Fullstendig løsningsforslag til Matematikk S1 Eksamen høsten 2014. Steg-for-steg med «Vis løsning» og ifingo-læreren.
Faglig kvalitetssikret av lærere og toppstudenter · Følger læreplanen (LK20) · Sist oppdatert 2026-10-13
Fullstendig ifingo-løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave har plan, trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil og digital kontroll der det passer.
Udir · REA3026 Høst 2014 Matematikk S1 Del 1 og Del 2Løs likningen \(2x-10=x\left(x-5\right)\).
Vis løsningHva spør oppgaven om? Vi skal løse en andregradslikning. Først samler vi alle ledd på én side, deretter faktoriserer vi og bruker nullproduktregelen.
\[x\left(x-5\right)=x^2-5x\]
\[2x-10=x^2-5x\]
\[0=x^2-5x-2x+10=x^2-7x+10\]
Vi trenger to tall med produkt \(10\) og sum \(-7\). Tallene er \(-5\) og \(-2\).
\[x^2-7x+10=\left(x-5\right)\left(x-2\right)\]
\[\left(x-5\right)\left(x-2\right)=0\]
\[x=5\quad \text{eller}\quad x=2\]
Likningen har to løsninger fordi andregradsuttrykket kan bli null for to ulike \(x\)-verdier.
Vanlig feil: Å flytte ledd feil og få \(x^2-3x+10=0\). Kontroller alltid ved innsetting.from sympy import symbols, Eq, solve x=symbols("x") print(solve(Eq(2*x-10, x*(x-5)), x))Løs likningen \(\lg\left(\dfrac{x}{2}\right)+3=5\).
Vis løsningHva spør oppgaven om? Vi isolerer logaritmen, skriver om fra logaritmeform til potensform og kontrollerer definisjonsmengden.
Logaritmen krever \(\dfrac{x}{2}>0\), altså \(x>0\).
\[\lg\left(\dfrac{x}{2}\right)+3=5 \quad \Rightarrow\quad \lg\left(\dfrac{x}{2}\right)=2\]
Når \(\lg A=2\), betyr det at \(A=10^2\).
\[\dfrac{x}{2}=10^2=100\]
\[x=200\]
\(200>0\), så løsningen er gyldig.
Verdien \(x=200\) gjør at \(x/2=100\), og \(\lg(100)=2\).
Vanlig feil: Å glemme at \(\lg\) betyr tierlogaritme, eller å la \(+3\) stå inne i logaritmen.from sympy import symbols, Eq, solve, log x=symbols("x") print(solve(Eq(log(x/2,10)+3,5),x))Bruk en kvadratsetning til å bestemme verdien av produktet \(995\cdot995\).
Vis løsningHva spør oppgaven om? Vi skal bruke kvadratsetningen for \((a-b)^2\), fordi \(995\) ligger nær \(1000\).
\[995=1000-5\]
\[995\cdot995=995^2=\left(1000-5\right)^2\]
\[\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2\]
\[\left(1000-5\right)^2=1000^2-2\cdot1000\cdot5+5^2\]
\[1000000-10000+25=990025\]
Svaret skal være litt mindre enn \(1000^2=1000000\), og \(990025\) passer.
Kvadratsetningen gir produktet raskt uten lang multiplikasjon.
Vanlig feil: Å skrive \((1000-5)^2=1000^2-5^2\). Midtleddet \(-2ab\) må være med.print(995*995)Løs likningssystemet \(\left\{\begin{aligned}2x&=y-4\4x^2+3y&=12\end{aligned}\right.\).
Vis løsningHva spør oppgaven om? Vi uttrykker \(y\) ved hjelp av \(x\) fra den første likningen og setter dette inn i den andre.
\[2x=y-4\quad \Rightarrow\quad y=2x+4\]
\[4x^2+3\left(2x+4\right)=12\]
\[4x^2+6x+12=12\quad \Rightarrow\quad 4x^2+6x=0\]
\[2x\left(2x+3\right)=0\]
\[x=0\quad \text{eller}\quad x=-\dfrac{3}{2}\]
\[x=0\Rightarrow y=4\]
\[x=-\dfrac{3}{2}\Rightarrow y=2\left(-\dfrac{3}{2}\right)+4=1\]
Likningssystemet har to løsninger fordi innsettingen gir en andregradslikning.
