Matematikk S1 Eksempeloppgave våren 2007 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk S1

Matematikk S1 eksempelsett vår 2007 – løsningsforslag

Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål. Alle deloppgaver er transkribert, løst stegvis og kontrollert med GeoGebra CAS / Python der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \( f(x)=3x^3+2x^2-7 \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Identifiser leddene

Funksjonen består av et tredjegradsledd, et andregradsledd og en konstant.

Steg 2 — Bruk potensregelen

Potensregelen sier at \( \dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1} \).

Steg 3 — Deriver første ledd

\[ \dfrac{d}{dx}\left(3x^3\right)=3\cdot 3x^2=9x^2 \]

Steg 4 — Deriver andre ledd

\[ \dfrac{d}{dx}\left(2x^2\right)=2\cdot 2x=4x \]

Steg 5 — Deriver konstanten

Konstanten \( -7 \) har derivert lik \(0\).

Tolkning

Den deriverte forteller stigningstallet til grafen for hver verdi av \(x\).

Vanlig feil: Å glemme at konstantleddet forsvinner ved derivasjon.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Derivert(3x^3+2x^2-7) → \(9x^2+4x\)

💻 Python

from sympy import symbols, diff, simplify x = symbols('x') f = 3*x**3 + 2*x**2 - 7 f_derivert = diff(f, x) kontroll = simplify(f_derivert - (9*x**2 + 4*x)) print("Funksjon:", f) print("Derivert:", f_derivert) print("Kontroll mot forventet uttrykk:", kontroll) print("Kontroll lik 0 betyr at uttrykket stemmer.")

Fasit: \( f\prime(x)=9x^2+4x \) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Gjennomsnittlig veksthastighet

Oppgave 1b

Oppgave:

Bestem den gjennomsnittlige veksthastigheten til funksjonen \( f(x)=3-2x \) fra \(x=0\) til \(x=3\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Skriv formelen

Gjennomsnittlig veksthastighet på \([a,b]\) er \[ \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}. \]

Steg 2 — Finn startverdien

\[ f(0)=3-2\cdot 0=3 \]

Steg 3 — Finn sluttverdien

\[ f(3)=3-2\cdot 3=-3 \]

Steg 4 — Sett inn i formelen

\[ \dfrac{f(3)-f(0)}{3-0}=\dfrac{-3-3}{3}=-2 \]

Steg 5 — Kontroller med funksjonstypen

Siden funksjonen er lineær med stigningstall \(-2\), må gjennomsnittlig veksthastighet også være \(-2\).

Tolkning

Funksjonsverdien synker med 2 enheter når \(x\) øker med 1.

Vanlig feil: Å regne \(f(3)-f(0)\) uten å dele på intervallets lengde.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 f(x):=3-2x → \(f(x)=3-2x\) 2 ((f(3)-f(0))/(3-0)) → \(-2\)

💻 Python

from sympy import symbols, simplify x = symbols('x') f = 3 - 2*x start = 0 slutt = 3 f_start = f.subs(x, start) f_slutt = f.subs(x, slutt) gjennomsnittlig_vekst = simplify((f_slutt - f_start)/(slutt - start)) print("f(0) =", f_start) print("f(3) =", f_slutt) print("Gjennomsnittlig veksthastighet =", gjennomsnittlig_vekst)

Fasit: Gjennomsnittlig veksthastighet er \( -2 \). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Algebra

Oppgave 1c

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \( \dfrac{2x}{x^2-9}+\dfrac{3}{3x+9} \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Faktoriser nevnerne

\[ x^2-9=(x-3)(x+3), \qquad 3x+9=3(x+3) \]

Steg 2 — Forkort andre brøk

\[ \dfrac{3}{3x+9}=\dfrac{3}{3(x+3)}=\dfrac{1}{x+3} \]

Steg 3 — Finn fellesnevner

Fellesnevneren er \((x-3)(x+3)\).

Steg 4 — Utvid andre brøk

\[ \dfrac{1}{x+3}=\dfrac{x-3}{(x-3)(x+3)} \]

Steg 5 — Legg sammen tellerne

\[ \dfrac{2x}{(x-3)(x+3)}+\dfrac{x-3}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{3x-3}{(x-3)(x+3)} \]

Steg 6 — Faktoriser telleren

\[ \dfrac{3x-3}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{3(x-1)}{(x-3)(x+3)} \]

Tolkning

Uttrykket er definert når \(x eq -3\) og \(x eq 3\).

