Matematikk S1 Eksamen høsten 2012 – løsningsforslag

Matematikk S1 eksamen Høst 2012 – løsningsforslag

Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål. Oppgavene er transkribert fra Udir-settet og løst trinnvis med tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll der det er relevant.

REA3026 Matematikk S1 Høst 2012 Del 1 og Del 2

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 løses med regning for hånd: likninger, funksjonsdrøfting, algebra, logaritmer, kombinatorikk og definisjonen av den deriverte.

Del 1 · Oppgave 1a Andregradslikning

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs likningen \(x^2+2x=8\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse en andregradslikning. Først samler vi alle ledd på én side, deretter faktoriserer vi og bruker nullproduktregelen.

Steg 1 — Flytt alt til venstre side

\[x^2+2x-8=0\]

Steg 2 — Faktoriser uttrykket

Vi trenger to tall med produkt \(-8\) og sum \(2\). Tallene er \(4\) og \(-2\).

\[x^2+2x-8=(x+4)(x-2)\]

Steg 3 — Bruk nullproduktregelen

\[(x+4)(x-2)=0\]

Steg 4 — Løs hver faktor

\[x+4=0\quad \text{eller}\quad x-2=0\]

Steg 5 — Skriv løsningene

\[x=-4\quad \text{eller}\quad x=2\]

Steg 6 — Kontroller i opprinnelig likning

For \(x=2\): \(4+4=8\). For \(x=-4\): \(16-8=8\).

Tolkning

Likningen har to reelle løsninger, og begge tilfredsstiller den opprinnelige likningen.

Vanlig feil: Å faktorisere feil fordi fortegnet på konstantleddet er negativt. Produktet skal være \(-8\), ikke \(8\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(x^2 + 2*x = 8) → \(x=-4 \lor x=2\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve x = symbols("x") print(solve(Eq(x**2 + 2*x, 8), x))

Fasit: \(x=-4\) eller \(x=2\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Eksponentiallikning

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningen \(3\cdot3^x=27\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skriver begge sider som potenser med grunntall \(3\). Da kan vi sammenlikne eksponentene.

Steg 1 — Skriv \(3\) som potens

\[3=3^1\]

Steg 2 — Bruk potensregelen

\[3\cdot3^x=3^1\cdot3^x=3^{x+1}\]

Steg 3 — Skriv høyre side som potens

\[27=3^3\]

Steg 4 — Sett eksponentene lik hverandre

\[3^{x+1}=3^3\quad \Rightarrow\quad x+1=3\]

Steg 5 — Løs den lineære likningen

\[x=2\]

Steg 6 — Kontroll

\[3\cdot3^2=3\cdot9=27\]

Tolkning

Løsningen betyr at potensen \(3^x\) må være \(9\).

Vanlig feil: Å dele \(27\) på \(3\) riktig, men glemme at \(3^x=9\) gir \(x=2\), ikke \(x=9\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(3*3^x = 27) → \(x=2\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve x = symbols("x") print(solve(Eq(3*3**x, 27), x))

Fasit: \(x=2\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Logaritmer

Oppgave 1c

Oppgave:

Løs likningen \(2\lg(x+1 ight)=4\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi isolerer logaritmen og bruker at \(\lg A=2\) betyr \(A=10^2\). Først må vi også huske definisjonsmengden.

Steg 1 — Finn definisjonskravet

Logaritmen krever \(x+1>0\), altså \(x>-1\).

Steg 2 — Del på \(2\)

\[\lg(x+1 ight)=2\]

Steg 3 — Gå fra logaritmeform til potensform

\[x+1=10^2\]

Steg 4 — Regn ut potensen

\[x+1=100\]

Steg 5 — Løs for \(x\)

\[x=99\]

Steg 6 — Kontroll av definisjonsmengde og innsetting

\(99>-1\), og \(2\lg(100)=2\cdot2=4\).

Tolkning

Løsningen er gyldig fordi tallet inni logaritmen blir positivt.

Vanlig feil: Å skrive \(x+1=2\) etter \(\lg(x+1)=2\). Logaritmen må gjøres om til \(10^2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(2*lg(x + 1) = 4) → \(x=99\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve, log x = symbols("x") print(solve(Eq(2*log(x + 1, 10), 4), x))

Fasit: \(x=99\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Funksjonsdrøfting

Oppgave 2a

Oppgave:

Vi har gitt funksjonen \(f(x)=x^3-3x\). Bestem eventuelle null-, topp- og bunnpunkter på grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner først nullpunktene ved å løse \(f(x)=0\). Deretter finner vi kritiske punkter ved å bruke \(f\prime(x)=0\) og fortegn til den deriverte.

