Matematikk S1 Eksamen våren 2019 – løsningsforslag

Ifingo · Matematikk S1

REA3026 Matematikk S1 - Vår 2019

Komplett løsningsforslag med ryddig MathJax, separate Python-kontroller og GeoGebra/CAS-dokumentasjon. Designet bruker hvit, lavendel og lilla, og Python-koden har nøytral mørk originalstil.

Bokmål Del 1 og Del 2 31 deloppgaver Nøytral kodevisning

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Eksponentiallikning

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs \(3^{x-5}=81\).

Vis løsning

Skriv \(81=3^4\). Da blir \(3^{x-5}=3^4\), altså \(x-5=4\). Dermed er \(x=9\).

Python-kontroll

from sympy import * x=symbols('x') losning=solve(Eq(3**(x-5),81),x) print('Løsning:', losning) print('Kontroll:', 3**(losning[0]-5))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll 1 Løs(3^(x-5)=81) \(x=9\) Fasit: \(x=9\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Andregradslikning

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs \(x^2-7x+10=0\).

Vis løsning

Vi faktoriserer: \(x^2-7x+10=(x-2)(x-5)\). Nullproduktsetningen gir \(x=2\) eller \(x=5\).

Python-kontroll

from sympy import * x=symbols('x') uttrykk=x**2-7*x+10 print('Faktorisert:', factor(uttrykk)) print('Nullpunkter:', solve(Eq(uttrykk,0),x)) for v in [2,5]: print(v, uttrykk.subs(x,v))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll 1 Faktoriser(x^2-7x+10) \((x-2)(x-5)\) Fasit: \(x=2\) eller \(x=5\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Logaritmelikning

Oppgave 1c

Oppgave:

Løs \(\lg(x+3)-\lg x=1\).

Vis løsning

For \(x>0\): \(\lg(x+3)-\lg x=\lg\left(\frac{x+3}{x}\right)=1\). Dermed \(\frac{x+3}{x}=10\), så \(x+3=10x\), \(3=9x\), og \(x=\frac13\).

Python-kontroll

from sympy import * x=symbols('x', positive=True) likning=Eq(log(x+3,10)-log(x,10),1) print('Likning:', likning) print('Løsning:', solve(likning,x)) print('Kontroll forhold:', ((Rational(1,3)+3)/Rational(1,3)))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll 1 Løs(lg(x+3)-lg(x)=1) \(x=\frac13\) Fasit: \(x=\frac13\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Potensregning

Oppgave 2a

Oppgave:

Forenkle \(\dfrac{16^2\cdot27^3}{72^2\cdot12}\).

Vis løsning

\(16^2=2^8\), \(27^3=3^9\), \(72^2\cdot12=(2^6\cdot3^4)(2^2\cdot3)=2^8\cdot3^5\). Brøken blir \(3^4=81\).

Python-kontroll

from sympy import * verdi=Rational(16)**2*Rational(27)**3/(Rational(72)**2*12) print('Eksakt:', verdi) print('Teller faktorer:', factorint(16**2*27**3)) print('Nevner faktorer:', factorint(72**2*12))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll 1 Forenkle((16^2*27^3)/(72^2*12)) \(81\) Fasit: \(81\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Algebraisk brøk

Oppgave 2b

Oppgave:

Forenkle \(\frac{x-2}{x-1}-\frac{x}{x+1}-\frac{2x}{x^2-1}\).

Vis løsning

Fellesnevner er \((x-1)(x+1)\). Telleren blir \((x-2)(x+1)-x(x-1)-2x=-2x-2=-2(x+1)\). Derfor blir uttrykket \(-\frac{2}{x-1}\), der \(x\ne\pm1\).

Python-kontroll

from sympy import * x=symbols('x') uttrykk=(x-2)/(x-1)-x/(x+1)-2*x/(x**2-1) print('Samlet:', together(uttrykk)) print('Forenklet:', simplify(uttrykk)) for v in [2,3,5]: print('x=',v,'gir',simplify(uttrykk).subs(x,v))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll 1 Forenkle((x-2)/(x-1)-x/(x+1)-2x/(x^2-1)) \(-\frac{2}{x-1}\) Fasit: \(-\frac{2}{x-1}\), \(x\ne\pm1\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2c Logaritmeregler

Oppgave 2c

Oppgave:

Forenkle \(\lg\left(\frac2{x^2}\right)+\lg(2x^2)+\lg x-\lg(4x)\).

Vis løsning

For \(x>0\) samler vi logaritmene: \(\lg\left(\frac{(2/x^2)(2x^2)x}{4x}\right)=\lg(1)=0\).

Python-kontroll

from sympy import * x=symbols('x', positive=True) produkt=(2/x**2)*(2*x**2)*x/(4*x) print('Produkt inni logaritmen:', simplify(produkt)) print('lg(1)=', log(1,10))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll 1 Forenkle logaritmeuttrykket \(0\) Fasit: \(0\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Likningssystem

Oppgave 3

Oppgave:

Løs \(x^2+2y=13x\), \(3x-y=-5\). …