Matematikk S1 Eksamen høsten 2019 – løsningsforslag

Matematikk S1 eksamen Høst 2019 – løsningsforslag

Komplett ifingo-løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave er transkribert, løst trinnvis og kontrollert med GeoGebra CAS eller Python der det er relevant.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a · 4 poeng Andregradslikning

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs likningen \(x^2+4x-12=0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Identifiser typen

Dette er en andregradslikning på formen \(ax^2+bx+c=0\). Her er \(a=1\), \(b=4\) og \(c=-12\).

Steg 2 — Faktoriser

Vi trenger to tall som har produkt \(-12\) og sum \(4\). Tallene er \(6\) og \(-2\). Dermed er \[x^2+4x-12=\left(x+6\right)\left(x-2\right).\]

Steg 3 — Bruk nullproduktregelen

Når et produkt er null, må minst én faktor være null: \[\left(x+6\right)\left(x-2\right)=0.\]

Steg 4 — Løs de to enkle likningene

\[x+6=0\Rightarrow x=-6\] \[x-2=0\Rightarrow x=2\]

Steg 5 — Kontroller ved innsetting

For \(x=-6\): \(36-24-12=0\). For \(x=2\): \(4+8-12=0\). Begge løsningene stemmer.

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Vanlig feil: Å skrive faktorene som \(x-6\) og \(x+2\). Da blir summen feil.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(x^2+4x-12=0) → \(x=-6 \lor x=2\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, factor, simplify x = symbols('x') uttrykk = x**2 + 4*x - 12 likning = Eq(uttrykk, 0) print('Likning:', likning) print('Faktorisert uttrykk:', factor(uttrykk)) losninger = solve(likning, x) print('Løsninger:', losninger) for verdi in losninger: kontroll = simplify(uttrykk.subs(x, verdi)) print('Kontroll for x =', verdi, ':', kontroll)

Kjoring gir:

Likning: Eq(x**2 + 4*x - 12, 0) Faktorisert uttrykk: (x - 2)*(x + 6) Løsninger: [-6, 2] Kontroll for x = -6 : 0 Kontroll for x = 2 : 0

Fasit: \(x=-6\) eller \(x=2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b · 4 poeng Logaritmer

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningen \(\lg\left(5-2x\right)=1\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

Logaritmen krever positivt argument: \[5-2x>0\Rightarrow x<\dfrac{5}{2}.\]

Steg 2 — Bruk betydningen av \(\lg\)

Når \(\lg A=1\), betyr det at \(A=10^1=10\).

Steg 3 — Sett opp lineær likning

\[5-2x=10\]

Steg 4 — Løs likningen

\[-2x=5\Rightarrow x=-\dfrac{5}{2}\]

Steg 5 — Kontroller domenet

\(-\dfrac{5}{2}<\dfrac{5}{2}\), så løsningen er lovlig.

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Vanlig feil: Å sette \(5-2x=1\) i stedet for \(5-2x=10\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(lg(5-2x)=1) → \(x=-\dfrac{5}{2}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, log, Rational, simplify x = symbols('x') likning = Eq(log(5 - 2*x, 10), 1) losning = solve(likning, x) print('Likning:', likning) print('Løsning:', losning) for verdi in losning: argument = 5 - 2*verdi print('Argumentet i logaritmen:', argument) print('Kontrollverdi lg(argument):', simplify(log(argument, 10)))

Kjoring gir:

Likning: Eq(log(5 - 2*x, 10), 1) Løsning: [-5/2] Argumentet i logaritmen: 10 Kontrollverdi lg(argument): 1

Fasit: \(x=-\dfrac{5}{2}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 · 2 poeng Andregradsulikhet

Oppgave 2

Oppgave:

Løs ulikheten \(x^2-2x<0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Faktoriser venstresiden

\[x^2-2x=x\left(x-2\right)\]

Steg 2 — Finn nullpunktene

Nullpunktene er \(x=0\) og \(x=2\). De deler tallinja i tre intervaller.

Steg 3 — Lag fortegnsdrøfting

Produktet \(x\left(x-2\right)\) er positivt for \(x<0\), negativt for \(0 2\).

Steg 4 — Velg intervallet der uttrykket er mindre enn null

Ulikheten krever negativ verdi, altså mellom nullpunktene.

Steg 5 — Endepunktene er ikke med

Siden ulikheten er streng, \(<0\), tar vi ikke med \(0\) og \(2\).

