Matematikk S1 Eksempeloppgave høsten 2007 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk S1

Matematikk S1 eksempeloppgave Høst 2007 - løsningsforslag

Komplett bokmål-løsningsforslag basert på Udir-settet S1_H07_eksempel.pdf. Oppgavene er skrevet med ryddig MathJax, trinnvise forklaringer, GeoGebra CAS-linjer og realistiske Python-kontroller i nøytral kodevisning.

Del 1

Del 1 løses uten digitale hjelpemidler i hovedresonnementet. Python og GeoGebra vises bare som kontroll. Del 1 · Oppgave 1a1 Derivasjon

Oppgave 1a1

Oppgave:

Gitt funksjonen \(f(x)=x^3-3x+1\). Finn gjennomsnittlig veksthastighet mellom \(x=1\) og \(x=3\).

Vis løsning

Steg 1 - Regn ut funksjonsverdiene

Vi trenger verdien i startpunktet og sluttpunktet: \[f(1)=1^3-3\cdot 1+1=-1,\qquad f(3)=3^3-3\cdot 3+1=19.\]

Steg 2 - Bruk formelen for gjennomsnittlig veksthastighet

Gjennomsnittlig veksthastighet fra \(x=1\) til \(x=3\) er stigningstallet til sekanten:

\[\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{19-(-1)}{2}=10.\]

Tolkning

I dette intervallet øker funksjonsverdien i gjennomsnitt med \(10\) per \(x\)-enhet.

Vanlig feil: Å bruke den deriverte direkte. Her spørres det om gjennomsnittlig vekst, ikke momentan vekst.

Digital kontroll

GeoGebra · CAS 1 GjennomsnittligVekst(f,1,3) → \(10\) 2 (f(3)-f(1))/(3-1) → \(10\)

Python-kontroll

from sympy import symbols x = symbols('x') f = x**3 - 3*x + 1 start = 1 slutt = 3 f_start = f.subs(x, start) f_slutt = f.subs(x, slutt) gjennomsnitt = (f_slutt - f_start)/(slutt - start) print("Funksjon:", f) print("f(1) =", f_start) print("f(3) =", f_slutt) print("Gjennomsnittlig veksthastighet =", gjennomsnitt)

Fasit: \(10\) Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1a2 Derivasjon

Oppgave 1a2

Oppgave:

Gitt \(f(x)=x^3-3x+1\). Finn momentan vekst i \(x=2\).

Vis løsning

Steg 1 - Deriver funksjonen

Momentan vekst betyr verdien av den deriverte. Vi får

\[f'(x)=3x^2-3.\]

Steg 2 - Sett inn \(x=2\)

\[f'(2)=3\cdot 2^2-3=12-3=9.\]

Tolkning

Grafen har stigningstall \(9\) i punktet der \(x=2\).

Digital kontroll

GeoGebra · CAS 1 Derivert(x^3-3x+1) → \(3x^2-3\) 2 f'(2) → \(9\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff x = symbols('x') f = x**3 - 3*x + 1 derivert = diff(f, x) momentan_vekst = derivert.subs(x, 2) print("f(x) =", f) print("f'(x) =", derivert) print("Momentan vekst i x=2:", momentan_vekst)

Fasit: \(9\) Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b1 Areal og funksjon

Oppgave 1b1

Oppgave:

Omkretsen av et rektangel er \(40\). Vi lar lengden av den ene siden være \(x\). Vis at arealet er gitt ved \(A(x)=-x^2+20x\).

