Matematikk S1 Eksamen våren 2012 – løsningsforslag

Matematikk S1 eksamen Vår 2012 – løsningsforslag

Fullstendig løsningsforslag på bokmål med transkriberte oppgaver, trinnvise løsninger, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS-kontroll og fyldige Python-kontroller.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a 1 Rasjonale uttrykk

Oppgave 1a 1

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\dfrac{2}{a-b}+\dfrac{a-2b}{a^2-b^2}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metodevalg, kontrollere resultatet og avslutte med en tydelig tolkning.

Steg 1 — Faktoriser nevneren

Vi bruker konjugatsetningen: \[a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\]

Steg 2 — Finn fellesnevner

Fellesnevneren blir \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)\).

Steg 3 — Utvid første brøk

\[\dfrac{2}{a-b}=\dfrac{2\left(a+b\right)}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\]

Steg 4 — Legg sammen tellerne

\[2\left(a+b\right)+a-2b=2a+2b+a-2b=3a\]

Steg 5 — Skriv sluttresultatet

\[\dfrac{3a}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}=\dfrac{3a}{a^2-b^2}\]

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både regningen og betydningen av svaret kommer tydelig fram.

Vanlig feil: Å behandle \(a^2-b^2\) som \(\left(a-b\right)^2\). Det er feil; bruk konjugatsetningen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle(2/(a-b)+(a-2b)/(a^2-b^2)) → \(\dfrac{3a}{a^2-b^2}\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import * a, b = symbols('a b') uttrykk = 2/(a-b) + (a-2*b)/(a**2-b**2) forenklet = factor(simplify(uttrykk)) print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk) print('Forenklet uttrykk:', forenklet) print('Kontroll ved a=5, b=2:') print('Opprinnelig =', N(uttrykk.subs({a:5,b:2}))) print('Forenklet =', N(forenklet.subs({a:5,b:2}))) # Utskrift: # Opprinnelig uttrykk: (a - 2*b)/(a**2 - b**2) + 2/(a - b) # Forenklet uttrykk: 3*a/((a - b)*(a + b)) # Kontroll ved a=5, b=2: # Opprinnelig = 0.714285714285714 # Forenklet = 0.714285714285714

Fasit: \(\dfrac{3a}{a^2-b^2}\), for \(a\neq b\) og \(a\neq -b\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1a 2 Konjugatsetningen

Oppgave 1a 2

Oppgave:

Bruk konjugatsetningen til å bestemme \(99\cdot 101\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metodevalg, kontrollere resultatet og avslutte med en tydelig tolkning.

Steg 1 — Skriv tallene rundt 100

\[99=100-1,\qquad 101=100+1\]

Steg 2 — Bruk konjugatsetningen

\[\left(100-1\right)\left(100+1\right)=100^2-1^2\]

Steg 3 — Regn potensene

\[100^2-1^2=10000-1\]

Steg 4 — Trekk fra

\[10000-1=9999\]

Steg 5 — Kontroller rimelighet

Produktet må ligge svært nær \(100\cdot100=10000\), og \(9999\) er derfor rimelig.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både regningen og betydningen av svaret kommer tydelig fram.

Vanlig feil: Å regne \(99\cdot101\) som \(100^2+1\). Riktig tegn er minus.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 (100-1)(100+1) → \(9999\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import * produkt = 99*101 konjugat = (100-1)*(100+1) regnet_som_differanse = 100**2 - 1**2 print('99*101 =', produkt) print('(100-1)*(100+1) =', konjugat) print('100**2 - 1**2 =', regnet_som_differanse) print('Alle tre verdiene er like:', produkt == konjugat == regnet_som_differanse) # Utskrift: # 99*101 = 9999 # (100-1)*(100+1) = 9999 # 100**2 - 1**2 = 9999 # Alle tre verdiene er like: True

Fasit: \(99\cdot 101=9999\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1a 3 Kvadratsetninger

Oppgave 1a 3

Oppgave:

Hvis \(\left(x+y\right)^2=100\) og \(x^2+y^2=60\), hva er da produktet \(x\cdot y\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metodevalg, kontrollere resultatet og avslutte med en tydelig tolkning.

Steg 1 — Utvid kvadratet

\[\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2\]

Steg 2 — Sett inn opplysningene

Siden \(\left(x+y\right)^2=100\) og \(x^2+y^2=60\), får vi \[60+2xy=100\]

Steg 3 — Isoler \(2xy\)

\[2xy=100-60=40\]

Steg 4 — Del på 2

\[xy=20\]

Steg 5 — Kontroller

\(x^2+y^2+2xy=60+40=100\), som stemmer med opplysningen.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både regningen og betydningen av svaret kommer tydelig fram.

Vanlig feil: Å tro at \(\left(x+y\right)^2=x^2+y^2\). Midtleddet \(2xy\) må med.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(x^2+2xy+y^2=100 og x^2+y^2=60, xy) → \(xy=20\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import * x, y = symbols('x y') xy = symbols('xy') likning = Eq(60 + 2*xy, 100) losning = solve(likning, xy)[0] print('Likning for produktet:', likning) print('xy =', losning) print('Kontroll: 60 + 2*xy =', 60 + 2*losning) # Utskrift: # Likning for produktet: Eq(2*xy + 60, 100) # xy = 20 # Kontroll: 60 + 2*xy = 100

Fasit: \(x\cdot y=20\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Sannsynlighet

Oppgave 1b

Oppgave:

Vi kaster to terninger. Bestem sannsynligheten for at summen av antall øyne blir 10.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metodevalg, kontrollere resultatet og avslutte med en tydelig tolkning.

