Matematikk S1 Eksamen våren 2018 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk S1 · Udir-løsningsforslag

Matematikk S1 - Vår 2018

Fullstendig, ryddig og kontrollert løsningsforslag til eksamenssettet. Hver deloppgave er transkribert, løst trinnvis og kontrollert med Python/SymPy og GeoGebra CAS der det er relevant.

Del 1 uten hjelpemidler Del 2 med hjelpemidler MathJax-format Nøytral Python-visning

Del 1 - Uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Likning andre grad

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs likningen \(2x^2-5x+1=x-3\).

Vis løsning

Vi samler alle ledd på venstre side:

\[2x^2-5x+1-x+3=0\]

Dette gir

\[2x^2-6x+4=0\]

Alle ledd kan deles på \(2\):

\[x^2-3x+2=0\]

Faktorisering gir

\[(x-1)(x-2)=0\]

Et produkt er null når minst én faktor er null.

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, factor x = symbols('x') likning = Eq(2*x**2 - 5*x + 1, x - 3) standardform = 2*x**2 - 5*x + 1 - (x - 3) print("Standardform:", standardform) print("Faktorisert:", factor(standardform)) print("Løsninger:", solve(likning, x)) # Utskrift: # Standardform: 2*x**2 - 6*x + 4 # Faktorisert: 2*(x - 2)*(x - 1) # Løsninger: [1, 2]

GeoGebra CAS-kontroll 1 Løs(2x^2-5x+1=x-3,x) {x = 1, x = 2} 2 Faktoriser(2x^2-6x+4) 2(x-1)(x-2) Fasit: \(x=1\) eller \(x=2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Logaritmelikning

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningen \(2\lg(x+7)=4\).

Vis løsning

Først må \(x+7>0\), altså \(x>-7\).

\[2\lg(x+7)=4\]

Dividerer med \(2\):

\[\lg(x+7)=2\]

Siden \(\lg(100)=2\), får vi

\[x+7=100\]

Dermed er \(x=93\), og dette oppfyller definisjonskravet.

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, log x = symbols('x') # lg betyr logaritme med grunntall 10 likning = Eq(2*log(x + 7, 10), 4) losning = solve(likning, x) print("Løsning:", losning) for verdi in losning: print("Kontroll, x+7 =", verdi + 7) print("Venstre side =", 2*log(verdi + 7, 10)) # Utskrift: # Løsning: [93] # Kontroll, x+7 = 100 # Venstre side = 4

GeoGebra CAS-kontroll 1 Løs(2lg(x+7)=4,x) x = 93 2 2lg(93+7) 4 Fasit: \(x=93\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Eksponentiallikning

Oppgave 1c

Oppgave:

Løs likningen \(3\cdot 2^{3x+2}=12\cdot 2^6\).

Vis løsning

Vi deler først på \(3\):

\[2^{3x+2}=4\cdot 2^6\]

Siden \(4=2^2\), blir høyre side

\[2^2\cdot 2^6=2^8\]

Da må eksponentene være like:

\[3x+2=8\]

Dermed får vi \(3x=6\), altså \(x=2\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify x = symbols('x') likning = Eq(3*2**(3*x + 2), 12*2**6) losning = solve(likning, x) print("Løsning:", losning) for verdi in losning: venstre = 3*2**(3*verdi + 2) hoyre = 12*2**6 print("Venstre:", venstre) print("Høyre:", hoyre) print("Differanse:", simplify(venstre - hoyre)) # Utskrift: # Løsning: [2] # Venstre: 768 # Høyre: 768 # Differanse: 0

GeoGebra CAS-kontroll 1 Løs(3*2^(3x+2)=12*2^6,x) x = 2 2 3*2^(3*2+2) 768 Fasit: \(x=2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Likningssystem

Oppgave 2

Oppgave:

Løs likningssystemet

\[\begin{cases}x^2+3y=7\\3x-y=1\end{cases}\] Vis løsning

Fra den andre likningen får vi

\[y=3x-1\]

Setter dette inn i den første likningen:

\[x^2+3(3x-1)=7\] \[x^2+9x-3=7\] \[x^2+9x-10=0\]

Faktorisering gir

\[(x-1)(x+10)=0\]

Hvis \(x=1\), blir \(y=3\cdot1-1=2\). Hvis \(x=-10\), blir \(y=3\cdot(-10)-1=-31\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve x, y = symbols('x y') likninger = [Eq(x**2 + 3*y, 7), Eq(3*x - y, 1)] losninger = solve(likninger, (x, y), dict=True) print("Løsninger:") for L in losninger: print(L) print("Kontroll 1:", L[x]**2 + 3*L[y]) print("Kontroll 2:", 3*L[x] - L[y]) # Utskrift: # Løsninger: # {x: -10, y: -31} # Kontroll 1: 7 # Kontroll 2: 1 # {x: 1, y: 2} # Kontroll 1: 7 # Kontroll 2: 1

