Matematikk S1 Eksamen høsten 2021 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk S1

Matematikk S1 eksamen Høst 2021 – løsningsforslag

Komplett bokmål-løsningsforslag basert på Udir-settet S1_H21. Alle deloppgaver er transkribert, løst trinnvis og kontrollert med GeoGebra CAS/Python der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 løses for hånd med algebra, logaritmeregler, sannsynlighet, funksjoner og lineær optimering. Del 1 · Oppgave 1a · 6 poeng samlet Andregradslikning

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs likningen \(2x=2x^2-12\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Flytt alt til én side

Vi samler leddene slik at høyre side blir null: \[2x^2-2x-12=0.\]

Steg 2 — Del på felles faktor

Alle leddene kan deles på \(2\): \[x^2-x-6=0.\]

Steg 3 — Faktoriser andregradsuttrykket

Vi finner to tall med produkt \(-6\) og sum \(-1\): \[x^2-x-6=(x-3)(x+2).\]

Steg 4 — Bruk nullproduktregelen

Når \((x-3)(x+2)=0\), får vi \(x=3\) eller \(x=-2\).

Steg 5 — Sett inn i opprinnelig likning

For \(x=3\) får vi \(6=6\). For \(x=-2\) får vi \(-4=-4\). Begge løsningene er gyldige.

Tolkning

Likningen har to reelle løsninger fordi andregradsuttrykket kan faktoriseres i to førstegradsfaktorer.

Vanlig feil: Å glemme løsningen \(x=-2\) fordi den er negativ.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(2x=2x^2-12,x) → \(x=-2\lor x=3\) 2 Faktoriser(x^2-x-6) → \((x-3)(x+2)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, expand, factor x = symbols('x') likning = Eq(2*x, 2*x**2 - 12) standardform = expand(likning.rhs - likning.lhs) forenklet = expand(standardform/2) losninger = solve(likning, x) print("Likning:", likning) print("Standardform høyre - venstre:", standardform) print("Etter divisjon med 2:", forenklet) print("Faktorisert:", factor(forenklet)) print("Løsninger:", losninger) for verdi in losninger: print(f"Kontroll x={verdi}: venstre = {likning.lhs.subs(x, verdi)}, høyre = {likning.rhs.subs(x, verdi)}")

Fasit: \(x=-2\) eller \(x=3\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b · 6 poeng samlet Eksponentiallikning

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningen \(5^{3x-6}=25\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Skriv høyre side som potens med grunntall 5

Vi har \(25=5^2\).

Steg 2 — Sammenlikn potenser

Likningen blir \[5^{3x-6}=5^2.\]

Steg 3 — Bruk at eksponentialfunksjonen er én-til-én

Siden grunntallet er det samme og større enn \(0\), må eksponentene være like: \[3x-6=2.\]

Steg 4 — Løs den lineære likningen

\[3x=8\quad\Longrightarrow\quad x=\dfrac{8}{3}.\]

Steg 5 — Kontroller

Når \(x=\dfrac{8}{3}\), blir \(3x-6=2\), og venstre side blir \(5^2=25\).

Tolkning

Vi får én løsning fordi eksponenten bestemmes entydig.

Vanlig feil: Å ta logaritmer unødvendig og runde et svar som egentlig er eksakt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(5^(3x-6)=25,x) → \(x=\dfrac{8}{3}\) 2 5^(3*(8/3)-6) → \(25\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational, simplify x = symbols('x') likning = Eq(5**(3*x - 6), 25) losning = solve(likning, x) print("Likning:", likning) print("Løsning:", losning) for verdi in losning: eksponent = simplify(3*verdi - 6) venstre = simplify(5**eksponent) print(f"x={verdi}: eksponent = {eksponent}, venstre side = {venstre}")

Fasit: \(x=\dfrac{8}{3}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c · 6 poeng samlet Logaritmelikning

Oppgave 1c

Oppgave:

Løs likningen \(\lg(x)+\lg(x+1)=\lg 12\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

Vi må ha \(x>0\) og \(x+1>0\). Det strengeste kravet er \(x>0\).

Steg 2 — Bruk produktregelen for logaritmer

\[\lg(x)+\lg(x+1)=\lg(x(x+1)).\]

Steg 3 — Sammenlikn argumentene

Likningen blir \[\lg(x(x+1))=\lg 12\quad\Longrightarrow\quad x(x+1)=12.\]

Steg 4 — Løs andregradslikningen

\[x^2+x-12=0\quad\Longrightarrow\quad (x-3)(x+4)=0.\]

Steg 5 — Sjekk definisjonsmengden

Løsningene fra andregradslikningen er \(x=3\) og \(x=-4\). Bare \(x=3\) oppfyller \(x>0\).

Tolkning

Logaritmene gjør at den negative algebraiske løsningen må forkastes.

