Matematikk S1 Eksamen våren 2013 – løsningsforslag

Matematikk S1 eksamen vår 2013 – løsningsforslag

Komplett ifingo-løsningsforslag på bokmål. Del 1 og Del 2 er skilt tydelig. Hver deloppgave har transkribert oppgave, trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll og Python-kontroll med original/nøytral kodevisning uten rosa highlight.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Logaritmer

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs likningen \(2\lg x+3=5\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Definisjonskrav

\(x>0\), fordi logaritmen bare er definert for positive tall.

Steg 2 — Isoler logaritmen

\[2\lg x=2\Rightarrow \lg x=1\]

Steg 3 — Gå fra logaritme til potens

\(\lg x=1\) betyr \(x=10^1\).

Steg 4 — Kontroller

\(2\lg 10+3=5\).

Steg 5 — Konkluder

Løsningen er lovlig.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å hoppe over kontroll av definisjonsmengde, enhet eller modellvalg.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(2*lg(x)+3=5) → \(x=10\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import * # Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte. x, y, a, b, p = symbols('x y a b p') resultat = 10 print('Resultat:') print(resultat) print('Forenklet resultat:') print(simplify(resultat)) print('Kontroll:', 2*log(10,10)+3) # Utskrift: # Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.

Fasit: \(x=10\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Andregradslikning

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningen \(2x^2+2x=12\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Standardform

\[2x^2+2x-12=0\]

Steg 2 — Del på 2

\[x^2+x-6=0\]

Steg 3 — Faktoriser

\[x^2+x-6=(x+3)(x-2)\]

Steg 4 — Nullprodukt

\(x=-3\) eller \(x=2\).

Steg 5 — Kontroller

Begge verdiene gir 12 i opprinnelig likning.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å hoppe over kontroll av definisjonsmengde, enhet eller modellvalg.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(2x^2+2x=12) → \(x=-3\lor x=2\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import * # Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte. x, y, a, b, p = symbols('x y a b p') resultat = solve(Eq(2*x**2+2*x,12),x) print('Resultat:') print(resultat) print('Forenklet resultat:') print(simplify(resultat)) for r in solve(Eq(2*x**2+2*x,12),x): print('kontroll', r, 2*r**2+2*r) # Utskrift: # Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.

Fasit: \(x=-3\) eller \(x=2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Likningssystem

Oppgave 2

Oppgave:

Løs likningssystemet ved regning \[\begin{cases}y=6-x^2\\ y+4=-3x\end{cases}\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Skriv begge som uttrykk for \(y\)

Andre likning gir \(y=-3x-4\).

Steg 2 — Sett lik hverandre

\[6-x^2=-3x-4\]

Steg 3 — Løs andregradslikningen

\[x^2-3x-10=0=(x-5)(x+2)\]

Steg 4 — Finn \(y\)

For \(x=5\) er \(y=-19\). For \(x=-2\) er \(y=2\).

Steg 5 — Konkluder

Begge punktene ligger på begge grafene.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å hoppe over kontroll av definisjonsmengde, enhet eller modellvalg.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs({y=6-x^2,y+4=-3x},{x,y}) → \((-2,2),(5,-19)\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import * # Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte. x, y, a, b, p = symbols('x y a b p') resultat = solve([Eq(y,6-x**2), Eq(y+4,-3*x)], [x,y], dict=True) print('Resultat:') print(resultat) print('Forenklet resultat:') print(simplify(resultat)) # Utskrift: # Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.

Fasit: \((5,-19)\) og \((-2,2)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Potensregning

Oppgave 3a

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \[\dfrac{2^{-3}\cdot a^0\cdot (ab)^2}{2^{-4}\cdot a^{-1}\cdot b^2}\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Bruk \(a^0=1\)

Telleren blir \(2^{-3}a^2b^2\).

Steg 2 — Potens med 2

\(2^{-3}/2^{-4}=2^1=2\).

Steg 3 — Potens med \(a\)

\(a^2/a^{-1}=a^3\).

Steg 4 — Potens med \(b\)

\(b^2/b^2=1\).

