Matematikk S1 Eksamen høsten 2022 (K06) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk S1 · REA3026

Matematikk S1 – Høst 2022 K06
Komplett løsningsforslag

Denne filen følger bokmålsdelen av eksamenssettet. Hver deloppgave er skrevet ut med oppgavetekst, løsning, fasit, Python-kontroll og GeoGebra/CAS-kontroll der det er relevant. Matematikken er formatert med MathJax, uten dollartegn som matteavgrensere.

EksamenREA3026 Matematikk S1 TerminHøst 2022 K06 OmfangDel 1: 10 oppgaver · Del 2: 4 oppgaver KontrollMathJax · Python · GeoGebra/CAS Innhold

1. Oppgave 1
2. Oppgave 2
3. Oppgave 3
4. Oppgave 4
5. Oppgave 5
6. Oppgave 6
7. Oppgave 7
8. Oppgave 8
9. Oppgave 9
10. Oppgave 10
11. Oppgave 11
12. Oppgave 12
13. Oppgave 13
14. Oppgave 14
15. Oppgave 15
16. Oppgave 16
17. Oppgave 17
18. Oppgave 18
19. Oppgave 19
20. Oppgave 20
21. Oppgave 21
22. Oppgave 22
23. Oppgave 23
24. Oppgave 24
25. Oppgave 25
26. Oppgave 26
27. Oppgave 27
28. Oppgave 28
29. Oppgave 29

Del 1 – uten digitale hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Likninger

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs likningen \(10x+1=\frac{101}{100}\).

Vis løsning Løsning:

Trekk først fra 1 på begge sider:

\[10x=\frac{101}{100}-1=\frac{1}{100}\]

Del deretter på 10:

\[x=\frac{1}{100}\cdot\frac{1}{10}=\frac{1}{1000}\] Fasit: \(x=\frac{1}{1000}=0{,}001\).

Python-kontroll

from sympy import Eq, Rational, solve, symbols x = symbols('x') likning = Eq(10*x + 1, Rational(101, 100)) losning = solve(likning, x) kontroll = 10*losning[0] + 1 print("Likning:", likning) print("Løsning:", losning) print("Venstre side når x settes inn:", kontroll) print("Høyre side:", Rational(101, 100)) # Utskrift: # Likning: Eq(10*x + 1, 101/100) # Løsning: [1/1000] # Venstre side når x settes inn: 101/100 # Høyre side: 101/100

GeoGebra / CAS-kontroll 1 Løs(10x+1=101/100, x) x = 1/1000 Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Faktorisering og nullpunkter

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningen \(x^3+3x^2-4x=0\).

Vis løsning Løsning:

Faktoriser først ut \(x\):

\[x^3+3x^2-4x=x(x^2+3x-4)=x(x+4)(x-1)\]

Når et produkt er null, må minst én faktor være null.

Fasit: \(x=-4\), \(x=0\) eller \(x=1\).

Python-kontroll

from sympy import factor, solve, symbols x = symbols('x') uttrykk = x**3 + 3*x**2 - 4*x faktorisert = factor(uttrykk) losninger = solve(uttrykk, x) print("Uttrykk:", uttrykk) print("Faktorisert:", faktorisert) print("Løsninger:", losninger) for verdi in losninger: print(verdi, "gir", uttrykk.subs(x, verdi)) # Utskrift: # Uttrykk: x**3 + 3*x**2 - 4*x # Faktorisert: x*(x - 1)*(x + 4) # Løsninger: [-4, 0, 1] # -4 gir 0 # 0 gir 0 # 1 gir 0

GeoGebra / CAS-kontroll 1 Faktoriser(x^3+3x^2-4x) x (x - 1) (x + 4) 2 Løs(x^3+3x^2-4x=0,x) {-4, 0, 1} Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Logaritmelikning

Oppgave 1c

Oppgave:

Løs likningen \(\lg(2x^2)-\lg x=1\).

Vis løsning Løsning:

Fordi \(\lg x\) forekommer, må \(x>0\). Bruk logaritmeregelen \(\lg A-\lg B=\lg\left(\frac AB\right)\):

\[\lg(2x^2)-\lg x=\lg\left(\frac{2x^2}{x}\right)=\lg(2x)\]

Dermed er \(\lg(2x)=1\), altså \(2x=10\).