Vis løsning

Steg 1 - Bruk omkretsen

La den andre siden være \(y\). Omkretsen er

\[2x+2y=40.\]

Steg 2 - Løs for den andre siden

\[x+y=20\quad\Longrightarrow\quad y=20-x.\]

Steg 3 - Skriv arealet

Arealet er lengde ganger bredde:

\[A(x)=x(20-x)=20x-x^2=-x^2+20x.\]

Tolkning

Funksjonen er en andregradsfunksjon som beskriver alle mulige rektangler med omkrets \(40\), når \(0

Digital kontroll

GeoGebra · CAS 1 2x+2y=40 → \(y=20-x\) 2 x(20-x) → \(-x^2+20x\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve, expand x, y = symbols('x y') omkrets_likning = 2*x + 2*y - 40 los_y = solve(omkrets_likning, y)[0] areal = expand(x * los_y) print("Omkretslikning: 2x + 2y = 40") print("Løst for y:", los_y) print("Areal A(x):", areal) print("Kontroll for x=10: A(10) =", areal.subs(x, 10))

Fasit: \(A(x)=-x^2+20x\) Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b2 Maksimering

Oppgave 1b2

Oppgave:

Bruk derivasjon til å bestemme det største arealet rektanglet kan ha.

Vis løsning

Steg 1 - Deriver arealfunksjonen

Fra forrige del har vi \(A(x)=-x^2+20x\). Da er

\[A'(x)=-2x+20.\]

Steg 2 - Finn kritisk punkt

\[A'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad -2x+20=0\quad\Longrightarrow\quad x=10.\]

Steg 3 - Kontroller at det er maksimum

Siden koeffisienten foran \(x^2\) er negativ, vender parabelen nedover. Punktet \(x=10\) gir derfor maksimum.

Steg 4 - Regn ut arealet

\[A(10)=-10^2+20\cdot 10=100.\]

Tolkning

Det største arealet får vi når rektanglet er et kvadrat med sider \(10\) og \(10\).

Digital kontroll

GeoGebra · CAS 1 Ekstremalpunkt(-x^2+20x) → \(x=10\) 2 A(10) → \(100\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, solve x = symbols('x') A = -x**2 + 20*x A_derivert = diff(A, x) kritiske = solve(A_derivert, x) print("A(x) =", A) print("A'(x) =", A_derivert) print("Kritisk punkt:", kritiske) for verdi in kritiske: print(f"A({verdi}) =", A.subs(x, verdi)) print("Andrederivert:", diff(A_derivert, x), "som er negativ, så dette er maksimum")

Fasit: \(100\) Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Algebraisk forenkling

Oppgave 1c

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(1-\dfrac{2x-2}{x^2-1}\).

Vis løsning

Steg 1 - Faktoriser teller og nevner

\[2x-2=2(x-1),\qquad x^2-1=(x-1)(x+1).\]

Steg 2 - Forkort brøken

For \(x\ne 1\) får vi

\[\frac{2x-2}{x^2-1}=\frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2}{x+1}.\]

Steg 3 - Trekk fra

\[1-\frac{2}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}-\frac{2}{x+1}=\frac{x-1}{x+1}.\]

Definisjonsmengde

Det opprinnelige uttrykket er ikke definert for \(x=-1\) eller \(x=1\).

Digital kontroll

GeoGebra · CAS 1 Forenkle(1-(2x-2)/(x^2-1)) → \(\dfrac{x-1}{x+1}\) 2 Faktoriser(x^2-1) → \((x-1)(x+1)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor, simplify, cancel x = symbols('x') uttrykk = 1 - (2*x - 2)/(x**2 - 1) print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk) print("Nevner faktorisert:", factor(x**2 - 1)) print("Forenklet med cancel:", cancel(uttrykk)) print("Forenklet med simplify:", simplify(uttrykk)) print("Ikke tillatte x-verdier: -1 og 1")

Fasit: \(\dfrac{x-1}{x+1}\), der \(x\ne -1\) og \(x\ne 1\) Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d Ulikhet

Oppgave 1d

Oppgave:

Løs ulikheten \(x^2 Vis løsning

Steg 1 - Samle alt på én side

\[x^2-x-6<0.\]

Steg 2 - Faktoriser

\[x^2-x-6=(x-3)(x+2).\]

Steg 3 - Bruk fortegnslinje

Nullpunktene er \(x=-2\) og \(x=3\). Parabelen vender oppover, så uttrykket er negativt mellom nullpunktene. …