

\[12x-20=8+5x\]

\[7x=28\]

\[x=4\]

Steg 2 — Likning 2: samle alt på én side

\[3x^2=18-3x\]

\[3x^2+3x-18=0\]

\[x^2+x-6=0\]

\[(x+3)(x-2)=0\]

\[x=-3\quad \text{eller}\quad x=2\]

Steg 3 — Likning 3: isoler logaritmen

\[2\lg x+3=5\]

\[2\lg x=2\]

\[\lg x=1\]

\[x=10\]

Definisjonskravet \(x>0\) er oppfylt.

Steg 4 — Likning 4: isoler potensen

\[2\cdot3^x=54\]

\[3^x=27=3^3\]

\[x=3\]

Steg 5 — Kontroll

Innsetting gir likhet i alle fire opprinnelige likninger.

Tolkning

Hver likning løses med metoden som passer strukturen: brøk, faktor, logaritme og potens.

Vanlig feil: Å bruke samme metode mekanisk på alle likningene, for eksempel å ta logaritme der potensen kan leses direkte.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(6*x/5 - 2 = 4/5 + x/2) → \(x=4\) 2 Løs(3*x^2 = 18 - 3*x) → \(x=-3 \lor x=2\) 3 Løs(2*lg(x)+3=5) → \(x=10\) 4 Løs(2*3^x=54) → \(x=3\)

💻 Python

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational, log x = symbols('x') print(solve(Eq(6*x/5 - 2, Rational(4,5) + x/2), x)) print(solve(Eq(3*x**2, 18 - 3*x), x)) print(solve(Eq(2*log(x, 10) + 3, 5), x)) print(solve(Eq(2*3**x, 54), x))

Fasit: 1) \(x=4\), 2) \(x=-3\) eller \(x=2\), 3) \(x=10\), 4) \(x=3\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Skjæringspunkter

Oppgave 1c

Oppgave:

Bestem koordinatene til skjæringspunktene på grafene til funksjonene \(f(x)=x^2+x\) og \(g(x)=-x+3\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Skjæringspunkter finnes ved å sette funksjonsuttrykkene lik hverandre og deretter finne \(y\)-verdiene.

Steg 1 — Sett uttrykkene lik hverandre

\[x^2+x=-x+3\]

Steg 2 — Samle alt på én side

\[x^2+2x-3=0\]

Steg 3 — Faktoriser

\[x^2+2x-3=(x+3)(x-1)\]

Steg 4 — Finn \(x\)-verdiene

\[x=-3\quad \text{eller}\quad x=1\]

Steg 5 — Finn \(y\)-verdiene

\[g(-3)=6,\qquad g(1)=2\]

Tolkning

Grafene skjærer hverandre i to punkter: ett til venstre for \(y\)-aksen og ett til høyre.

Vanlig feil: Å bare oppgi \(x\)-verdiene. Oppgaven spør etter koordinater.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Skjæring(x^2+x,-x+3) → \((-3,6),(1,2)\)

💻 Python

from sympy import symbols, Eq, solve x = symbols('x') xs = solve(Eq(x**2 + x, -x + 3), x) print([(v, -v + 3) for v in xs])

Fasit: \((-3,6)\) og \((1,2)\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d Potensregning

Oppgave 1d

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: 1) \(\dfrac{2^2\cdot2\cdot2^3}{2^5\cdot2^{-2}}\) 2) \(\dfrac{(a^2\cdot b)^2\cdot a\cdot b^3}{a^3\cdot b^{-2}}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke potensreglene til å samle eksponenter i teller og nevner.

Steg 1 — Første uttrykk: skriv alle faktorer som potenser med grunntall 2

\[2=2^1\]

\[\dfrac{2^2\cdot2\cdot2^3}{2^5\cdot2^{-2}}=\dfrac{2^2\cdot2^1\cdot2^3}{2^5\cdot2^{-2}}\]

Steg 2 — Samle teller og nevner

\[\dfrac{2^{2+1+3}}{2^{5+(-2)}}=\dfrac{2^6}{2^3}\]

Steg 3 — Del potenser

\[\dfrac{2^6}{2^3}=2^{6-3}=2^3=8\]

Steg 4 — Andre uttrykk: regn ut parentesen

\[(a^2\cdot b)^2=a^4b^2\]

Steg 5 — Samle og forkort eksponenter

\[\dfrac{(a^2\cdot b)^2\cdot a\cdot b^3}{a^3\cdot b^{-2}}=\dfrac{a^4b^2\cdot a\cdot b^3}{a^3b^{-2}}=a^{5-3}b^{5-(-2)}=a^2b^7\]

Tolkning

Potensregning handler om å holde orden på grunntall og eksponenter, ikke om å multiplisere ut alt. …