Matematikk S1 Eksamen høsten 2010 – løsningsforslag

Matematikk S1 eksamen Høst 2010 - løsningsforslag

Komplett originalt løsningsforslag på bokmål for Udir-settet REA3026 Matematikk S1 Høst 2010. Del 1 og Del 2 er skilt, alle deloppgaver er transkribert og løst trinnvis med kontroll der det passer.

Fag: Matematikk S1 Termin: Høst 2010 Kilde: opplastet Udir-PDF Format: ifingo HTML + MathJax Merk: Oppgave 6 har to alternativer. For kompletthet er både alternativ I og alternativ II løst.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a-1 Likning med brøker

Oppgave 1a-1

Oppgave:

Løs likningen \(\dfrac{1}{6}+\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{7}{6}-\dfrac{x+1}{2}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne verdien av \(x\) som gjør brøklikningen sann. Fellesnevneren er \(6\), så vi fjerner brøkene først.

Steg 1 - Multipliser med fellesnevner

\[6\left(\dfrac{1}{6}+\dfrac{x-1}{3}\right)=6\left(\dfrac{7}{6}-\dfrac{x+1}{2}\right)\]

Da får vi \[1+2(x-1)=7-3(x+1)\]

Steg 2 - Løs opp parenteser

\[1+2x-2=7-3x-3\]

\[2x-1=4-3x\]

Steg 3 - Samle x-leddene

\[5x-1=4\]

\[5x=5\]

Steg 4 - Del på 5

\[x=1\]

Steg 5 - Kontroll

Venstre side blir \(\dfrac{1}{6}+0=\dfrac{1}{6}\). Høyre side blir \(\dfrac{7}{6}-1=\dfrac{1}{6}\). Det stemmer.

Tolkning

Likningen har én løsning.

Vanlig feil: Å multiplisere bare ett ledd med \(6\). Hele venstre og høyre side må multipliseres.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(1/6+(x-1)/3=7/6-(x+1)/2) → \(x=1\)

💻 Python

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational x = symbols('x') print(solve(Eq(Rational(1,6)+(x-1)/3, Rational(7,6)-(x+1)/2), x))

Fasit: \(x=1\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1a-2 Andregradslikning

Oppgave 1a-2

Oppgave:

Løs likningen \(2x^2=10x-12\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse en andregradslikning. Først samler vi alt på én side, deretter faktoriserer vi.

Steg 1 - Samle alt på én side

\[2x^2-10x+12=0\]

Steg 2 - Del på 2

\[x^2-5x+6=0\]

Steg 3 - Faktoriser

\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\]

Steg 4 - Bruk nullproduktregelen

\[(x-2)(x-3)=0\]

Dermed er \(x=2\) eller \(x=3\).

Steg 5 - Kontroll

For \(x=2\): \(8=8\). For \(x=3\): \(18=18\).

Tolkning

Likningen har to reelle løsninger.

Vanlig feil: Å glemme én av løsningene etter faktorisering.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(2x^2=10x-12) → \(x=2\lor x=3\)

💻 Python

from sympy import symbols, Eq, solve x = symbols('x') print(solve(Eq(2*x**2, 10*x - 12), x))

Fasit: \(x=2\) eller \(x=3\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Likningssystem

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningssystemet \(\begin{cases}y=x^2-3x-2\\ y+2=2x\end{cases}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne skjæringspunktene mellom en parabel og en rett linje.

Steg 1 - Skriv linjen som \(y=\ldots\)

\[y+2=2x\Rightarrow y=2x-2\]

Steg 2 - Sett uttrykkene like

\[x^2-3x-2=2x-2\]

Steg 3 - Samle ledd

\[x^2-5x=0\]

Steg 4 - Faktoriser

\[x(x-5)=0\]

Dermed er \(x=0\) eller \(x=5\).

Steg 5 - Finn y-verdiene

Med \(y=2x-2\) får vi \(y=-2\) når \(x=0\), og \(y=8\) når \(x=5\).

Tolkning

Skjæringspunktene er \((0,-2)\) og \((5,8)\).