Vanlig feil: Å forkorte \(x^2-9\) som om det var \(x^2\) minus \(9\) hver for seg.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Simplify(2x/(x^2-9)+3/(3x+9)) → \(\dfrac{3(x-1)}{(x-3)(x+3)}\)

💻 Python

from sympy import symbols, factor, simplify x = symbols('x') uttrykk = 2*x/(x**2 - 9) + 3/(3*x + 9) forenklet = factor(simplify(uttrykk)) print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk) print("Faktorisert og forenklet:", forenklet) print("Ugyldige x-verdier: x = -3 og x = 3")

Fasit: \( \dfrac{3(x-1)}{(x-3)(x+3)} \), der \(x eq \pm 3\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d Potensregler

Oppgave 1d

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \( \dfrac{a^{-3}\cdot (ab)^2}{a\cdot b^{-1}} \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Utvid parentesen

\[ (ab)^2=a^2b^2 \]

Steg 2 — Multipliser tellerens potenser

\[ a^{-3}\cdot a^2b^2=a^{-1}b^2 \]

Steg 3 — Del på nevneren

\[ \dfrac{a^{-1}b^2}{ab^{-1}}=a^{-1}b^2\cdot a^{-1}b \]

Steg 4 — Samle potenser av samme bokstav

\[ a^{-1}a^{-1}b^2b=a^{-2}b^3 \]

Steg 5 — Skriv uten negativ eksponent

\[ a^{-2}b^3=\dfrac{b^3}{a^2} \]

Tolkning

Negativ eksponent betyr at faktoren flyttes til motsatt side av brøkstreken.

Vanlig feil: Å tolke \(b^{-1}\) som \(-b\). Det betyr \(1/b\), ikke negativt tall.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Simplify(a^(-3)*(a*b)^2/(a*b^(-1))) → \(\dfrac{b^3}{a^2}\)

💻 Python

from sympy import symbols, simplify, factor a, b = symbols('a b', nonzero=True) uttrykk = a**(-3) * (a*b)**2 / (a*b**(-1)) forenklet = simplify(uttrykk) print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk) print("Forenklet uttrykk:", forenklet) print("Kontroll faktorisert:", factor(forenklet))

Fasit: \( \dfrac{b^3}{a^2} \), for \(a eq 0\) og \(b eq 0\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1e Likningssystem

Oppgave 1e

Oppgave:

Løs likningssystemet \( ext{I: }x^2+6=y+5x\) og \( ext{II: }2x-y=-6\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Løs likning II for \(y\)

\[2x-y=-6 \quad \Rightarrow \quad y=2x+6\]

Steg 2 — Sett inn i likning I

\[x^2+6=(2x+6)+5x\]

Steg 3 — Forenkle likningen

\[x^2+6=7x+6 \quad \Rightarrow \quad x^2-7x=0\]

Steg 4 — Faktoriser

\[x(x-7)=0\]

Steg 5 — Finn \(x\)-verdiene

\[x=0 \quad ext{eller} \quad x=7\]

Steg 6 — Finn tilhørende \(y\)-verdier

\[y=2\cdot 0+6=6, \qquad y=2\cdot 7+6=20\]

Tolkning

Likningssystemet har to løsninger fordi en parabel og en rett linje kan skjære hverandre i to punkter.

Vanlig feil: Å finne bare én løsning etter faktorisering. Begge nullfaktorene må brukes.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs({x^2+6=y+5x, 2x-y=-6},{x,y}) → \((0,6), (7,20)\)

💻 Python

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify x, y = symbols('x y') likning_1 = Eq(x**2 + 6, y + 5*x) likning_2 = Eq(2*x - y, -6) losninger = solve((likning_1, likning_2), (x, y), dict=True) print("Likning 1:", likning_1) print("Likning 2:", likning_2) print("Løsninger:", losninger) for losning in losninger: venstre_1 = (x**2 + 6).subs(losning) hoyre_1 = (y + 5*x).subs(losning) venstre_2 = (2*x - y).subs(losning) print("Kontroll for", losning, ":", venstre_1, "=", hoyre_1, "og", venstre_2, "= -6")

Fasit: \((x,y)=(0,6)\) eller \((x,y)=(7,20)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1f Kombinatorikk

Oppgave 1f

Oppgave:

Regn ut \(\binom{8}{6}\). Forklar hvor i Pascals trekant du finner denne binomialkoeffisienten.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med et svar som kan sjekkes digitalt.

Steg 1 — Skriv formelen

\[\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}\]

Steg 2 — Sett inn \(n=8\) og \(r=6\)

\[\binom{8}{6}=\dfrac{8!}{6!2!}\]

Steg 3 — Forkort fakultetene

\[\dfrac{8\cdot 7\cdot 6!}{6!\cdot 2\cdot 1}=\dfrac{56}{2}=28\]

Steg 4 — Bruk symmetrien

\[\binom{8}{6}=\binom{8}{2}\]

Steg 5 — Knytt til Pascals trekant

I rad nummer 8 finner vi koeffisienten ved plass nummer 6 dersom vi teller første plass som 0.

Tolkning

Tallet 28 er antall måter å velge 6 elementer fra 8 elementer på. …