Matematikk S1 Eksempeloppgave våren 2015 – løsningsforslag

Matematikk S1 eksempeloppgave vår 2015 – løsningsforslag

Kilde: Udir eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1, ny eksamensordning våren 2015. Løsningsforslaget er skrevet på bokmål med trinnvise forklaringer, CAS-kontroll og Python-kontroll.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a · 1 poeng Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Bestem \( f'(x) \) når \( f(x)=3x^2-4x+2 \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Deriver ledd for ledd

For polynomer bruker vi regelen \( (x^n)'=n\cdot x^{n-1} \).

Steg 2 — Deriver første ledd

\[ (3x^2)'=3\cdot 2x=6x \]

Steg 3 — Deriver andre ledd

\[ (-4x)'=-4 \] siden den deriverte av \(kx\) er \(k\).

Steg 4 — Deriver konstanten

\[ 2'=0 \] fordi en konstant ikke endrer seg.

Steg 5 — Sett sammen

\[ f'(x)=6x-4 \]

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Derivert(3x^2 - 4x + 2) → \(6x-4\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, simplify x = symbols('x') f = 3*x**2 - 4*x + 2 f_derivert = diff(f, x) print("Funksjon:", f) print("Derivert:", f_derivert) print("Kontroll, forenklet:", simplify(f_derivert - (6*x - 4)))

Fasit: \( f'(x)=6x-4 \). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b · 1 poeng Derivasjon

Oppgave 1b

Oppgave:

Bestem \( g'(2) \) når \( g(x)=3x^3-3 \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Finn den deriverte

\[ g'(x)=9x^2 \]

Steg 2 — Sett inn \(x=2\)

\[ g'(2)=9\cdot 2^2 \]

Steg 3 — Regn potensen

\[2^2=4\]

Steg 4 — Regn ferdig

\[g'(2)=9\cdot4=36\]

Steg 5 — Tolk stigningstallet

Tallet \(36\) er stigningstallet til tangenten når \(x=2\).

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Derivert(3x^3 - 3) → \(9x^2\) 2 SettInn(9x^2, x, 2) → \(36\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff x = symbols('x') g = 3*x**3 - 3 g_derivert = diff(g, x) verdi = g_derivert.subs(x, 2) print("g(x) =", g) print("g'(x) =", g_derivert) print("g'(2) =", verdi)

Fasit: \( g'(2)=36 \). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Algebra og potenser

Oppgave 2a

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \( \dfrac{2^{-1}\cdot a\cdot b^{-1}}{4^{-1}\cdot a^{-2}\cdot b^2} \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Del tallfaktorene

\[\dfrac{2^{-1}}{4^{-1}}=\dfrac{\frac12}{\frac14}=2\]

Steg 2 — Samle \(a\)-potenser

\[\dfrac{a}{a^{-2}}=a^{1-(-2)}=a^3\]

Steg 3 — Samle \(b\)-potenser

\[\dfrac{b^{-1}}{b^2}=b^{-1-2}=b^{-3}\]

Steg 4 — Skriv med positiv eksponent

\[b^{-3}=\dfrac{1}{b^3}\]

Steg 5 — Sett sammen

\[\dfrac{2^{-1}ab^{-1}}{4^{-1}a^{-2}b^2}=\dfrac{2a^3}{b^3}\]

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle((2^(-1)*a*b^(-1))/(4^(-1)*a^(-2)*b^2)) → \(\dfrac{2a^3}{b^3}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify a, b = symbols('a b', nonzero=True) uttrykk = (2**(-1)*a*b**(-1))/(4**(-1)*a**(-2)*b**2) forenklet = simplify(uttrykk) print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk) print("Forenklet uttrykk:", forenklet)

Fasit: \( \dfrac{2a^3}{b^3} \). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Logaritmer

Oppgave 2b

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \( \lg(a^2\cdot b)+\lg(a\cdot b^2)+\lg\left(\dfrac{a}{b^3}\right) \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Bruk produktregelen for logaritmer

Summen av logaritmer kan samles: \[\lg u+\lg v+\lg w=\lg(uvw)\]

Steg 2 — Sett sammen innholdet

\[\lg\left(a^2b\cdot ab^2\cdot \dfrac{a}{b^3}\right)\]

Steg 3 — Samle potenser av \(a\)

\[a^2\cdot a\cdot a=a^4\]

Steg 4 — Samle potenser av \(b\)

\[b\cdot b^2\cdot b^{-3}=b^{1+2-3}=b^0=1\]

Steg 5 — Forenkle logaritmen

\[\lg(a^4)=4\lg a\] for \(a>0\).

