Matematikk S1 Eksamen høsten 2019 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk S1 · REA3026

Eksamen høst 2019 - komplett løsningsforslag

Originalt og gjennomarbeidet løsningsforslag på bokmål. Filen bruker MathJax for matematikk, nøytral Python-visning og ryddige GeoGebra CAS-kontroller.

Kilde: EVH-2019REA3026____F02S.pdf Del 1 + Del 2 30 deloppgaver

Del 1

Del 1 · Oppgave 1a Likninger

Andregradslikning

Oppgave:

Løs likningen \(x^2+4x-12=0\).

Vis løsning Løsning:

Vi faktoriserer andregradsuttrykket. Vi trenger to tall som har produkt \(-12\) og sum \(4\). Tallene er \(6\) og \(-2\).

\[ x^2+4x-12=(x+6)(x-2) \]

Nullproduktregelen gir

\[ (x+6)(x-2)=0 \quad \Longrightarrow \quad x=-6 \;\text{eller}\; x=2. \]

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor, solve x = symbols('x') uttrykk = x**2 + 4*x - 12 print("Faktorisert uttrykk:", factor(uttrykk)) print("Løsninger:", solve(uttrykk, x)) # Utskrift: # Faktorisert uttrykk: (x - 2)*(x + 6) # Løsninger: [-6, 2]

GeoGebra CAS-kontroll 1 Factor[x^2 + 4x - 12] (x - 2)(x + 6) 2 Solve[x^2 + 4x - 12 = 0] x = -6 eller x = 2 Fasit: \(x=-6\) eller \(x=2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Logaritmer

Logaritmelikning

Oppgave:

Løs likningen \(\lg(5-2x)=1\).

Vis løsning Løsning:

Definisjonsmengden krever \(5-2x>0\), altså \(x<2{,}5\). Siden \(\lg A=1\) betyr \(A=10\), får vi

\[ 5-2x=10 \] \[ -2x=5 \quad \Longrightarrow \quad x=-\frac{5}{2}=-2{,}5. \]

Verdien ligger i definisjonsmengden.

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve, log x = symbols('x') # lg(5 - 2x) = 1 betyr 5 - 2x = 10 likning = 5 - 2*x - 10 losning = solve(likning, x) print("Løsning:", losning) print("Kontroll av argumentet 5 - 2x:", [5 - 2*v for v in losning]) # Utskrift: # Løsning: [-5/2] # Kontroll av argumentet 5 - 2x: [10]

GeoGebra CAS-kontroll 1 Solve[log10(5 - 2x) = 1] x = -2.5 2 5 - 2*(-2.5) 10 Fasit: \(x=-2{,}5\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Ulikheter

Ulikhet

Oppgave:

Løs ulikheten \(x^2-2x<0\).

Vis løsning Løsning:

Vi faktoriserer:

\[ x^2-2x=x(x-2) \]

Produktet er negativt når faktorene har ulikt fortegn. Nullpunktene er \(0\) og \(2\). Mellom nullpunktene er \(x>0\) og \(x-2<0\), så produktet er negativt.

\[ 0

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality x = symbols('x') ulikhet = x**2 - 2*x < 0 print(solve_univariate_inequality(ulikhet, x)) # Utskrift: # (0 < x) & (x < 2)

GeoGebra CAS-kontroll 1 Solve[x^2 - 2x < 0] 0 < x < 2 Fasit: \(x\in(0,2)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Systemer

Likningssystem

Oppgave:

Løs likningssystemet \(x^2+4y=4x\) og \(4x-2y=6\).

Vis løsning Løsning:

Fra den lineære likningen får vi

\[ 4x-2y=6 \quad \Longrightarrow \quad y=2x-3. \]

Dette settes inn i den første likningen:

\[ x^2+4(2x-3)=4x \] \[ x^2+8x-12=4x \quad \Longrightarrow \quad x^2+4x-12=0 \] \[ (x+6)(x-2)=0 \]

Dermed er \(x=-6\) eller \(x=2\). Vi finner \(y\):

\[ y=2(-6)-3=-15, \qquad y=2\cdot 2-3=1. \]

