Matematikk S1 Eksamen høsten 2020 – løsningsforslag

ifingo · løsningsforslag

Matematikk S1 eksamen Høst 2020 – løsningsforslag

Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave har plan, stegvis løsning, tolkning, vanlig feil og digital kontroll med GeoGebra CAS og/eller Python.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 løses med algebra, sannsynlighet, funksjonsforståelse, derivasjon og optimering for hånd. Del 1 · Oppgave 1a Likninger

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs likningen \(2\left(3x+2\right)=2x\left(x+2\right)+4\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.

Steg 1 — Utvid parentesene

Vi regner ut begge sider: \[2\left(3x+2\right)=6x+4,\qquad 2x\left(x+2\right)+4=2x^2+4x+4.\]

Steg 2 — Sett alt på én side

Likningen blir \[6x+4=2x^2+4x+4\quad\Longrightarrow\quad 2x^2-2x=0.\]

Steg 3 — Faktoriser

Vi trekker ut felles faktor: \[2x^2-2x=2x\left(x-1\right).\]

Steg 4 — Bruk nullproduktregelen

Når \(2x\left(x-1\right)=0\), må \(x=0\) eller \(x-1=0\).

Steg 5 — Kontroller i den opprinnelige likningen

For \(x=0\) får vi \(4=4\). For \(x=1\) får vi \(10=10\). Begge løsningene er gyldige.

Tolkning

Løsningene er de to verdiene som gjør venstre og høyre side like.

Vanlig feil: Å dele på \(x\) underveis. Da mister man løsningen \(x=0\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(2*(3x+2)=2x*(x+2)+4,x) → \(x=0\lor x=1\) 2 VenstreSide(2*(3x+2)=2x*(x+2)+4) → \(6x+4\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, expand, factor x = symbols('x') likning = Eq(2*(3*x + 2), 2*x*(x + 2) + 4) venstre = expand(likning.lhs) hoyre = expand(likning.rhs) standardform = expand(hoyre - venstre) losninger = solve(likning, x) print("Venstre side:", venstre) print("Høyre side:", hoyre) print("Standardform høyre - venstre:", standardform) print("Faktorisert:", factor(standardform)) print("Løsninger:", losninger) for verdi in losninger: print(f"Kontroll x={verdi}:", venstre.subs(x, verdi), "=", hoyre.subs(x, verdi))

Fasit: \(x=0\) eller \(x=1\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Potenslikning

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningen \(3^x\cdot 3^2=\dfrac{1}{3^5}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.

Steg 1 — Samle venstre side

Siden grunntallet er likt, kan vi addere eksponentene: \[3^x\cdot 3^2=3^{x+2}.\]

Steg 2 — Skriv høyre side som potens med grunntall 3

Vi bruker \(\dfrac{1}{3^5}=3^{-5}\).

Steg 3 — Sammenlikn eksponentene

Likningen blir \[3^{x+2}=3^{-5}.\] Siden eksponentialfunksjonen med grunntall \(3\) er én-til-én, må eksponentene være like.

Steg 4 — Løs lineært

\[x+2=-5\quad\Longrightarrow\quad x=-7.\]

Steg 5 — Kontroller

\(3^{-7}\cdot 3^2=3^{-5}=\dfrac{1}{3^5}\), så løsningen stemmer.

Tolkning

Likningen har én løsning fordi samme positive grunntall brukes på begge sider.

Vanlig feil: Å skrive \(1/3^5\) som \(3^5\) i stedet for \(3^{-5}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(3^x*3^2=1/3^5,x) → \(x=-7\) 2 Forenkle(3^(-7)*3^2) → \(\dfrac{1}{243}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify x = symbols('x') likning = Eq(3**x * 3**2, 1/3**5) losning = solve(likning, x) print("Likning:", likning) print("Løsning:", losning) for verdi in losning: venstre = simplify(3**verdi * 3**2) hoyre = simplify(1/3**5) print(f"Kontroll x={verdi}: venstre = {venstre}, høyre = {hoyre}")

Fasit: \(x=-7\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Logaritmelikning

Oppgave 1c

Oppgave:

Løs likningen \(\lg\left(3x-2\right)=2\lg x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

Vi må ha \(3x-2>0\) og \(x>0\). Dermed er \(x>\dfrac{2}{3}\).

Steg 2 — Bruk logaritmeregel

\(2\lg x=\lg\left(x^2\right)\), fordi \(x>0\).

Steg 3 — Sammenlikn argumentene

Likningen blir \[\lg\left(3x-2\right)=\lg\left(x^2\right)\quad\Longrightarrow\quad 3x-2=x^2.\]

Steg 4 — Løs andregradslikningen

\[x^2-3x+2=0\quad\Longrightarrow\quad \left(x-1\right)\left(x-2\right)=0.\]

Steg 5 — Sjekk definisjonsmengden

Både \(x=1\) og \(x=2\) er større enn \(\dfrac{2}{3}\), så begge er gyldige.