Steg 1 — Velg utfallsrom

To vanlige terninger gir \(6\cdot6=36\) like sannsynlige ordnede utfall.

Steg 2 — Finn gunstige utfall

Summen 10 får vi ved \(\left(4,6\right)\), \(\left(5,5\right)\) og \(\left(6,4\right)\).

Steg 3 — Tell gunstige utfall

Det finnes 3 gunstige utfall.

Steg 4 — Regn sannsynligheten

\[P\left(\text{sum }10\right)=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}\]

Steg 5 — Tolk

Sannsynligheten er omtrent \(0{,}0833\), altså \(8{,}33\,\%\).

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både regningen og betydningen av svaret kommer tydelig fram.

Vanlig feil: Å telle \(\left(4,6\right)\) og \(\left(6,4\right)\) som samme utfall. Med to terninger er de to ulike ordnede utfall.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Antall({(4,6),(5,5),(6,4)})/36 → \(\dfrac{1}{12}\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import * utfall = [(i, j) for i in range(1, 7) for j in range(1, 7)] gunstige = [(i, j) for (i, j) in utfall if i + j == 10] sannsynlighet = Rational(len(gunstige), len(utfall)) print('Antall mulige utfall:', len(utfall)) print('Gunstige utfall:', gunstige) print('Antall gunstige:', len(gunstige)) print('Sannsynlighet:', sannsynlighet) print('Desimal:', N(sannsynlighet)) # Utskrift: # Antall mulige utfall: 36 # Gunstige utfall: [(4, 6), (5, 5), (6, 4)] # Antall gunstige: 3 # Sannsynlighet: 1/12 # Desimal: 0.0833333333333333

Fasit: \(P=\dfrac{1}{12}\approx 0{,}0833\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c 1 Rasjonal likning

Oppgave 1c 1

Oppgave:

Løs likningen \(\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{3}{x^2-1}=1+\dfrac{6}{x+1}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metodevalg, kontrollere resultatet og avslutte med en tydelig tolkning.

Steg 1 — Finn forbudte verdier

Nevnerne gir \(x\neq1\) og \(x\neq -1\).

Steg 2 — Faktoriser

\[x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\]

Steg 3 — Flytt alt til én side

Vi undersøker \[\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{3}{x^2-1}-1-\dfrac{6}{x+1}=0\]

Steg 4 — Samle til én brøk

Uttrykket blir \[-\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+6\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=0\]

Steg 5 — Sett telleren lik null

\[\left(x-2\right)\left(x+6\right)=0\Rightarrow x=2\ \text{eller}\ x=-6\]

Steg 6 — Kontroller definisjonskravet

Begge løsningene er lovlige fordi ingen av dem er \(1\) eller \(-1\).

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både regningen og betydningen av svaret kommer tydelig fram.

Vanlig feil: Å multiplisere bort nevnerne uten å notere at \(x=1\) og \(x=-1\) ikke er lovlige.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(2/(x-1)+3/(x^2-1)=1+6/(x+1)) → \(x=-6\lor x=2\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import * x = symbols('x') likning = Eq(2/(x-1) + 3/(x**2-1), 1 + 6/(x+1)) uttrykk = 2/(x-1) + 3/(x**2-1) - 1 - 6/(x+1) samlet = factor(together(uttrykk)) losninger = solve(likning, x) print('Likning:', likning) print('Samlet venstre side minus høyre side:', samlet) print('Kandidatløsninger:', losninger) for kandidat in losninger: print('Kontroll x =', kandidat, ':', simplify(uttrykk.subs(x, kandidat))) print('Forbudte verdier: x = 1 og x = -1') # Utskrift: # Likning: Eq(3/(x**2 - 1) + 2/(x - 1), 1 + 6/(x + 1)) # Samlet venstre side minus høyre side: -(x - 2)*(x + 6)/((x - 1)*(x + 1)) # Kandidatløsninger: [-6, 2] # Kontroll x = -6 : 0 # Kontroll x = 2 : 0 # Forbudte verdier: x = 1 og x = -1

Fasit: \(x=-6\) eller \(x=2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c 2 Logaritmelikning

Oppgave 1c 2

Oppgave:

Løs likningen \(2\lg\left(x+1\right)=4\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metodevalg, kontrollere resultatet og avslutte med en tydelig tolkning.

Steg 1 — Finn definisjonskravet

Vi må ha \(x+1>0\), altså \(x>-1\).

Steg 2 — Del på 2

\[\lg\left(x+1\right)=2\]

Steg 3 — Skriv om fra logaritmeform

\[x+1=10^2\]

Steg 4 — Regn ut

\[x+1=100\Rightarrow x=99\]

Steg 5 — Kontroller definisjonskravet

\(99>-1\), så løsningen er lovlig. …