GeoGebra CAS-kontroll 1 Løs({x^2+3y=7, 3x-y=1},{x,y}) {(-10,-31),(1,2)} Fasit: \((x,y)=(1,2)\) eller \((x,y)=(-10,-31)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Algebraisk forenkling

Oppgave 3a

Oppgave:

Skriv uttrykket så enkelt som mulig: \((2x-3)^2-2x(2x-6)\).

Vis løsning

Vi utvider hvert ledd:

\[(2x-3)^2=4x^2-12x+9\] \[2x(2x-6)=4x^2-12x\]

Da blir uttrykket

\[4x^2-12x+9-(4x^2-12x)=9\]

Alle \(x\)-leddene forsvinner.

Python-kontroll

from sympy import symbols, expand, simplify x = symbols('x') uttrykk = (2*x - 3)**2 - 2*x*(2*x - 6) print("Utvidet:", expand(uttrykk)) print("Forenklet:", simplify(uttrykk)) # Utskrift: # Utvidet: 9 # Forenklet: 9

GeoGebra CAS-kontroll 1 Utvid((2x-3)^2-2x(2x-6)) 9 Fasit: \(9\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b Logaritmeregler

Oppgave 3b

Oppgave:

Skriv uttrykket så enkelt som mulig: \(\lg(2a)+\lg(4a)+\lg(8a)-\lg(16a)\).

Vis løsning

Her må \(a>0\). Vi bruker at sum av logaritmer blir logaritmen til produktet, og differanse blir logaritmen til kvotienten:

\[\lg(2a)+\lg(4a)+\lg(8a)-\lg(16a)=\lg\left(\frac{(2a)(4a)(8a)}{16a}\right)\]

Brøken forenkles:

\[\frac{64a^3}{16a}=4a^2\]

Derfor blir uttrykket \(\lg(4a^2)\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, simplify x = symbols('x', positive=True) uttrykk = log(2*x, 10) + log(4*x, 10) + log(8*x, 10) - log(16*x, 10) print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk) print("Samlet logaritme:", log(4*x**2, 10)) print("Differanse mellom dem:", simplify(uttrykk - log(4*x**2, 10))) # Utskrift: # Opprinnelig uttrykk: log(2*x)/log(10) + log(4*x)/log(10) + log(8*x)/log(10) - log(16*x)/log(10) # Samlet logaritme: log(4*x**2)/log(10) # Differanse mellom dem: 0

GeoGebra CAS-kontroll 1 LogaritmiskForenkle(lg(2a)+lg(4a)+lg(8a)-lg(16a)) lg(4a^2) Fasit: \(\lg(4a^2)\), for \(a>0\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3c Brøkuttrykk

Oppgave 3c

Oppgave:

Skriv uttrykket så enkelt som mulig: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{a-b}{ab}\).

Vis løsning

Fellesnevneren er \(ab\). Vi skriver alle ledd med denne nevneren:

\[\frac{1}{a}=\frac{b}{ab},\qquad \frac{1}{b}=\frac{a}{ab}\]

Da får vi

\[\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}-\frac{a-b}{ab}=\frac{b+a-a+b}{ab}\]

Telleren blir \(2b\), og dermed

\[\frac{2b}{ab}=\frac{2}{a}\]

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify alfa, beta = symbols('a b', nonzero=True) uttrykk = 1/alfa + 1/beta - (alfa - beta)/(alfa*beta) print("Opprinnelig:", uttrykk) print("Forenklet:", simplify(uttrykk)) # Utskrift: # Opprinnelig: -(a - b)/(a*b) + 1/b + 1/a # Forenklet: 2/a

GeoGebra CAS-kontroll 1 Forenkle(1/a+1/b-(a-b)/(ab)) 2/a Fasit: \(\frac{2}{a}\), der \(a\neq0\) og \(b\neq0\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Andregradsulikhet

Oppgave 4

Oppgave:

Løs ulikheten \(x^2-3x+2\ge 0\).

Vis løsning

Vi faktoriserer venstre side:

\[x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\]

Nullpunktene er \(x=1\) og \(x=2\). Siden koeffisienten foran \(x^2\) er positiv, vender parabelen oppover. Uttrykket er derfor positivt eller null utenfor intervallet mellom nullpunktene. …