Vanlig feil: Å oppgi bare \(x\)-verdiene og ikke punktene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs({y=x^2-3x-2,y+2=2x},{x,y}) → \((0,-2),(5,8)\)

💻 Python

from sympy import symbols, solve x, y = symbols('x y') print(solve([y-(x**2-3*x-2), y+2-2*x], [x, y]))

Fasit: \((x,y)=(0,-2)\) eller \((5,8)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c-1 Eksponentiallikning

Oppgave 1c-1

Oppgave:

Løs likningen \(3\cdot2^x=24\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne eksponenten \(x\).

Steg 1 - Del på 3

\[2^x=8\]

Steg 2 - Skriv \(8\) som toerpotens

\[8=2^3\]

Steg 3 - Sammenlikn eksponenter

\[2^x=2^3\Rightarrow x=3\]

Steg 4 - Kontroll

\[3\cdot2^3=24\]

Tolkning

Eksponenten må være \(3\).

Vanlig feil: Å glemme å dele på \(3\) før man sammenlikner potenser.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(3*2^x=24) → \(x=3\)

💻 Python

from sympy import symbols, Eq, solve x = symbols('x') print(solve(Eq(3*2**x, 24), x))

Fasit: \(x=3\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c-2 Logaritmer

Oppgave 1c-2

Oppgave:

Finn en formel for \(x\) når \(y=a\cdot b^x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal isolere eksponenten \(x\), og derfor må vi bruke logaritmer.

Steg 1 - Del på \(a\)

\[\dfrac{y}{a}=b^x\]

Steg 2 - Ta logaritmen

\[\log\left(\dfrac{y}{a}\right)=\log(b^x)\]

Steg 3 - Flytt eksponenten ned

\[\log(b^x)=x\log b\]

Steg 4 - Del på \(\log b\)

\[x=\dfrac{\log\left(\dfrac{y}{a}\right)}{\log b}\]

Steg 5 - Vilkår

Dette krever \(a\ne0\), \(b>0\), \(b\ne1\) og \(\dfrac{y}{a}>0\).

Tolkning

Formelen gir hvor mange vekstperioder som trengs for å komme fra \(a\) til \(y\) med faktor \(b\).

Vanlig feil: Å glemme nevneren \(\log b\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(y=a*b^x,x) → \(x=\dfrac{\log(y/a)}{\log(b)}\) Fasit: \(x=\dfrac{\log\left(\dfrac{y}{a}\right)}{\log b}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d Rasjonal funksjon

Oppgave 1d

Oppgave:

Vi har gitt funksjonen \(f(x)=\dfrac{2x-4}{x-1}\). Tegn grafen til \(f\) for \(x\in\langle -3,5\rangle\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne en rasjonal funksjon. Da trenger vi asymptoter, nullpunkt og støttepunkter.

Steg 1 - Vertikal asymptote

Nevneren er null når \(x=1\). Grafen har vertikal asymptote \(x=1\).

Steg 2 - Horisontal asymptote

\[\dfrac{2x-4}{x-1}=2-\dfrac{2}{x-1}\]

Dermed er horisontal asymptote \(y=2\).

Steg 3 - Nullpunkt

\[2x-4=0\Rightarrow x=2\]

Grafen skjærer \(x\)-aksen i \((2,0)\).

Steg 4 - Støttepunkter

\(x\)	-3	0	2	3	5
\(f(x)\)	2,5	4	0	1	1,5

Steg 5 - Skisse

Venstre gren ligger over \(y=2\) og går mot \(+\infty\) når \(x\to1^-\). Høyre gren går fra \(-\infty\), krysser \(x\)-aksen ved \(2\), og nærmer seg \(y=2\) nedenfra.

Tolkning

Grafen består av to grener, adskilt av asymptoten \(x=1\).

Vanlig feil: Å tegne grafen gjennom \(x=1\). Funksjonen er ikke definert der. Fasit: Vertikal asymptote \(x=1\), horisontal asymptote \(y=2\), nullpunkt \((2,0)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1e-1 Derivasjon

Oppgave 1e-1

Oppgave:

Vi har gitt funksjonen \(f(x)=x^3-6x^2+9x\). Bestem \(f\prime(x)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et polynom ledd for ledd.

Steg 1

\[(x^3)\prime=3x^2\]

Steg 2

\[(-6x^2)\prime=-12x\]

Steg 3

\[(9x)\prime=9\]

Steg 4

\[f\prime(x)=3x^2-12x+9\]

Steg 5 - Faktorform

\[f\prime(x)=3(x-1)(x-3)\] …