Matematikk S1 Eksamen høsten 2008 – løsningsforslag

Matematikk S1 eksamen Høst 2008 – løsningsforslag

Dette er første eksamenssett i ZIP-filen: S1_H08.pdf. ZIP-filen inneholder 45 PDF-filer totalt. Løsningene under er skrevet på bokmål, med full transkripsjon av oppgavene, trinnvis regning, tolkning, vanlige feil og digital kontroll.

Fag: Matematikk S1 Termin: Høst 2008 Kilde: opplastet Udir-PDF Del 1 og Del 2

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 består av Oppgave 1 og Oppgave 2. Her brukes algebra, logaritmer, derivasjon, kombinatorikk og sannsynlighet uten digitale hjelpemidler. Kontrollfeltene viser hvordan samme svar kan bekreftes digitalt etterpå.

Del 1 · Oppgave 1a Ulikheter

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs ulikheten \(2x+4\le 4x+8\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne alle verdier av \(x\) som gjør ulikheten sann. Siden uttrykket er lineært, kan vi flytte ledd og isolere \(x\).

Steg 1 — Samle x-leddene på én side

Trekk fra \(2x\) på begge sider:

\[2x+4-2x\le 4x+8-2x\]

Da får vi \[4\le 2x+8\]

Steg 2 — Samle konstantleddene

Trekk fra \(8\) på begge sider:

\[4-8\le 2x\]

Altså \[-4\le 2x\]

Steg 3 — Del på positivt tall

Vi deler på \(2\). Siden \(2\) er positivt, snur ikke ulikhetstegnet:

\[-2\le x\]

Steg 4 — Skriv svaret på vanlig form

\[-2\le x\quad \Longleftrightarrow \quad x\ge -2\]

Steg 5 — Kontroll med innsetting

For \(x=-2\) får vi venstre side \(0\) og høyre side \(0\). Grenseverdien stemmer.

Tolkning

Alle tall som er større enn eller lik \(-2\), løser ulikheten.

Vanlig feil: Å snu ulikhetstegnet når man deler på et positivt tall. Tegnet skal bare snus når man multipliserer eller deler med et negativt tall.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(2x+4 <= 4x+8) → \(x\ge -2\)

💻 Python

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality x = symbols("x") print(solve_univariate_inequality(2*x + 4 <= 4*x + 8, x))

Fasit: \(x\ge -2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Andregradsulikhet

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs ulikheten \(2x^2+10x>x^2+10x+25\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse en andregradsulikhet. Først samler vi alt på én side, deretter finner vi nullpunkter og bruker fortegn.

Steg 1 — Flytt alt til venstre side

\[2x^2+10x-(x^2+10x+25)>0\]

Dette gir \[x^2-25>0\]

Steg 2 — Faktoriser uttrykket

\[x^2-25=(x-5)(x+5)\]

Steg 3 — Finn nullpunktene

\[(x-5)(x+5)=0\]

Dermed er \(x=5\) eller \(x=-5\).

Steg 4 — Lag fortegnsdrøfting

Parabelen \(x^2-25\) vender oppover. Den er positiv utenfor nullpunktene og negativ mellom dem.

\[x^2-25>0 \quad ext{for} \quad x<-5 ext{ eller } x>5\]

Steg 5 — Husk streng ulikhet

Siden tegnet er \(>\), skal nullpunktene ikke tas med i løsningen.

Tolkning

Løsningen består av to intervaller: ett til venstre for \(-5\) og ett til høyre for \(5\).

Vanlig feil: Å ta med \(x=-5\) og \(x=5\). Ved streng ulikhet er disse punktene ikke løsninger.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(2x^2+10x > x^2+10x+25) → \(x<-5 \lor x>5\)

💻 Python

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality x = symbols("x") print(solve_univariate_inequality(2*x**2 + 10*x > x**2 + 10*x + 25, x))

Fasit: \(x<-5\) eller \(x>5\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c1 Logaritmefunksjon

Oppgave 1c1

Oppgave:

Vi har gitt funksjonen \(f(x)=2\lg x+3\). Figuren viser grafen til \(f\). Løs likningen \(f(x)=4\) grafisk og ved regning.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(x\)-verdien der grafen har \(y\)-verdi \(4\). Grafisk leses skjæringen av, og algebraisk løser vi logaritmelikningen.

Steg 1 — Grafisk idé

På grafen tegner vi linjen \(y=4\). Skjæringen med grafen til \(f\) ligger litt over \(x=3\).

Steg 2 — Sett opp likningen

\[2\lg x+3=4\]

Steg 3 — Isoler logaritmen

Trekk fra \(3\):

\[2\lg x=1\]

Del på \(2\):

\[\lg x=\dfrac{1}{2}\]

Steg 4 — Gå fra logaritme til potens

\(\lg x=\dfrac{1}{2}\) betyr at \(10^{1/2}=x\). Derfor

\[x=10^{1/2}=\sqrt{10}\]

Steg 5 — Desimalverdi

\[\sqrt{10}pprox 3{,}16\]

Dette passer med den grafiske avlesningen.

Tolkning

Grafisk får vi omtrent \(x=3{,}2\), mens regning gir den eksakte verdien \(\sqrt{10}\).

