Matematikk S1 Eksamen høsten 2023 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk S1 · LK20

Matematikk S1 eksamen Høst 2023 – løsningsforslag

Originalt løsningsforslag på bokmål basert på Udir-settet REA3060. Hver deloppgave har transkribert oppgave, plan, trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll med realistisk kjøring.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 løses for hånd med eksakt regning, logaritmeregler, sannsynlighet, kontinuitet og tolkning av algoritme. Del 1 · Oppgave 1 Potensregning

Oppgave 1

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig. \[ \left(\dfrac{3a^2}{2b^3}\right)^2\cdot \left(\dfrac{a^2b^{-5}}{4}\right)^{-1} \]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Skill de to faktorene

Vi har ett uttrykk som skal opphøyes i 2, og ett uttrykk som skal opphøyes i \(-1\). Den negative eksponenten betyr at vi skal ta den inverse brøken.

Steg 2 — Regn ut første faktor

\[\left(\dfrac{3a^2}{2b^3}\right)^2=\dfrac{9a^4}{4b^6}.\]

Steg 3 — Regn ut andre faktor

\[\left(\dfrac{a^2b^{-5}}{4}\right)^{-1}=\dfrac{4}{a^2b^{-5}}=\dfrac{4b^5}{a^2}.\]

Steg 4 — Multipliser faktorene

\[\dfrac{9a^4}{4b^6}\cdot\dfrac{4b^5}{a^2}=\dfrac{9a^4b^5}{a^2b^6}.\]

Steg 5 — Forkort potenser med samme grunntall

\[\dfrac{9a^4b^5}{a^2b^6}=\dfrac{9a^{4-2}}{b^{6-5}}=\dfrac{9a^2}{b}.\]

Tolkning

Uttrykket blir enklest når alle potenser samles og forkortes systematisk. Svaret forutsetter at variablene som står i nevner ikke er null.

Vanlig feil: Å glemme at eksponenten \(-1\) gjelder hele brøken, ikke bare ett ledd.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle((3*a^2/(2*b^3))^2*((a^2*b^(-5))/4)^(-1)) → \(\dfrac{9a^2}{b}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify, factor # Vi lar a og b være symbolske variabler. nonzero=True hindrer at vi deler på null. a, b = symbols('a b', nonzero=True) forste_faktor = (3*a**2/(2*b**3))**2 andre_faktor = ((a**2*b**(-5))/4)**(-1) uttrykk = forste_faktor * andre_faktor fasit = 9*a**2/b print("Første faktor:", forste_faktor) print("Andre faktor:", andre_faktor) print("Produkt før forenkling:", uttrykk) print("Forenklet produkt:", simplify(uttrykk)) print("Kontroll uttrykk - fasit:", simplify(uttrykk - fasit)) print("Faktorisert fasit:", factor(fasit))

Fasit: \(\dfrac{9a^2}{b}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Logaritmer og eksponentialuttrykk

Oppgave 2

Oppgave:

Skriv uttrykkene nedenfor i stigende rekkefølge. \[2\ln e^3,\quad 3\lg 70,\quad e^{3\ln 2}\] Husk å begrunne svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Forenkle det første uttrykket

Siden \(\ln e^3=3\), får vi \[2\ln e^3=2\cdot3=6.\]

Steg 2 — Forenkle det tredje uttrykket

Vi bruker \(e^{\ln A}=A\): \[e^{3\ln 2}=e^{\ln 2^3}=2^3=8.\]

Steg 3 — Vurder \(3\lg70\)

Fordi \(10<70<100\), er \(1<\lg70<2\). Dermed er \(3<3\lg70<6\).

Steg 4 — Sammenlign mer presist

For å vite at \(3\lg70<6\), holder det å se at \(\lg70<2\), siden \(70<100\).

Steg 5 — Sett i stigende rekkefølge

Da får vi \[3\lg70<2\ln e^3

Tolkning

Det midterste uttrykket i oppgaveteksten er faktisk det minste, fordi titallslogaritmen til 70 er mindre enn 2.

Vanlig feil: Å blande \(\ln\) og \(\lg\), eller å tro at \(\lg70=70\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 N(3*log10(70)) → \(5{,}535\) 2 2*ln(e^3) → \(6\) 3 e^(3*ln(2)) → \(8\)

Python-kontroll

from sympy import E, log, N, simplify uttrykk_1 = 2*log(E**3) # 2 ln(e^3) uttrykk_2 = 3*log(70, 10) # 3 lg(70) uttrykk_3 = E**(3*log(2)) # e^(3 ln(2)) verdier = [ ("2 ln(e^3)", simplify(uttrykk_1), N(uttrykk_1)), ("3 lg(70)", simplify(uttrykk_2), N(uttrykk_2)), ("e^(3 ln(2))", simplify(uttrykk_3), N(uttrykk_3)), ] print("Verdier:") for navn, eksakt, desimal in verdier: print(f"{navn:12s} = {eksakt} ≈ {desimal}") print("Stigende rekkefølge:") for navn, eksakt, desimal in sorted(verdier, key=lambda rad: float(rad[2])): print(navn, "≈", desimal)

Fasit: \(3\lg70<2\ln e^3 Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Sannsynlighet og terninger

Oppgave 3a

Oppgave:

Du kaster tre terninger. Bestem sannsynligheten for at alle terningene viser forskjellig antall øyne.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Tell alle mulige utfall

Hver terning har 6 mulige utfall, så totalt er det \(6^3=216\) ordnede utfall.

