Matematikk S1 Eksamen våren 2024 (LK20) – løsningsforslag

Ifingo · Matematikk S1 · Udir-løsningsforslag

Matematikk S1 - vår 2024 LK20

Komplett, gjennomarbeidet løsningsforslag med nøyaktig matematisk føring, digitale kontroller, Python-kjøringer og GeoGebra/CAS-lignende kontrollspor. Alle uttrykk er skrevet med korrekt MathJax-format: inline-matematikk med \(...\) og visningsmatematikk med \[...\], uten dollartegn som matematikkmarkører.

Eksamen: REA3060 Dato: 24.05.2024 Bokmål LK20

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Derivasjon med produktregel

Oppgave 1

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=4x^2\ln(3x)\).

Vis løsning

Her må vi bruke produktregelen. Vi skriver funksjonen som produktet av \(4x^2\) og \(\ln(3x)\).

\[f'(x)=8x\ln(3x)+4x^2\cdot \frac{1}{3x}\cdot 3\] \[f'(x)=8x\ln(3x)+4x\]

Vi kan også faktorisere svaret:

\[f'(x)=4x\bigl(2\ln(3x)+1\bigr)\]

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, diff, factor x = symbols('x', positive=True) f = 4*x**2*log(3*x) derivert = diff(f, x) faktorisert = factor(derivert) print("f(x) =", f) print("f'(x) =", derivert) print("faktorisert =", faktorisert) # Utskrift: # f(x) = 4*x**2*log(3*x) # f'(x) = 8*x*log(3*x) + 4*x # faktorisert = 4*x*(2*log(3*x) + 1)

GeoGebra CAS / digital kontroll 1 Derivert(4x^2 ln(3x)) \(8x\ln(3x)+4x\) 2 Faktoriser(...) \(4x(2\ln(3x)+1)\) Fasit: \(f'(x)=8x\ln(3x)+4x=4x(2\ln(3x)+1)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Logaritmelikning

Oppgave 2

Oppgave:

Løs likningen \((\ln x)^2-\ln x=6\).

Vis løsning

Sett \(u=\ln x\). Da får vi en andregradslikning.

\[u^2-u=6\] \[u^2-u-6=0\] \[(u-3)(u+2)=0\]

Dermed er \(u=3\) eller \(u=-2\). Siden \(u=\ln x\), får vi

\[x=e^3 \quad \text{eller}\quad x=e^{-2}.\]

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, solve, E x = symbols('x', positive=True) likning = log(x)**2 - log(x) - 6 losninger = solve(likning, x) print("Likning satt lik null:", likning) print("Løsninger:", losninger) print("Desimaltall:", [sol.evalf(6) for sol in losninger]) # Utskrift: # Likning satt lik null: log(x)**2 - log(x) - 6 # Løsninger: [exp(-2), exp(3)] # Desimaltall: [0.135335, 20.0855]

GeoGebra CAS / digital kontroll 1 Løs((ln(x))^2-ln(x)=6) \(x=e^{-2}\) eller \(x=e^3\) Fasit: \(x=e^3\) eller \(x=e^{-2}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Grenseverdier

Oppgave 3

Oppgave:

Funksjonen er \(f(x)=e^{-x+1}\), \(D_f=\mathbb{R}\). Bestem \(\lim_{x\to\infty} f(x)\) og \(\lim_{x\to -\infty} f(x)\), dersom de eksisterer.

Vis løsning

Når \(x\to\infty\), går eksponenten \(-x+1\to -\infty\). Derfor går funksjonsverdien mot \(0\).

\[\lim_{x\to\infty}e^{-x+1}=0\]

Når \(x\to -\infty\), går eksponenten \(-x+1\to\infty\). Derfor vokser funksjonen uten øvre grense.

\[\lim_{x\to -\infty}e^{-x+1}=\infty\]

Som endelig grenseverdi eksisterer den siste ikke, men den utvidede grenseverdien er \(\infty\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, limit, oo x = symbols('x') f = exp(-x + 1) print("f(x) =", f) print("grense mot +uendelig:", limit(f, x, oo)) print("grense mot -uendelig:", limit(f, x, -oo)) # Utskrift: # f(x) = exp(1 - x) # grense mot +uendelig: 0 # grense mot -uendelig: oo

GeoGebra CAS / digital kontroll 1 Limit(e^(-x+1), x, Infinity) \(0\) 2 Limit(e^(-x+1), x, -Infinity) \(\infty\) Fasit: \(\lim_{x\to\infty}f(x)=0\). Når \(x\to -\infty\), går \(f(x)\to\infty\), altså ingen endelig grenseverdi. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4a Hypergeometrisk sannsynlighet

Oppgave 4a

Oppgave:

I en skuff ligger det 6 gule, 5 svarte og 4 hvite sokker. Du tar 2 sokker tilfeldig. Bestem sannsynligheten for at begge er gule.

Vis løsning

Det er totalt \(15\) sokker. Vi velger \(2\) sokker uten tilbakelegging.

\[P(\text{to gule})=\frac{\binom{6}{2}}{\binom{15}{2}}=\frac{15}{105}=\frac{1}{7}\]

Python-kontroll

from math import comb antall_gule = 6 antall_totalt = 15 gunstige = comb(antall_gule, 2) mulige = comb(antall_totalt, 2) sannsynlighet = gunstige / mulige print("gunstige =", gunstige) print("mulige =", mulige) print("sannsynlighet =", sannsynlighet) print("prosent =", sannsynlighet*100) # Utskrift: # gunstige = 15 # mulige = 105 # sannsynlighet = 0.14285714285714285 # prosent = 14.285714285714285

GeoGebra CAS / digital kontroll 1 nCr(6,2)/nCr(15,2) \(\frac{1}{7}\) Fasit: \(P=\frac{1}{7}\approx 0{,}143\), altså omtrent \(14{,}3\,\%\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4b Komplementregel

Oppgave 4b

Oppgave:

Du tar 3 sokker tilfeldig. Bestem sannsynligheten for at minst 2 av sokkene har samme farge.

Vis løsning

Det er enklest å bruke komplementet. Komplementet til «minst to har samme farge» er at alle tre har forskjellig farge: én gul, én svart og én hvit. …