Matematikk S1 Eksamen våren 2025 (LK20) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk S1 · LK20

Matematikk S1 vår 2025 – komplett løsningsforslag

Dette er et strukturert løsningsforslag til REA3060 Matematikk S1, vår 2025. Løsningene viser metode, mellomregning, digitale kontroller, CAS-/GeoGebra-linjer og Python-kontroller der digitale verktøy er naturlige.

Del 1 uten hjelpemidlerDel 2 med hjelpemidlerSluttkontroll

Del 1 – uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Derivasjon

Oppgave 1

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f\) gitt ved \[f(x)=e^{-2x}+\frac{1}{5}x^5-2\pi.\]

Vis løsning

Vi deriverer ledd for ledd. For eksponentialleddet bruker vi kjerneregelen: \((e^{u})\prime=e^{u}\cdot u\prime\). Her er \(u=-2x\), altså \(u\prime=-2\).

Polynomleddet deriveres med potensregelen:

\[(\frac{1}{5}x^5 ight)\prime=\frac{1}{5}\cdot 5x^4=x^4.\]

Konstanten \(-2\pi\) har derivert lik null.

\[f\prime(x)=-2e^{-2x}+x^4.\] Fasit: \(f\prime(x)=x^4-2e^{-2x}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Nullpunkt

Oppgave 2a

Oppgave:

Funksjonen er \[g(x)=\frac{1}{2}e^x(2x-1)^2.\] Bestem eventuelle nullpunkter.

Vis løsning

Et nullpunkt finner vi ved \(g(x)=0\). Faktoren \(\frac{1}{2}e^x\) er alltid positiv for alle reelle \(x\). Derfor må den kvadrerte faktoren være null:

\[(2x-1)^2=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1}{2}.\]

Grafen skjærer eller berører derfor \(x\)-aksen i punktet \((\frac{1}{2},0 ight)\).

Fasit: Nullpunktet er \(x=\frac{1}{2}\), altså punktet \((\frac{1}{2},0 ight)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Produktregel

Oppgave 2b

Oppgave:

Vis at \[g\prime(x)=\frac{1}{2}e^x(2x-1)(2x+3).\]

Vis løsning

Skriv funksjonen som produktet \(g(x)=\frac{1}{2}\,u(x)v(x)\), der \(u(x)=e^x\) og \(v(x)=(2x-1)^2\). Da er \(u\prime(x)=e^x\), og med kjerneregelen får vi

\[v\prime(x)=2(2x-1)\cdot 2=4(2x-1).\]

Produktregelen gir

\[g\prime(x)=\frac{1}{2}(e^x(2x-1)^2+e^x\cdot4(2x-1) ight).\]

Faktoriser felles faktor:

\[g\prime(x)=\frac{1}{2}e^x(2x-1)((2x-1)+4 ight)=\frac{1}{2}e^x(2x-1)(2x+3).\] GeoGebra/CAS-kontroll 1 Deriver[(1/2)*e^x*(2*x-1)^2] (1/2) e^x (2x - 1)(2x + 3) Fasit: \(g\prime(x)=\frac{1}{2}e^x(2x-1)(2x+3)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2c Ekstremalpunkt

Oppgave 2c

Oppgave:

Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \(g\).

Vis løsning

Ekstremalpunkter kan bare oppstå der \(g\prime(x)=0\). Siden \(\frac{1}{2}e^x>0\), får vi

\[(2x-1)(2x+3)=0.\]

Dermed er \(x=\frac{1}{2}\) eller \(x=-\frac{3}{2}\).

Funksjonsverdiene er

\[g(\frac{1}{2} ight)=0,\]\[g(-\frac{3}{2} ight)=\frac{1}{2}e^{-3/2}(-4)^2=8e^{-3/2}=\frac{8}{e^{3/2}}.\]

Fortegnet til \((2x-1)(2x+3)\) viser at \(g\) øker før \(-\frac{3}{2}\), avtar mellom \(-\frac{3}{2}\) og \(\frac{1}{2}\), og øker etter \(\frac{1}{2}\). Derfor er \(-\frac{3}{2}\) et toppunkt og \(\frac{1}{2}\) et bunnpunkt.

Python-kontroll med sympy

import sympy as sp x = sp.symbols('x') g = sp.Rational(1, 2) * sp.exp(x) * (2*x - 1)**2 g_derivert = sp.diff(g, x) kritiske_x = sp.solve(sp.Eq(g_derivert, 0), x) print('g(x) =', g) print("g'(x) =", sp.factor(g_derivert)) print('kritiske x =', kritiske_x) for verdi in kritiske_x: y_verdi = sp.simplify(g.subs(x, verdi)) print('punkt:', (verdi, y_verdi), ' numerisk:', float(y_verdi)) # Forventet utskrift: # g(x) = (2*x - 1)**2*exp(x)/2 # g'(x) = (2*x - 1)*(2*x + 3)*exp(x)/2 # kritiske x = [-3/2, 1/2] # punkt: (-3/2, 8*exp(-3/2)) numerisk: 1.785041281325... # punkt: (1/2, 0) numerisk: 0.0

Fasit: Toppunkt: \((-\frac{3}{2},8e^{-3/2} ight)\). Bunnpunkt: \((\frac{1}{2},0 ight)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Eksponentiallikning

Oppgave 3a

Oppgave:

Løs likningen \[3^{3x+2}-5=76.\]

Vis løsning

Først isolerer vi potensen:

\[3^{3x+2}=81.\]

Siden \(81=3^4\), kan vi sammenligne eksponentene:

\[3x+2=4.\]

Da får vi

\[3x=2 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{2}{3}.\] Fasit: \(x=\frac{2}{3}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b Logaritmer

Oppgave 3b

Oppgave:

Løs likningen \[3\lg x+2\lg x^2+\lg(\frac{1}{x^9} ight)=2.\]

Vis løsning

Vi må ha \(x>0\). Bruk logaritmereglene \(\lg x^2=2\lg x\) og \(\lg(x^{-9})=-9\lg x\):

\[3\lg x+2\cdot 2\lg x-9\lg x=2.\]

Dette gir

\[-2\lg x=2 \quad\Longrightarrow\quad \lg x=-1.\]

Dermed er

\[x=10^{-1}=0{,}1.\] GeoGebra/CAS-kontroll 1 Løs[3*log(10,x)+2*log(10,x^2)+log(10,1/x^9)=2, x] x = 0.1 Fasit: \(x=0{,}1\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4a Grenseverdi

Oppgave 4a

Oppgave:

Bestem grenseverdien \[\lim_{x\to 3}\frac{3(x^2-3)}{x-3}.\]

Vis løsning

Setter vi \(x=3\) i telleren, får vi \(3(9-3)=18\), mens nevneren går mot \(0\). Telleren går altså mot et positivt tall, mens nevneren skifter fortegn når \(x\) passerer 3. …