Steg 2 — Tell gunstige utfall

Første terning kan vise hva som helst: 6 valg. Andre må være forskjellig: 5 valg. Tredje må være forskjellig fra begge de første: 4 valg.

Steg 3 — Multipliser valgene

Antall gunstige utfall er \[6\cdot5\cdot4=120.\]

Steg 4 — Lag sannsynlighetsbrøken

\[P=\dfrac{120}{216}.\]

Steg 5 — Forkort

\[\dfrac{120}{216}=\dfrac{5}{9}.\]

Tolkning

Sannsynligheten er litt over halvparten. Det er rimelig fordi tre terninger har nokså mange muligheter for å bli forskjellige.

Vanlig feil: Å telle kombinasjoner uten å ta hensyn til at terningene kan komme i ulike rekkefølger.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 6*5*4/6^3 → \(\dfrac{5}{9}\)

Python-kontroll

from fractions import Fraction from itertools import product alle_utsagn = list(product(range(1, 7), repeat=3)) gunstige = [kast for kast in alle_utsagn if len(set(kast)) == 3] print("Totalt antall ordnede utfall:", len(alle_utsagn)) print("Antall gunstige utfall:", len(gunstige)) print("Sannsynlighet:", Fraction(len(gunstige), len(alle_utsagn))) print("Desimalverdi:", len(gunstige)/len(alle_utsagn)) print("Eksempel på gunstige utfall:", gunstige[:8])

Fasit: \(\dfrac{5}{9}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b Sannsynlighet og komplement

Oppgave 3b

Oppgave:

Du kaster tre terninger. Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av terningene viser samme antall øyne.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk inndeling av utfall

For tre terninger finnes tre relevante typer: alle like, alle forskjellige, eller nøyaktig to like.

Steg 2 — Tell direkte

Velg tallet som skal komme to ganger: 6 valg. Velg hvilket av de tre kastene som skal være annerledes: 3 valg. Velg tallet på den siste terningen: 5 valg.

Steg 3 — Finn antall gunstige utfall

\[6\cdot3\cdot5=90.\]

Steg 4 — Del på alle utfall

Alle utfall er fortsatt \(6^3=216\). Dermed er \[P=\dfrac{90}{216}.\]

Steg 5 — Forkort brøken

\[\dfrac{90}{216}=\dfrac{5}{12}.\]

Tolkning

Sannsynligheten for nøyaktig ett par er \(\dfrac{5}{12}\), altså omtrent 41,7 prosent.

Vanlig feil: Å ta med tilfellene der alle tre terningene viser samme tall.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 6*3*5/6^3 → \(\dfrac{5}{12}\)

Python-kontroll

from fractions import Fraction from itertools import product alle_utsagn = list(product(range(1, 7), repeat=3)) def nøyaktig_to_like(kast): antall = [kast.count(verdi) for verdi in range(1, 7)] return 2 in antall and 3 not in antall gunstige = [kast for kast in alle_utsagn if nøyaktig_to_like(kast)] print("Totalt antall ordnede utfall:", len(alle_utsagn)) print("Antall utfall med nøyaktig to like:", len(gunstige)) print("Sannsynlighet:", Fraction(len(gunstige), len(alle_utsagn))) print("Desimalverdi:", len(gunstige)/len(alle_utsagn)) print("Eksempel på gunstige utfall:", gunstige[:10])

Fasit: \(\dfrac{5}{12}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Kontinuitet

Oppgave 4

Oppgave:

En funksjon \(f\) er gitt ved \[f(x)=\begin{cases}x^2+3x-a^2, & x<1\\ x-1, & x\ge1\end{cases}.\] Bestem \(a\) slik at funksjonen blir kontinuerlig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere modellen nøyaktig, velge en metode som passer, vise regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn punktet der regelen skifter

Funksjonsuttrykket skifter ved \(x=1\). Det er bare der kontinuiteten kan være et problem.

Steg 2 — Finn venstre grenseverdi

Når \(x\) nærmer seg 1 fra venstre, brukes \(x^2+3x-a^2\): \[\lim_{x\to1^-}f(x)=1^2+3\cdot1-a^2=4-a^2.\]

Steg 3 — Finn funksjonsverdien og høyre grenseverdi

For \(x\ge1\) brukes \(x-1\). Derfor er \[f(1)=1-1=0.\]

Steg 4 — Sett kontinuitetskravet

Kontinuitet krever at venstre grenseverdi er lik funksjonsverdien: \[4-a^2=0.\]

Steg 5 — Løs likningen

\[a^2=4\quad\Longrightarrow\quad a=\pm2.\]

Tolkning

Begge verdiene fungerer fordi \(a\) står som \(a^2\), så fortegnet til \(a\) påvirker ikke funksjonsverdien. …