Vanlig feil: Å beholde \(x=-4\), selv om \(\lg(x)\) da ikke er definert.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(log10(x)+log10(x+1)=log10(12),x) → \(x=3\) 2 Faktoriser(x^2+x-12) → \((x-3)(x+4)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, log, factor x = symbols('x') polynom = x*(x + 1) - 12 kandidater = solve(polynom, x) print("Etter logaritmeregler får vi:", polynom, "= 0") print("Faktorisert:", factor(polynom)) print("Kandidater:", kandidater) for verdi in kandidater: lovlig = verdi > 0 print(f"x={verdi}: lovlig i logaritmene? {lovlig}") print("Gyldig løsning:", [v for v in kandidater if v > 0])

Fasit: \(x=3\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a · 4 poeng samlet Algebra

Oppgave 2a

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \((x-y)^2+2\cdot(x+y)\cdot y-(x+y)^2\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Utvid første kvadrat

\[(x-y)^2=x^2-2xy+y^2.\]

Steg 2 — Utvid midtleddet

\[2\cdot(x+y)\cdot y=2xy+2y^2.\]

Steg 3 — Utvid siste kvadrat

\[(x+y)^2=x^2+2xy+y^2.\]

Steg 4 — Samle ledd

\[x^2-2xy+y^2+2xy+2y^2-x^2-2xy-y^2=2y^2-2xy.\]

Steg 5 — Faktoriser

\[2y^2-2xy=2y(y-x).\]

Tolkning

Uttrykket kan skrives kortere som et produkt, og da ser vi fellesfaktoren tydelig.

Vanlig feil: Å glemme minustegnet foran hele \((x+y)^2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle((x-y)^2+2*(x+y)*y-(x+y)^2) → \(2y(y-x)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, expand, factor, simplify x, y = symbols('x y') uttrykk = (x - y)**2 + 2*(x + y)*y - (x + y)**2 utvidet = expand(uttrykk) faktorisert = factor(uttrykk) print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk) print("Utvidet:", utvidet) print("Faktorisert:", faktorisert) print("Kontroll simplify:", simplify(uttrykk - faktorisert))

Fasit: \(2y(y-x)\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b · 4 poeng samlet Logaritmeregler

Oppgave 2b

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\lg(ab^{-5})-\lg(\dfrac{b}{a^4})+3\lg(ab^2)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk potensregelen på siste ledd

\[3\lg(ab^2)=\lg((ab^2)^3)=\lg(a^3b^6).\]

Steg 2 — Skriv subtraksjon som divisjon

\[\lg(ab^{-5})-\lg(\dfrac{b}{a^4})=\lg(\dfrac{ab^{-5}}{b/a^4}).\]

Steg 3 — Samle alt i én logaritme

\[\lg(\dfrac{ab^{-5}}{b/a^4}\cdot a^3b^6).\]

Steg 4 — Forenkle potenser

\[\dfrac{ab^{-5}}{b/a^4}\cdot a^3b^6=a\cdot b^{-5}\cdot \dfrac{a^4}{b}\cdot a^3b^6=a^8b^0=a^8.\]

Steg 5 — Bruk potensregelen tilbake

\[\lg(a^8)=8\lg a.\] Her må \(a>0\) og \(b>0\).

Tolkning

Alle \(b\)-potensene kansellerer, så uttrykket avhenger bare av \(a\).

Vanlig feil: Å behandle \(\lg A-\lg B\) som \(\lg(A-B)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle(log10(a*b^(-5))-log10(b/a^4)+3log10(a*b^2)) → \(8\log_{10}(a)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, simplify, expand_log # Vi antar a > 0 og b > 0 slik logaritmene er definert. a, b = symbols('a b', positive=True) uttrykk = log(a*b**(-5), 10) - log(b/a**4, 10) + 3*log(a*b**2, 10) samlet_argument = (a*b**(-5))/(b/a**4) * (a*b**2)**3 print("Samlet argument før forenkling:", samlet_argument) print("Samlet argument etter forenkling:", simplify(samlet_argument)) print("Logaritmeuttrykket blir:", log(simplify(samlet_argument), 10)) print("Som logaritmeregel:", 8*log(a, 10))

Fasit: \(8\lg a\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 · 2 poeng Ulikhet

Oppgave 3

Oppgave:

Løs ulikheten \(-x^2\ge -6-x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise hvorfor metoden virker, og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Flytt alt til venstre side

\[-x^2+x+6\ge 0.\]

Steg 2 — Multipliser med \(-1\)

Når vi multipliserer med \(-1\), snur ulikhetstegnet: \[x^2-x-6\le 0.\]

Steg 3 — Faktoriser

\[x^2-x-6=(x-3)(x+2).\]

Steg 4 — Finn nullpunkter og fortegn

Nullpunktene er \(x=-2\) og \(x=3\). Parabelen vender oppover, så uttrykket er \(\le 0\) mellom nullpunktene.

Steg 5 — Skriv svaret

\[-2\le x\le 3.\]

Tolkning

Løsningsmengden er intervallet der grafen til \(x^2-x-6\) ligger på eller under \(x\)-aksen. …