Steg 5 — Skriv svaret

\[2a^3\]

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å hoppe over kontroll av definisjonsmengde, enhet eller modellvalg.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle((2^(-3)*a^0*(a*b)^2)/(2^(-4)*a^(-1)*b^2)) → \(2a^3\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import * # Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte. x, y, a, b, p = symbols('x y a b p') resultat = (2**(-3)*a**0*(a*b)**2)/(2**(-4)*a**(-1)*b**2) print('Resultat:') print(resultat) print('Forenklet resultat:') print(simplify(resultat)) # Utskrift: # Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.

Fasit: \(2a^3\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b Logaritmeregler

Oppgave 3b

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \[\lg((ab)^2)-\lg\left(\dfrac{a^3}{b^2}\right)+\lg(ab^2)\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Samle logaritmene

\(\lg A-\lg B+\lg C=\lg(AC/B)\).

Steg 2 — Sett inn

\[\lg\left(\dfrac{(ab)^2\cdot ab^2}{a^3/b^2}\right)\]

Steg 3 — Forenkle inni logaritmen

Inni logaritmen får vi \(b^6\).

Steg 4 — Bruk potensregelen

\(\lg(b^6)=6\lg b\).

Steg 5 — Definisjon

Uttrykkene forutsetter positive logaritmeargumenter.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å hoppe over kontroll av definisjonsmengde, enhet eller modellvalg.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle(lg((a*b)^2)-lg(a^3/b^2)+lg(a*b^2)) → \(6\lg b\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import * # Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte. x, y, a, b, p = symbols('x y a b p') resultat = log(((a*b)**2*(a*b**2))/(a**3/b**2),10) print('Resultat:') print(resultat) print('Forenklet resultat:') print(simplify(resultat)) print('Inni logaritmen:', simplify(((a*b)**2*(a*b**2))/(a**3/b**2))) # Utskrift: # Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.

Fasit: \(6\lg b\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4a Rasjonal funksjon

Oppgave 4a

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=\dfrac{3x-1}{x-3}\). Lag en skisse av grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Omskriv

\[f(x)=3+\dfrac{8}{x-3}\]

Steg 2 — Vertikal asymptote

Nevneren er null ved \(x=3\), så \(x=3\) er asymptote.

Steg 3 — Horisontal asymptote

\(8/(x-3)\to0\), så \(y=3\) er asymptote.

Steg 4 — Skjæringer

Nullpunkt \(x=1/3\), og \(f(0)=1/3\).

Steg 5 — Skisse

Tegn to grener rundt asymptotene.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgaveteksten og er skrevet med riktig enhet, intervall eller definisjonsvilkår der det trengs.

Vanlig feil: Å hoppe over kontroll av definisjonsmengde, enhet eller modellvalg.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Asymptote((3x-1)/(x-3)) → \(x=3, y=3\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import * # Symbolsk kontroll laget slik en elev kan kjøre koden direkte. x, y, a, b, p = symbols('x y a b p') resultat = (3*x-1)/(x-3) print('Resultat:') print(resultat) print('Forenklet resultat:') print(simplify(resultat)) f=(3*x-1)/(x-3) print('Apart:', apart(f,x)) print('Horisontal asymptote:', limit(f,x,oo)) print('Nullpunkt:', solve(Eq(f,0),x)) # Utskrift: # Resultat og forenklet resultat vises i terminalen.

Fasit: Asymptoter \(x=3\), \(y=3\); nullpunkt \(x=1/3\); y-skjæring \(1/3\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4b Veksthastighet

Oppgave 4b

Oppgave:

Bestem gjennomsnittlig veksthastighet for \(f\) fra \(x=4\) til \(x=7\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven nøyaktig, vise metoden trinnvis, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 — Formel

\[\dfrac{f(7)-f(4)}{7-4}\]

Steg 2 — Beregn \(f(4)\)

\(f(4)=11\).

Steg 3 — Beregn \(f(7)\)

\(f(7)=5\).

Steg 4 — Sett inn

\[(5-11)/3=-2\]

Steg 5 — Tolk

Funksjonen avtar i gjennomsnitt med 2 per x-enhet. …