Vanlig feil: Å skrive \(x=\dfrac{1}{2}\). Logaritmen er \(\dfrac{1}{2}\), ikke selve \(x\)-verdien.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(2*log10(x)+3=4) → \(x=\sqrt{10}pprox 3{,}16\)

💻 Python

from sympy import symbols, Eq, solve, log, N x = symbols("x", positive=True) sol = solve(Eq(2*log(x,10)+3, 4), x) print(sol, [N(s) for s in sol])

Fasit: \(x=\sqrt{10}pprox 3{,}16\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c2 Derivasjon grafisk

Oppgave 1c2

Oppgave:

Bruk grafen til å bestemme en tilnærmet verdi for \(f\prime(3)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av den momentane vekstfarten ved \(x=3\). Det betyr stigningstallet til tangenten i punktet på grafen.

Steg 1 — Finn punktet på grafen

Ved \(x=3\) ligger grafen litt under \(y=4\), omtrent ved \(f(3)pprox 4{,}0\).

Steg 2 — Tegn en tangent mentalt/grafisk

Tangenten ved \(x=3\) er slak og stigende. Vi leser av to omtrentlige punkter på tangenten.

Steg 3 — Bruk stigningstall

Stigningstall er

\[\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\]

Fra grafen får vi omtrent \(\Delta ypprox 0{,}3\) når \(\Delta xpprox 1\).

Steg 4 — Avlesning

Dermed er

\[f\prime(3)pprox 0{,}3\]

Steg 5 — Kontroll med formel

For \(f(x)=2\lg x+3\) er

\[f\prime(x)=\dfrac{2}{x\ln 10}\]

Da blir

\[f\prime(3)=\dfrac{2}{3\ln 10}pprox 0{,}29\]

Tolkning

Den grafiske avlesningen \(0{,}3\) er rimelig, og den digitale kontrollen gir omtrent \(0{,}29\).

Vanlig feil: Å bruke sekant over et altfor stort intervall og få en for grov avlesning.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Derivative(2*log10(x)+3) → \(\dfrac{2}{x\ln 10}\) 2 2/(3 ln(10)) → \(0{,}2895\)

💻 Python

from sympy import symbols, log, diff, N x = symbols("x", positive=True) f = 2*log(x,10) + 3 print(diff(f,x)) print(N(diff(f,x).subs(x,3)))

Fasit: \(f\prime(3)pprox 0{,}3\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d Likningssett

Oppgave 1d

Oppgave:

Løs likningssettet \(2x^2-2x-y=2\) og \(4x-y=6\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne punkt der en parabel og en rett linje skjærer hverandre. Vi bruker innsettingsmetoden.

Steg 1 — Løs den lineære likningen for \(y\)

Fra \(4x-y=6\) får vi

\[-y=6-4x\]

\[y=4x-6\]

Steg 2 — Sett inn i den andre likningen

\[2x^2-2x-(4x-6)=2\]

Steg 3 — Forenkle

\[2x^2-2x-4x+6=2\]

\[2x^2-6x+4=0\]

Del på \(2\):

\[x^2-3x+2=0\]

Steg 4 — Faktoriser

\[x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\]

Dermed er \(x=1\) eller \(x=2\).

Steg 5 — Finn \(y\)-verdiene

Når \(x=1\), er \(y=4\cdot 1-6=-2\).

Når \(x=2\), er \(y=4\cdot 2-6=2\).

Tolkning

Likningssettet har to løsninger fordi den rette linjen skjærer parabelen i to punkter.

Vanlig feil: Å finne \(x\)-verdiene, men glemme å sette dem inn for å finne \(y\)-verdiene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs({2x^2-2x-y=2, 4x-y=6}, {x,y}) → \((1,-2),(2,2)\)

💻 Python

from sympy import symbols, solve x, y = symbols("x y") print(solve([2*x**2 - 2*x - y - 2, 4*x - y - 6], [x, y]))

Fasit: \((x,y)=(1,-2)\) eller \((x,y)=(2,2)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1e Potenser

Oppgave 1e

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig \(\dfrac{(a^2)^2\cdot b^0\cdot a^{-2}\cdot b^2}{b\cdot a}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forenkle et potensuttrykk. Vi bruker potensreglene systematisk for \(a\) og \(b\).

Steg 1 — Bruk potens av potens

\[(a^2)^2=a^{2\cdot 2}=a^4\]

Steg 2 — Bruk regelen for nullte potens

\[b^0=1\]

Dette gjelder når \(b e 0\).

Steg 3 — Skriv uttrykket på nytt

\[\dfrac{a^4\cdot 1\cdot a^{-2}\cdot b^2}{b\cdot a}\]

Steg 4 — Samle \(a\)-potensene

I telleren får vi

\[a^4\cdot a^{-2}=a^{4-2}=a^2\]

Så deler vi på \(a\):

\[\dfrac{a^2}{a}=a\]

Steg 5 — Samle \(b\)-potensene

\[\dfrac{b^2}{b}=b\]

Dermed blir hele uttrykket \(ab\).

Tolkning

Uttrykket kan forenkles helt ned til ett produkt.

Vanlig feil: Å tro at \(b^0=0\). Riktig er \(b^0=1\) når \(b e 0\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle(((a^2)^2*b^0*a^(-2)*b^2)/(b*a)) → \(ab\)

💻 Python

from sympy import symbols, simplify a, b = symbols("a b", nonzero=True) expr = ((a**2)**2*b**0*a**(-2)*b**2)/(b*a) print(simplify(expr))

Fasit: \(ab\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1f1 Derivasjon og monotoni

Oppgave 1f1

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x^2-6x\). Bestem \(f\prime(x)\) og bruk denne til å avgjøre når grafen til \(f\) stiger og når den synker.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere funksjonen og bruke fortegnet til den deriverte til å bestemme vekstintervaller. …