Vanlig feil: Å bare finne \(x\)-verdiene og ikke sette tilbake for å finne \(y\).from sympy import symbols, Eq, solve x,y=symbols("x y") print(solve([Eq(2*x,y-4), Eq(4*x**2+3*y,12)],[x,y]))Skriv så enkelt som mulig \(\lg\left(\dfrac{a^2}{b}\right)+\lg\left(a^2b^2\right)-\lg\left(\dfrac{b}{a}\right)\).
Vis løsningHva spør oppgaven om? Vi samler logaritmene ved hjelp av produktregel og kvotientregel. Vi forutsetter at uttrykkene inne i logaritmene er positive.
\[\lg\left(\dfrac{a^2}{b}\right)+\lg\left(a^2b^2\right)=\lg\left(\dfrac{a^2}{b}\cdot a^2b^2\right)\]
\[\lg U-\lg V=\lg\left(\dfrac{U}{V}\right)\]
\[\lg\left(\dfrac{\dfrac{a^2}{b}\cdot a^2b^2}{\dfrac{b}{a}}\right)\]
\[\lg\left(\dfrac{a^2}{b}\cdot a^2b^2\cdot \dfrac{a}{b}\right)\]
\[\dfrac{a^2}{b}\cdot a^2b^2\cdot \dfrac{a}{b}=a^5\]
\[\lg\left(a^5\right)=5\lg a\]
Uttrykket kan skrives som én logaritme, eller som \(5\lg a\).
Vanlig feil: Å bruke \(\lg u+\lg v=\lg(u+v)\). Det er feil; logaritmer av produkter hører sammen.from sympy import symbols, simplify a,b=symbols("a b") print(simplify((a**2/b)*(a**2*b**2)/(b/a)))Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=-\dfrac{2}{3}x^3+x^2+2\), \(D_f=\mathbb{R}\). Bestem \(f\prime(x)\).
Vis løsningHva spør oppgaven om? Vi deriverer polynomet ledd for ledd.
\[\left(-\dfrac{2}{3}x^3\right)\prime=-\dfrac{2}{3}\cdot3x^2=-2x^2\]
\[\left(x^2\right)\prime=2x\]
\[2\prime=0\]
\[f\prime(x)=-2x^2+2x\]
\[f\prime(x)=2x\left(1-x\right)\]
Den deriverte forteller hvor grafen vokser og avtar.
Vanlig feil: Å glemme at konstanten \(2\) får derivert \(0\).from sympy import symbols, diff, Rational x=symbols("x") f=-Rational(2,3)*x**3+x**2+2 print(diff(f,x))Bruk den deriverte til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \(f\).
Vis løsningHva spør oppgaven om? Vi setter \(f\prime(x)=0\), lager fortegnsvurdering og finner funksjonsverdiene.
\[f\prime(x)=2x\left(1-x\right)\]
\[2x\left(1-x\right)=0\quad \Rightarrow\quad x=0\quad \text{eller}\quad x=1\]
Da er \(2x<0\) og \(1-x>0\), så \(f\prime(x)<0\). Grafen avtar.
Da er begge faktorene positive, så \(f\prime(x)>0\). Grafen vokser.
Da er \(2x>0\), men \(1-x<0\), så \(f\prime(x)<0\). Grafen avtar.
Ved \(x=0\) går grafen fra avtakende til voksende, altså bunnpunkt. Ved \(x=1\) går grafen fra voksende til avtakende, altså toppunkt.
\[f(0)=2\]
\[f(1)=-\dfrac{2}{3}+1+2=\dfrac{7}{3}\]
Grafen har et lokalt bunnpunkt i \((0,2)\) og et lokalt toppunkt i \(\left(1,\dfrac{7}{3}\right)\). …