Matematikk S1 Eksamen høsten 2009 – løsningsforslag

Matematikk S1 eksamen Høst 2009 - løsningsforslag

Alle oppgaver er transkribert fra Udir-PDF-en og løst på bokmål med full mellomregning, tolkning, vanlige feil og digital kontroll der det passer. I Oppgave 5 er begge alternativene løst, selv om eksamenskandidaten skulle velge ett av dem.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 løses for hånd. Her er hovedvekten på algebra, logaritmeregler, likninger, ulikheter, derivasjon, fortegnsskjema og grafisk tolkning.

Del 1 · Oppgave 1a Algebra og logaritmer

Oppgave 1a

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig:

1) \(5a^2+(a-2)(a+2)-(2a+1)\)

2) \(\dfrac{2(x-2)}{3x}+\dfrac{1}{2}\)

3) \(\dfrac{a^4\cdot 2b^2}{(2a)^3}\)

4) \(\lg(a^2b)-\lg\left(\dfrac{1}{ab}\right)\)

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forenkle fire uttrykk ved å bruke kvadratsetninger, fellesnevner, potensregler og logaritmeregler.

Steg 1 - Forenkle 1) med konjugatsetningen

\[(a-2)(a+2)=a^2-4\]

Da blir uttrykket

\[5a^2+a^2-4-2a-1=6a^2-2a-5.\]

Steg 2 - Forenkle 2) med fellesnevner

Fellesnevneren er \(6x\), og \(x\neq 0\).

\[\dfrac{2(x-2)}{3x}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4(x-2)}{6x}+\dfrac{3x}{6x}=\dfrac{7x-8}{6x}.\]

Steg 3 - Forenkle 3) med potensregler

\[(2a)^3=8a^3\]

Dermed får vi

\[\dfrac{a^4\cdot 2b^2}{(2a)^3}=\dfrac{2a^4b^2}{8a^3}=\dfrac{ab^2}{4}.\]

Steg 4 - Forenkle 4) med logaritmeregler

Vi bruker \(\lg u-\lg v=\lg\left(\dfrac{u}{v}\right)\).

\[\lg(a^2b)-\lg\left(\dfrac{1}{ab}\right)=\lg\left(\dfrac{a^2b}{1/(ab)}\right)=\lg(a^3b^2).\]

Dette kan også skrives som

\[3\lg a+2\lg b\]

når \(a>0\) og \(b>0\).

Tolkning

Uttrykkene er skrevet uten unødvendige parenteser, med én brøk i 2), lavest mulig potenser i 3) og samlet logaritme i 4).

Vanlig feil: I 1) er det lett å glemme minustegnet foran \((2a+1)\), slik at både \(2a\) og \(1\) skal trekkes fra.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Utvid(5a^2+(a-2)(a+2)-(2a+1)) → \(6a^2-2a-5\) 2 Forenkle(2(x-2)/(3x)+1/2) → \(\dfrac{7x-8}{6x}\)

💻 Python

from sympy import symbols, expand, simplify x, a, b = symbols('x a b') print(expand(5*a**2 + (a-2)*(a+2) - (2*a+1))) print(simplify(2*(x-2)/(3*x) + 1/2)) print(simplify(a**4*2*b**2/(2*a)**3))

Fasit: 1) \(6a^2-2a-5\), 2) \(\dfrac{7x-8}{6x}\), 3) \(\dfrac{ab^2}{4}\), 4) \(\lg(a^3b^2)=3\lg a+2\lg b\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Likninger

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningene:

1) \(\dfrac{x}{4}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{x}{6}-\left(\dfrac{x}{2}-1\right)\)

2) \(2x^2-2(x+2)=20\)

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne de \(x\)-verdiene som gjør hver likning sann.

