Matematikk S1 Eksempeloppgave høsten 2021 – løsningsforslag

Matematikk S1 - Eksempelsett H21

Komplett løsningsforslag til eksempelsett REA3060 Matematikk S1. Løsningene er skrevet for LK20-nivå med tydelige algebraiske steg, digitale kontroller i Python og GeoGebra/CAS-lignende kontroll.

Bokmål Del 1 og Del 2 MathJax Python + GeoGebra

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Grenseverdi

Oppgave 1

Oppgave:

Bestem grenseverdien

\[\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2+x-2}\] Vis løsning

Når vi setter inn \(x=1\), får vi \(0/0\). Da må uttrykket faktoriseres før vi kan regne grenseverdien.

\[x^2+x-2=(x-1)(x+2)\]

For \(x\ne 1\) kan vi derfor forkorte faktoren \(x-1\):

\[\frac{x-1}{x^2+x-2}=\frac{x-1}{(x-1)(x+2)}=\frac{1}{x+2}\]

Dermed blir grenseverdien

\[\lim_{x\to 1}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{3}\]

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor, limit, simplify x = symbols("x") uttrykk = (x - 1)/(x**2 + x - 2) print("Faktorisert nevner:", factor(x**2 + x - 2)) print("Forkortet uttrykk:", simplify(uttrykk)) print("Grenseverdi når x går mot 1:", limit(uttrykk, x, 1)) # Utskrift: # Faktorisert nevner: (x - 1)*(x + 2) # Forkortet uttrykk: 1/(x + 2) # Grenseverdi når x går mot 1: 1/3

GeoGebra CAS-kontroll 1 Factor(x^2+x-2) (x-1)(x+2) 2 Limit((x-1)/(x^2+x-2), x, 1) 1/3 Fasit: \(\frac{1}{3}\) Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Logaritmelikning

Oppgave 2

Oppgave:

Løs likningen

\[\lg x+\lg(x+3)=1\] Vis løsning

Først må vi ha \(x>0\) og \(x+3>0\). Samlet gir det \(x>0\).

Vi bruker regelen \(\lg a+\lg b=\lg(ab)\):

\[\lg(x(x+3))=1\]

Siden \(1=\lg 10\), får vi

\[x(x+3)=10\] \[x^2+3x-10=0\] \[(x+5)(x-2)=0\]

Løsningene til andregradslikningen er \(x=-5\) og \(x=2\). Bare \(x=2\) ligger i definisjonsmengden.

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve, log x = symbols("x") likning = x*(x + 3) - 10 losninger = solve(likning, x) gyldige = [verdi for verdi in losninger if verdi > 0] print("Likning etter logaritmeregler: x*(x+3)=10") print("Andregradslikning:", likning, "= 0") print("Alle algebraiske løsninger:", losninger) print("Gyldige løsninger når x > 0:", gyldige) print("Kontroll: lg(2)+lg(5) =", log(2,10)+log(5,10)) # Utskrift: # Likning etter logaritmeregler: x*(x+3)=10 # Andregradslikning: x**2 + 3*x - 10 = 0 # Alle algebraiske løsninger: [-5, 2] # Gyldige løsninger når x > 0: [2] # Kontroll: lg(2)+lg(5) = 1

GeoGebra CAS-kontroll 1 Solve(lg(x)+lg(x+3)=1) x=2 Fasit: \(x=2\) Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a) Gjennomsnittlig vekstfart

Oppgave 3a)

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=3x^2+a\cdot x+2\), der \(a\in\mathbb{R}\). Bestem \(a\) slik at den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet \([2,4]\) blir \(10\).

Vis løsning

Gjennomsnittlig vekstfart i \([2,4]\) er

\[\frac{f(4)-f(2)}{4-2}\]

Vi regner ut verdiene:

\[f(4)=3\cdot 4^2+4a+2=50+4a\] \[f(2)=3\cdot 2^2+2a+2=14+2a\]

Dermed blir

\[\frac{f(4)-f(2)}{2}=\frac{(50+4a)-(14+2a)}{2}=\frac{36+2a}{2}=18+a\]

Dette skal være \(10\):

\[18+a=10\] \[a=-8\]

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve, simplify x, a = symbols("x a") f = 3*x**2 + a*x + 2 gjennomsnittlig = simplify((f.subs(x, 4) - f.subs(x, 2))/(4 - 2)) losning = solve(gjennomsnittlig - 10, a) print("f(4) =", f.subs(x, 4)) print("f(2) =", f.subs(x, 2)) print("Gjennomsnittlig vekstfart:", gjennomsnittlig) print("Løsning for a:", losning) # Utskrift: # f(4) = 4*a + 50 # f(2) = 2*a + 14 # Gjennomsnittlig vekstfart: a + 18 # Løsning for a: [-8]

GeoGebra CAS-kontroll 1 (f(4)-f(2))/(4-2) a+18 2 Solve(a+18=10) a=-8 Fasit: \(a=-8\) Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b) Momentan vekstfart

Oppgave 3b)

Oppgave:

Bestem \(a\) slik at den momentane vekstfarten i punktet \((2,f(2))\) blir \(10\).

Vis løsning

Momentan vekstfart er den deriverte. Vi deriverer:

\[f'(x)=6x+a\]

I punktet med \(x=2\) er den momentane vekstfarten

\[f'(2)=6\cdot2+a=12+a\]

Vi setter dette lik \(10\):

\[12+a=10\] \[a=-2\]

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, solve x, a = symbols("x a") f = 3*x**2 + a*x + 2 f_derivert = diff(f, x) verdi_i_2 = f_derivert.subs(x, 2) losning = solve(verdi_i_2 - 10, a) print("f'(x) =", f_derivert) print("f'(2) =", verdi_i_2) print("a når f'(2)=10:", losning) # Utskrift: # f'(x) = a + 6*x # f'(2) = a + 12 # a når f'(2)=10: [-2]

GeoGebra CAS-kontroll 1 Derivative(3*x^2+a*x+2) 6*x+a 2 Solve(12+a=10) a=-2 Fasit: \(a=-2\) Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4a) Kombinatorikk

Oppgave 4a)

Oppgave:

Av tegnene A og B skal vi lage en kode som består av åtte tegn. Hvor mange ulike koder kan vi lage?

Vis løsning

På hver av de åtte plassene kan vi velge mellom to tegn: A eller B. Valgene er uavhengige.

\[2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^8=256\]

Python-kontroll

antall_tegn = 8 valg_per_plass = 2 antall_koder = valg_per_plass**antall_tegn print("Antall plasser:", antall_tegn) print("Valg per plass:", valg_per_plass) print("Totalt antall koder:", antall_koder) # Utskrift: # Antall plasser: 8 # Valg per plass: 2 # Totalt antall koder: 256

GeoGebra CAS-kontroll 1 2^8 256 Fasit: \(256\) ulike koder. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4b) Binomisk sannsynlighet

Oppgave 4b)

Oppgave:

Hva er sannsynligheten for at det er minst seks A-er i en tilfeldig kode?

Vis løsning

La \(X\) være antall A-er i koden. Da er \(X\) binomisk fordelt med \(n=8\) og \(p=\frac{1}{2}\).

«Minst seks A-er» betyr \(X=6\), \(X=7\) eller \(X=8\): …