Steg 1 — Finn nullpunkter

\[x^3-3x=x(x^2-3)=0\]

Steg 2 — Bruk nullproduktregelen

\[x=0\quad \text{eller}\quad x^2=3\]

\[x=-\sqrt{3},\ 0,\ \sqrt{3}\]

Steg 3 — Skriv nullpunktene som koordinater

\[(-\sqrt{3},0 ight),\quad (0,0),\quad (\sqrt{3},0 ight)\]

Steg 4 — Deriver funksjonen

\[f\prime(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\]

Steg 5 — Finn kritiske \(x\)-verdier

\[3(x-1)(x+1)=0\quad \Rightarrow\quad x=-1\ \text{eller}\ x=1\]

Steg 6 — Lag fortegnsdrøfting

For \(x<-1\) er \(f\prime(x)>0\), for \(-1 1\) er \(f\prime(x)>0\). Derfor er \(x=-1\) et toppunkt og \(x=1\) et bunnpunkt.

Steg 7 — Finn \(y\)-verdiene

\[f(-1)=(-1)^3-3(-1)=2\]

\[f(1)=1^3-3=-2\]

Tolkning

Grafen skjærer \(x\)-aksen i tre punkter, har et toppunkt i \((-1,2)\) og et bunnpunkt i \((1,-2)\).

Vanlig feil: Å løse \(f\prime(x)=0\) og kalle punktene topp eller bunn uten å sjekke fortegnsskifte.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Nullpunkt(x^3 - 3*x) → \(x=-\sqrt{3},\ x=0,\ x=\sqrt{3}\) 2 Ekstremalpunkt(x^3 - 3*x) → \((-1,2),\ (1,-2)\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve, factor x = symbols("x") f = x**3 - 3*x print("null:", solve(f, x)) fp = diff(f, x) print("fprime:", factor(fp)) print("kritiske:", solve(fp, x)) print(f.subs(x,-1), f.subs(x,1))

Fasit: Nullpunkter: \((-\sqrt{3},0 ight)\), \((0,0)\), \((\sqrt{3},0 ight)\). Toppunkt: \((-1,2)\). Bunnpunkt: \((1,-2)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Grafskisse

Oppgave 2b

Oppgave:

Vi har gitt funksjonen \(f(x)=x^3-3x\). Lag en skisse av grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Skissen skal bygge på funnene fra del a: nullpunkter, toppunkt, bunnpunkt og fortegn for vekst.

Steg 1 — Marker nullpunktene

Grafen går gjennom \((-\sqrt{3},0 ight)\), \((0,0)\) og \((\sqrt{3},0 ight)\).

Steg 2 — Marker topp- og bunnpunkt

Toppunktet er \((-1,2)\), og bunnpunktet er \((1,-2)\).

Steg 3 — Bruk vekstintervallene

Grafen stiger før \(-1\), synker mellom \(-1\) og \(1\), og stiger etter \(1\).

Steg 4 — Tegn en myk tredjegradskurve

Skisse basert på nullpunkter og ekstremalpunkter.

Steg 5 — Kontroller endene

Siden ledende ledd er \(x^3\), går grafen ned mot venstre og opp mot høyre.

Tolkning

Skissen viser riktig kvalitativ form for \(f(x)=x^3-3x\).

Vanlig feil: Å tegne en parabel. Dette er en tredjegradsfunksjon, så den skal ha S-form med to ekstremalpunkter. Fasit: Grafen er en tredjegradskurve som går gjennom \((-\sqrt{3},0 ight)\), \((0,0)\), \((\sqrt{3},0 ight)\), med toppunkt \((-1,2)\) og bunnpunkt \((1,-2)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Likningssystem

Oppgave 3

Oppgave:

Løs likningssystemet \(\begin{cases}y-10x=x^2+28\\y-2x=12\end{cases}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi uttrykker \(y\) fra den lineære likningen og setter inn i den andre likningen.

Steg 1 — Løs den lineære likningen for \(y\)

\[y-2x=12\quad \Rightarrow\quad y=2x+12\]

Steg 2 — Sett uttrykket inn i den første likningen

\[(2x+12)-10x=x^2+28\]

Steg 3 — Forenkle venstre side

\[-8x+12=x^2+28\]

Steg 4 — Samle alt på én side

\[x^2+8x+16=0\]

Steg 5 — Faktoriser

\[(x+4)^2=0\quad \Rightarrow\quad x=-4\]

Steg 6 — Finn \(y\)

\[y=2(-4)+12=4\]

Steg 7 — Kontroll

\(4-10(-4)=44\), og \((-4)^2+28=44\). Dessuten er \(4-2(-4)=12\).

Tolkning

Systemet har én løsning. Geometrisk betyr det at linjen tangerer parabelen i punktet \((-4,4)\).

Vanlig feil: Å sette \(y=12-2x\) i stedet for \(y=2x+12\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs({y - 10*x = x^2 + 28, y - 2*x = 12}, {x, y}) → \(x=-4,\ y=4\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve x,y=symbols("x y") print(solve([Eq(y-10*x, x**2+28), Eq(y-2*x, 12)], [x,y]))

Fasit: \((x,y)=(-4,4)\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Formelomforming

Oppgave 4

Oppgave:

Lag en formel for \(x\) uttrykt ved \(y\) når \(3y=\dfrac{4x^2}{3}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal isolere \(x\). Siden \(x\) står i andre potens, må vi ta kvadratrot til slutt. …