Tolkning

Definisjonsmengden er viktig: logaritmen kan bare tas av positive uttrykk.

Vanlig feil: Å løse \(x^2-3x+2=0\) uten å kontrollere om løsningene er lovlige i logaritmene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(log10(3x-2)=2log10(x),x) → \(x=1\lor x=2\) 2 Faktoriser(x^2-3x+2) → \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, log, factor x = symbols('x', positive=True) likning = Eq(log(3*x - 2, 10), 2*log(x, 10)) polynom = x**2 - 3*x + 2 kandidater = solve(polynom, x) print("Definisjonskrav: x > 2/3") print("Polynom etter logaritmeregel:", polynom) print("Faktorisert:", factor(polynom)) print("Kandidater:", kandidater) for verdi in kandidater: gyldig = verdi > 2/3 print(f"x={verdi}: gyldig i logaritmene?", gyldig)

Fasit: \(x=1\) eller \(x=2\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Potensregning

Oppgave 2a

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\dfrac{4a^3\left(a^{-2}b^3\right)^2}{\left(2^{-1}\right)^{-2}ab^4}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.

Steg 1 — Regn ut potensen i parentesen

\[\left(a^{-2}b^3\right)^2=a^{-4}b^6.\]

Steg 2 — Forenkle telleren

\[4a^3\cdot a^{-4}b^6=4a^{-1}b^6.\]

Steg 3 — Forenkle potensen i nevneren

\[\left(2^{-1}\right)^{-2}=2^2=4.\]

Steg 4 — Skriv hele brøken på nytt

\[\dfrac{4a^{-1}b^6}{4ab^4}.\]

Steg 5 — Forkort felles faktorer

\[\dfrac{4a^{-1}b^6}{4ab^4}=a^{-2}b^2=\dfrac{b^2}{a^2}.\]

Tolkning

Uttrykket blir en enkel brøk uten negative eksponenter.

Vanlig feil: Å glemme at en potens utenfor parentesen skal ganges inn på alle faktorene inni parentesen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle(4a^3*(a^(-2)*b^3)^2/((2^(-1))^(-2)*a*b^4)) → \(\dfrac{b^2}{a^2}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify, factor a, b = symbols('a b', nonzero=True) uttrykk = 4*a**3*(a**(-2)*b**3)**2 / ((2**(-1))**(-2)*a*b**4) print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk) print("Forenklet uttrykk:", simplify(uttrykk)) print("Faktorisert/ryddet:", factor(simplify(uttrykk)))

Fasit: \(\dfrac{b^2}{a^2}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Algebraiske brøker

Oppgave 2b

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2x}{x^2-1}+1\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.

Steg 1 — Faktoriser nevneren

\[x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right).\]

Steg 2 — Finn fellesnevner

Fellesnevneren er \(\left(x-1\right)\left(x+1\right)\), og vi må ha \(x\ne 1\) og \(x\ne -1\).

Steg 3 — Skriv alle ledd med fellesnevner

\[\dfrac{x+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\dfrac{2x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\dfrac{x^2-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\]

Steg 4 — Samle telleren

Telleren blir \[x+1-2x+x^2-1=x^2-x=x\left(x-1\right).\]

Steg 5 — Forkort

\[\dfrac{x\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{x}{x+1}.\]

Tolkning

Den forenklede formen gjelder for de opprinnelige lovlige verdiene \(x\ne \pm 1\).

Vanlig feil: Å forkorte \(x-1\) uten å oppgi at \(x=1\) fortsatt ikke er lovlig i det opprinnelige uttrykket.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle(1/(x-1)-2x/(x^2-1)+1) → \(\dfrac{x}{x+1}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify, factor x = symbols('x') uttrykk = 1/(x - 1) - 2*x/(x**2 - 1) + 1 print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk) print("Nevner faktorisert:", factor(x**2 - 1)) print("Forenklet uttrykk:", simplify(uttrykk)) print("Viktig: x kan ikke være 1 eller -1 i det opprinnelige uttrykket")

Fasit: \(\dfrac{x}{x+1}\), der \(x\ne -1\) og \(x\ne 1\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Ulikhet

Oppgave 3

Oppgave:

Løs ulikheten \(x^2-3x+2\le 0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metodevalg, kontrollere svaret og peke på en vanlig feil.

Steg 1 — Faktoriser uttrykket

\[x^2-3x+2=\left(x-1\right)\left(x-2\right).\]

Steg 2 — Finn nullpunktene

Nullpunktene er \(x=1\) og \(x=2\).

Steg 3 — Lag fortegnsvurdering

Parabelen vender oppover fordi koeffisienten foran \(x^2\) er positiv.

Steg 4 — Velg intervallet der uttrykket er negativt eller null

Uttrykket er \(\le 0\) mellom nullpunktene, inkludert endepunktene.

Steg 5 — Skriv løsningen som intervall

Dermed får vi \[1\le x\le 2.\]

Tolkning

Ulikheten spør etter alle \(x\)-verdier der grafen ligger på eller under \(x\)-aksen. …