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve, Eq x, y = symbols('x y') likninger = [Eq(x**2 + 4*y, 4*x), Eq(4*x - 2*y, 6)] losninger = solve(likninger, [x, y]) print("Løsninger:", losninger) for sol in losninger: print("Kontroll:", sol, "->", [eq.subs({x: sol[0], y: sol[1]}) for eq in likninger]) # Utskrift: # Løsninger: [(-6, -15), (2, 1)] # Kontroll: (-6, -15) -> [True, True] # Kontroll: (2, 1) -> [True, True]

GeoGebra CAS-kontroll 1 Solve[{x^2 + 4y = 4x, 4x - 2y = 6}] {(-6, -15), (2, 1)} Fasit: Løsningene er \((-6,-15)\) og \((2,1)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4a Algebra

Algebraisk forenkling

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \((a+2)^3-a(a+2)^2\).

Vis løsning Løsning:

Faktoriser ut den felles faktoren \((a+2)^2\):

\[ (a+2)^3-a(a+2)^2=(a+2)^2\big((a+2)-a\big) \] \[ =(a+2)^2\cdot 2=2(a+2)^2. \]

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor, expand A = symbols('a') uttrykk = (A + 2)**3 - A*(A + 2)**2 print("Faktorisert:", factor(uttrykk)) print("Utvidet kontroll:", expand(factor(uttrykk))) # Utskrift: # Faktorisert: 2*(a + 2)**2 # Utvidet kontroll: 2*a**2 + 8*a + 8

GeoGebra CAS-kontroll 1 Factor[(a+2)^3 - a(a+2)^2] 2(a + 2)^2 Fasit: \(2(a+2)^2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4b Brøkuttrykk

Rasjonalt uttrykk

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x+1}{x-1}-\frac{x+5}{x^2+x-2}\).

Vis løsning Løsning:

Først faktoriserer vi nevneren i siste brøk:

\[ x^2+x-2=(x+2)(x-1) \]

Fellesnevner er \((x+2)(x-1)\). Da får vi

\[ \frac{(x+1)(x-1)}{(x+2)(x-1)}-\frac{(x+1)(x+2)}{(x-1)(x+2)}-\frac{x+5}{(x+2)(x-1)} \] \[ =\frac{(x+1)(x-1)-(x+1)(x+2)-(x+5)}{(x+2)(x-1)}. \]

Telleren blir

\[ x^2-1-(x^2+3x+2)-x-5=-4x-8=-4(x+2). \]

Dermed

\[ \frac{-4(x+2)}{(x+2)(x-1)}=-\frac{4}{x-1}. \]

Uttrykket er definert når \(x\ne -2\) og \(x\ne1\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify, factor x = symbols('x') uttrykk = (x + 1)/(x + 2) - (x + 1)/(x - 1) - (x + 5)/(x**2 + x - 2) print("Faktorisert nevner:", factor(x**2 + x - 2)) print("Forenklet uttrykk:", simplify(uttrykk)) # Utskrift: # Faktorisert nevner: (x - 1)*(x + 2) # Forenklet uttrykk: -4/(x - 1)

GeoGebra CAS-kontroll 1 Factor[x^2 + x - 2] (x - 1)(x + 2) 2 Simplify[(x+1)/(x+2)-(x+1)/(x-1)-(x+5)/(x^2+x-2)] -4/(x - 1) Fasit: \(-\frac{4}{x-1}\), for \(x\ne -2\) og \(x\ne1\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4c Logaritmer

Logaritmeuttrykk

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(2\lg(2x^2)+\lg\left(\frac{5}{x}\right)-\lg(2x^3)\).

Vis løsning Løsning:

Vi bruker logaritmereglene \(k\lg A=\lg(A^k)\), \(\lg A+\lg B=\lg(AB)\) og \(\lg A-\lg B=\lg\left(\frac{A}{B}\right)\).

\[ 2\lg(2x^2)=\lg\left((2x^2)^2\right)=\lg(4x^4) \] \[ 2\lg(2x^2)+\lg\left(\frac{5}{x}\right)-\lg(2x^3) =\lg\left(\frac{4x^4\cdot \frac{5}{x}}{2x^3}\right) \] \[ =\lg(10). \]

Siden \(\lg(10)=1\), blir uttrykket lik \(1\), for \(x>0\). …