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 UtvidLog(lg(a^2*b)+lg(a*b^2)+lg(a/b^3)) → \(4\lg(a)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, simplify, expand_log a, b = symbols('a b', positive=True) uttrykk = log(a**2*b, 10) + log(a*b**2, 10) + log(a/b**3, 10) samlet = log(a**4, 10) print("Uttrykk:", uttrykk) print("Samlet form:", samlet) print("Utvidet:", expand_log(samlet, force=True))

Fasit: \(4\lg a\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2c Algebra

Oppgave 2c

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \( \dfrac{3a^2-75}{6a+30} \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Faktoriser telleren

\[3a^2-75=3(a^2-25)=3(a-5)(a+5)\]

Steg 2 — Faktoriser nevneren

\[6a+30=6(a+5)\]

Steg 3 — Forkort felles faktor

\[\dfrac{3(a-5)(a+5)}{6(a+5)}=\dfrac{a-5}{2}\]

Steg 4 — Husk betingelsen

Nevneren kan ikke være null, derfor må \(a e -5\).

Steg 5 — Skriv enkleste form

\[\dfrac{3a^2-75}{6a+30}=\dfrac{a-5}{2}\]

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle((3a^2-75)/(6a+30)) → \(\dfrac{a-5}{2}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor, cancel a = symbols('a') uttrykk = (3*a**2 - 75)/(6*a + 30) print("Faktorisert teller:", factor(3*a**2 - 75)) print("Faktorisert nevner:", factor(6*a + 30)) print("Forkortet uttrykk:", cancel(uttrykk)) print("Betingelse: a != -5")

Fasit: \( \dfrac{a-5}{2} \), der \(a e -5\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Konjugatsetningen

Oppgave 3a

Oppgave:

Bruk konjugatsetningen til å regne ut \( \dfrac{61^2-39^2}{51^2-49^2} \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Bruk konjugatsetningen

\[u^2-v^2=(u-v)(u+v)\]

Steg 2 — Faktoriser telleren

\[61^2-39^2=(61-39)(61+39)=22\cdot100\]

Steg 3 — Faktoriser nevneren

\[51^2-49^2=(51-49)(51+49)=2\cdot100\]

Steg 4 — Forkort

\[\dfrac{22\cdot100}{2\cdot100}=11\]

Steg 5 — Kontroller rimelighet

Telleren er elleve ganger så stor som nevneren.

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer.

Vanlig feil: Mange mister poeng ved å hoppe over betingelser, fortegn eller begrunnelse. Skriv derfor alltid hva du gjør og hvorfor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 ((61^2-39^2)/(51^2-49^2)) → \(11\)

Python-kontroll

from sympy import simplify uttrykk = (61**2 - 39**2)/(51**2 - 49**2) print("Teller:", 61**2 - 39**2) print("Nevner:", 51**2 - 49**2) print("Verdi:", simplify(uttrykk))

Fasit: \(11\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b Konjugatsetningen

Oppgave 3b

Oppgave:

Bruk konjugatsetningen til å regne ut \(1997\cdot2003-1993\cdot2007\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, begrunne metoden og kontrollere svaret digitalt der det er hensiktsmessig.

Steg 1 — Skriv rundt 2000

\[1997\cdot2003=(2000-3)(2000+3)\]

Steg 2 — Bruk konjugatsetningen

\[(2000-3)(2000+3)=2000^2-3^2\]

Steg 3 — Gjør det samme for andre produkt

\[1993\cdot2007=(2000-7)(2000+7)=2000^2-7^2\]

Steg 4 — Trekk fra

\[(2000^2-9)-(2000^2-49)=40\]

Steg 5 — Konkluder

Fellesleddet \(2000^2\) faller bort.

Tolkning

Svaret er skrevet i den formen som passer best til oppgavetypen, og kontrollen under viser at regningen stemmer. …