Steg 1 - Rydd opp i høyresiden i 1)

\[\dfrac{x}{6}-\left(\dfrac{x}{2}-1\right)=\dfrac{x}{6}-\dfrac{x}{2}+1=-\dfrac{x}{3}+1.\]

Steg 2 - Samle \(x\)-ledd og tall

\[\dfrac{x}{4}-\dfrac{1}{6}=-\dfrac{x}{3}+1\]

\[\dfrac{x}{4}+\dfrac{x}{3}=1+\dfrac{1}{6}=\dfrac{7}{6}.\]

Steg 3 - Løs den lineære likningen

\[\dfrac{7x}{12}=\dfrac{7}{6}\]

\[x=2.\]

Steg 4 - Rydd opp i 2)

\[2x^2-2(x+2)=20\]

\[2x^2-2x-4=20\]

\[2x^2-2x-24=0.\]

Steg 5 - Del på 2 og faktoriser

\[x^2-x-12=0\]

\[(x-4)(x+3)=0.\]

Steg 6 - Bruk nullproduktregelen

\[x=4 \quad \text{eller} \quad x=-3.\]

Tolkning

Første likning har én løsning. Andre likning er en andregradslikning og har to løsninger.

Vanlig feil: I 1) blir fortegnet foran parentesen ofte behandlet feil. Hele parentesen skal trekkes fra.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(x/4-1/6=x/6-(x/2-1),x) → \(x=2\) 2 Løs(2x^2-2(x+2)=20,x) → \(x=-3 \lor x=4\)

💻 Python

from sympy import symbols, Eq, solve x = symbols('x') print(solve(Eq(x/4 - 1/6, x/6 - (x/2 - 1)), x)) print(solve(Eq(2*x**2 - 2*(x + 2), 20), x))

Fasit: 1) \(x=2\). 2) \(x=-3\) eller \(x=4\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Likningssett

Oppgave 1c

Oppgave:

Tre skruer og to muttere veier 57 gram. Én skrue og tre muttere veier 33 gram. Hvor mye veier én skrue og én mutter?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne samlet vekt av én skrue og én mutter ved å sette opp et likningssett.

Steg 1 - Definer ukjente

La \(s\) være vekten av én skrue og \(m\) vekten av én mutter, målt i gram.

Steg 2 - Oversett teksten til likninger

\[3s+2m=57\]

\[s+3m=33\]

Steg 3 - Eliminer én ukjent

Multipliser den andre likningen med 3:

\[3s+9m=99\]

Trekk den første likningen fra denne:

\[7m=42.\]

Steg 4 - Finn vekten av én mutter

\[m=6.\]

Steg 5 - Finn vekten av én skrue

Sett \(m=6\) inn i \(s+3m=33\):

\[s+18=33\]

\[s=15.\]

Steg 6 - Svar på det oppgaven spør om

\[s+m=15+6=21.\]

Tolkning

Én skrue og én mutter veier til sammen 21 gram.

Vanlig feil: Oppgaven spør ikke etter vekten av hver del hver for seg, men etter summen av én skrue og én mutter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs({3s+2m=57,s+3m=33},{s,m}) → \(s=15,\ m=6\)

💻 Python

from sympy import symbols, Eq, solve s, m = symbols('s m') print(solve([Eq(3*s + 2*m, 57), Eq(s + 3*m, 33)], [s, m]))

Fasit: Én skrue og én mutter veier \(21\) gram. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d Ulikhet

Oppgave 1d

Oppgave:

Løs ulikheten \(x^2-2x\le 3\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne alle \(x\)-verdier som gjør andregradsuttrykket mindre enn eller lik 3.

Steg 1 - Flytt alt til én side

\[x^2-2x\le 3\]

\[x^2-2x-3\le 0.\]

Steg 2 - Faktoriser

\[x^2-2x-3=(x-3)(x+1).\]

Steg 3 - Finn nullpunktene

\[(x-3)(x+1)=0\]

\[x=3 \quad \text{eller} \quad x=-1.\]

Steg 4 - Lag fortegnsdrøfting

Fordi koeffisienten foran \(x^2\) er positiv, vender parabelen oppover. Uttrykket er derfor negativt eller null mellom nullpunktene.

\[(x-3)(x+1)\le 0 \quad \text{for} \quad -1\le x\le 3.\]

Steg 5 - Ta med endepunktene

Siden ulikhetstegnet er \(\le\), skal nullpunktene være med i løsningen.

Tolkning

Alle tall fra og med \(-1\) til og med \(3\) oppfyller ulikheten. …