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Vanlig feil: Å ta med endepunktene. Ved \(x=0\) og \(x=2\) er uttrykket lik null.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(x^2-2x<0) → \(0

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor, solve_univariate_inequality x = symbols('x', real=True) uttrykk = x**2 - 2*x print('Uttrykk:', uttrykk) print('Faktorisert:', factor(uttrykk)) print('Løser uttrykk < 0') print('Løsningsmengde:', solve_univariate_inequality(uttrykk < 0, x)) for test in [-1, 1, 3]: print('x =', test, 'gir', uttrykk.subs(x, test))

Kjoring gir:

Uttrykk: x**2 - 2*x Faktorisert: x*(x - 2) Løser uttrykk < 0 Løsningsmengde: (0 < x) & (x < 2) x = -1 gir 3 x = 1 gir -1 x = 3 gir 3

Fasit: \(0 Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 · 2 poeng Likningssystem

Oppgave 3

Oppgave:

Løs likningssystemet \[x^2+4y=4x\] \[4x-2y=6\].

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Løs den lineære likningen for \(y\)

\[4x-2y=6\Rightarrow -2y=6-4x\Rightarrow y=2x-3\]

Steg 2 — Sett inn i den andre likningen

\[x^2+4\left(2x-3\right)=4x\]

Steg 3 — Samle som andregradslikning

\[x^2+8x-12=4x\Rightarrow x^2+4x-12=0\]

Steg 4 — Bruk løsningen fra oppgave 1a

\[x=-6 \quad \text{eller}\quad x=2\]

Steg 5 — Finn tilhørende \(y\)-verdier

Hvis \(x=-6\), er \(y=2\left(-6\right)-3=-15\). Hvis \(x=2\), er \(y=2\cdot2-3=1\).

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Vanlig feil: Å glemme at systemet kan ha to løsninger fordi én av likningene er kvadratisk.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs({x^2+4y=4x,4x-2y=6},{x,y}) → \(\left(-6,-15\right),\left(2,1\right)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve x, y = symbols('x y') system = [Eq(x**2 + 4*y, 4*x), Eq(4*x - 2*y, 6)] losninger = solve(system, (x, y), dict=True) print('System:') for likning in system: print(likning) print('Løsninger:', losninger) for sol in losninger: print('Tester', sol) print('Første likning:', system[0].subs(sol)) print('Andre likning:', system[1].subs(sol))

Kjoring gir:

System: Eq(x**2 + 4*y, 4*x) Eq(4*x - 2*y, 6) Løsninger: [{x: -6, y: -15}, {x: 2, y: 1}] Tester {x: -6, y: -15} Første likning: True Andre likning: True Tester {x: 2, y: 1} Første likning: True Andre likning: True

Fasit: \(\left(x,y\right)=\left(-6,-15\right)\) eller \(\left(x,y\right)=\left(2,1\right)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4a · 6 poeng Algebra

Oppgave 4a

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\left(a+2\right)^3-a\cdot\left(a+2\right)^2\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer.

Steg 1 — Finn felles faktor

Begge ledd har faktoren \(\left(a+2\right)^2\).

Steg 2 — Faktoriser

\[\left(a+2\right)^3-a\left(a+2\right)^2=\left(a+2\right)^2\left(\left(a+2\right)-a\right)\]

Steg 3 — Forenkle parentesen

\[\left(a+2\right)-a=2\]

Steg 4 — Skriv sluttform

\[2\left(a+2\right)^2\]

Steg 5 — Eventuelt utvidet form

Hvis vi utvider, får vi \(2a^2+8a+8\), men faktorisert form er enklest.

Tolkning

Resultatet er skrevet i samme kontekst som oppgaven og kontrollert mot definisjoner, fortegn, enheter eller digitale beregninger.

Vanlig feil: Å utvide alt først og miste oversikten over felles faktor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Faktoriser((a+2)^3-a*(a+2)^2) → \(2\left(a+2\right)^2\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor, expand a = symbols('a') uttrykk = (a + 2)**3 - a*(a + 2)**2 print('Opprinnelig:', uttrykk) print('Faktorisert:', factor(uttrykk)) print('Utvidet kontroll:', expand(uttrykk))

Kjoring gir:

Opprinnelig: -a*(a + 2)**2 + (a + 2)**3 Faktorisert: 2*(a + 2)**2 Utvidet kontroll: 2*a**2 + 8*a + 8

Fasit: \(2\left(a+2\right)^2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4b · 6 poeng Rasjonale uttrykk

Oppgave 4b

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\dfrac{x+1}{x+2}-\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{x+5}{x^2+x-2}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S1-metode, føre regningen presist, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt der det passer. …