Fasit: \(x=5\).

Python-kontroll

from sympy import Eq, log, solve, symbols x = symbols('x', positive=True) # lg skrives som log10 i SymPy ved å bruke log(uttrykk, 10) likning = Eq(log(2*x**2, 10) - log(x, 10), 1) losning = solve(likning, x) print("Likning:", likning) print("Løsning med x > 0:", losning) print("Kontroll:", (log(2*losning[0]**2, 10) - log(losning[0], 10)).simplify()) # Utskrift: # Likning: Eq(log(2*x**2)/log(10) - log(x)/log(10), 1) # Løsning med x > 0: [5] # Kontroll: 1

GeoGebra / CAS-kontroll 1 Løs(lg(2x^2)-lg(x)=1,x) x = 5 Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Algebra

Oppgave 2a

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(2(x+y)^2-2(x^2+y^2)-y(4x+y)\).

Vis løsning Løsning:

Utvid parentesene og trekk sammen like ledd:

\[\begin{aligned}2(x+y)^2-2(x^2+y^2)-y(4x+y)&=2(x^2+2xy+y^2)-2x^2-2y^2-4xy-y^2\\&=2x^2+4xy+2y^2-2x^2-2y^2-4xy-y^2\\&=-y^2\end{aligned}\] Fasit: \(-y^2\).

Python-kontroll

from sympy import expand, simplify, symbols x, y = symbols('x y') uttrykk = 2*(x + y)**2 - 2*(x**2 + y**2) - y*(4*x + y) utvidet = expand(uttrykk) forenklet = simplify(uttrykk) print("Uttrykk:", uttrykk) print("Utvidet:", utvidet) print("Forenklet:", forenklet) # Utskrift: # Uttrykk: -y*(4*x + y) + 2*(x + y)**2 - 2*x**2 - 2*y**2 # Utvidet: -y**2 # Forenklet: -y**2

GeoGebra / CAS-kontroll 1 Utvid(2(x+y)^2-2(x^2+y^2)-y(4x+y)) -y^2 Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Logaritmeregler

Oppgave 2b

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\lg(a^4b)-\lg\left(\frac{a^3}{b^2}\right)+\lg(a^{-1})\).

Vis løsning Løsning:

Vi samler logaritmene til én logaritme:

\[\lg(a^4b)-\lg\left(\frac{a^3}{b^2}\right)+\lg(a^{-1})=\lg\left(\frac{a^4b\cdot a^{-1}}{a^3/b^2}\right)\]

Inne i logaritmen får vi

\[\frac{a^4b\cdot a^{-1}}{a^3/b^2}=\frac{a^3b}{a^3/b^2}=b^3\] Fasit: \(\lg(b^3)=3\lg b\), for positive verdier der uttrykket er definert.

Python-kontroll

from sympy import log, simplify, symbols # Vi kontrollerer selve argumentet inni samlet logaritme. a, b = symbols('a b', positive=True) argument = (a**4*b * a**(-1)) / (a**3/b**2) forenklet_argument = simplify(argument) print("Samlet logaritmeargument:", argument) print("Forenklet argument:", forenklet_argument) print("Logaritmen blir: log(b**3, 10) = 3*log(b, 10)") # Utskrift: # Samlet logaritmeargument: b**3 # Forenklet argument: b**3 # Logaritmen blir: log(b**3, 10) = 3*log(b, 10)

GeoGebra / CAS-kontroll 1 Forenkle((a^4 b*a^(-1))/(a^3/b^2)) b^3 2 Logaritmeregel lg(b^3)=3 lg(b) Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Geometri og likningssystem

Oppgave 3a

Oppgave:

I trapeset er omkretsen \(20\) og \(y>0\). Vis at opplysningene gir likningssystemet \(x^2+y^2=25\) og \(3x+y=15\).

Vis løsning Løsning:

Den skrå siden er \(5\). Den danner en rettvinklet trekant med kateter \(x\) og \(y\). Pytagoras gir

\[x^2+y^2=5^2=25\]

Omkretsen består av venstre side \(x\), øvre side \(x\), nedre side \(x+y\) og skrå side \(5\): …