Matematikk S1 Eksamen våren 2023 (LK20) – løsningsforslag

Matematikk S1 - Vår 2023 LK20

Komplett og kontrollert løsningsforslag til REA3060 Matematikk S1. Løsningene viser regning, begrunnelse, digitale kontroller i Python og GeoGebra/CAS-lignende kontroll der det er relevant.

Bokmål Del 1 og Del 2 MathJax-format Python + GeoGebra

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Algebra

Oppgave 1

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig:

\[\frac{(2ab^{-1})^3\cdot (a^2b^{-2})^{-1}}{4a^2b^{-3}}\] Vis løsning

Vi bruker potensreglene systematisk.

\[(2ab^{-1})^3=2^3a^3b^{-3}=8a^3b^{-3}\] \[(a^2b^{-2})^{-1}=a^{-2}b^2\]

Telleren blir derfor

\[8a^3b^{-3}\cdot a^{-2}b^2=8ab^{-1}\]

Så deler vi på nevneren:

\[\frac{8ab^{-1}}{4a^2b^{-3}}=2a^{-1}b^2=\frac{2b^2}{a}\]

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify a, b = symbols("a b", nonzero=True) uttrykk = ((2*a*b**(-1))**3 * (a**2*b**(-2))**(-1)) / (4*a**2*b**(-3)) forenklet = simplify(uttrykk) print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk) print("Forenklet uttrykk:", forenklet) print("Kontroll ved a=3, b=5:", uttrykk.subs({a:3,b:5}), forenklet.subs({a:3,b:5})) # Utskrift: # Opprinnelig uttrykk: 2*b**2/a # Forenklet uttrykk: 2*b**2/a # Kontroll ved a=3, b=5: 50/3 50/3

GeoGebra CAS-kontroll 1 Simplify(((2*a*b^(-1))^3*(a^2*b^(-2))^(-1))/(4*a^2*b^(-3))) 2*b^2/a Fasit: \(\frac{2b^2}{a}\) Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Derivasjon

Oppgave 2

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f\) gitt ved

\[f(x)=x\ln x\] Vis løsning

Her er \(f\) et produkt av \(x\) og \(\ln x\). Produktregelen gir

\[f'(x)=1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1\]

Definisjonsmengden er \(x>0\), fordi \(\ln x\) bare er definert for positive \(x\)-verdier.

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, diff, simplify x = symbols("x", positive=True) f = x*log(x) derivert = simplify(diff(f, x)) print("f(x) =", f) print("f'(x) =", derivert) print("f'(2) =", derivert.subs(x, 2)) # Utskrift: # f(x) = x*log(x) # f'(x) = log(x) + 1 # f'(2) = 1 + log(2)

GeoGebra CAS-kontroll 1 Derivative(x*ln(x)) ln(x)+1 Fasit: \(f\prime(x)=\ln x+1\), for \(x>0\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Grenseverdi

Oppgave 3

Oppgave:

Bestem grenseverdien

\[\lim_{x\to 2}\frac{x^3-8}{x^2-4}\] Vis løsning

Vi faktoriserer teller og nevner.

\[x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\] \[x^2-4=(x-2)(x+2)\]

For \(x\ne 2\) kan faktoren \(x-2\) forkortes:

\[\frac{x^3-8}{x^2-4}=\frac{x^2+2x+4}{x+2}\]

Da kan vi sette inn \(x=2\):

\[\lim_{x\to 2}\frac{x^3-8}{x^2-4}=\frac{2^2+2\cdot2+4}{2+2}=\frac{12}{4}=3\]

Python-kontroll

from sympy import symbols, limit, factor, simplify x = symbols("x") uttrykk = (x**3 - 8)/(x**2 - 4) print("Faktorisert teller:", factor(x**3 - 8)) print("Faktorisert nevner:", factor(x**2 - 4)) print("Forkortet uttrykk:", simplify(uttrykk)) print("Grenseverdi:", limit(uttrykk, x, 2)) # Utskrift: # Faktorisert teller: (x - 2)*(x**2 + 2*x + 4) # Faktorisert nevner: (x - 2)*(x + 2) # Forkortet uttrykk: (x**2 + 2*x + 4)/(x + 2) # Grenseverdi: 3

GeoGebra CAS-kontroll 1 Limit((x^3-8)/(x^2-4), x, 2) 3 Fasit: Grenseverdien er \(3\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4a) Sannsynlighet uten tilbakelegging

Oppgave 4a)

Oppgave:

I en krukke ligger det fire hvite og tre svarte kuler. Du trekker tilfeldig tre kuler uten tilbakelegging. Hva er sannsynligheten for at to av de tre kulene er svarte?

Vis løsning

Vi bruker hypergeometrisk sannsynlighet. Totalt antall måter å trekke tre kuler fra sju på er

\[\binom{7}{3}=35\]

Vi vil ha to svarte fra tre svarte og én hvit fra fire hvite:

\[\binom{3}{2}\binom{4}{1}=3\cdot 4=12\]

Dermed blir sannsynligheten

\[P=\frac{12}{35}\approx 0{,}343\]

Python-kontroll

from math import comb gunstige = comb(3, 2) * comb(4, 1) mulige = comb(7, 3) sannsynlighet = gunstige / mulige print("Gunstige trekk:", gunstige) print("Mulige trekk:", mulige) print("Sannsynlighet som brøk:", f"{gunstige}/{mulige}") print("Sannsynlighet som desimaltall:", round(sannsynlighet, 6)) # Utskrift: # Gunstige trekk: 12 # Mulige trekk: 35 # Sannsynlighet som brøk: 12/35 # Sannsynlighet som desimaltall: 0.342857

GeoGebra CAS-kontroll 1 nCr(3,2)*nCr(4,1)/nCr(7,3) 12/35 Fasit: \(\frac{12}{35}\approx 34{,}3\,\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4b) Sannsynlighet uten tilbakelegging

Oppgave 4b)

Oppgave:

Hva er sannsynligheten for at du trekker minst to hvite kuler?

Vis løsning

«Minst to hvite» betyr enten to hvite eller tre hvite. …