Matematikk S1 Eksamen våren 2016 – løsningsforslag

ifingo · løsningsforslag

Matematikk S1 eksamen vår 2016 – løsningsforslag

Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave har transkribert oppgavetekst, trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil og digital kontroll med GeoGebra CAS og Python.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Andregradslikning

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs likningen \(x^2-3x+2=0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Se etter faktorisering

Vi trenger to tall med produkt \(2\) og sum \(-3\). Tallene er \(-1\) og \(-2\).

Steg 2 — Faktoriser

\[x^2-3x+2=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\]

Steg 3 — Bruk nullproduktregelen

Når et produkt er null, må minst én av faktorene være null.

Steg 4 — Løs faktorene

\[x-1=0 \Rightarrow x=1\quad \text{eller}\quad x-2=0 \Rightarrow x=2\]

Steg 5 — Kontroller ved innsetting

\(1^2-3\cdot1+2=0\) og \(2^2-3\cdot2+2=0\).

Vanlig feil: Å bytte fortegn i faktorene og skrive \(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Faktoriser(x^2-3x+2) → \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\) 2 Løs(x^2-3x+2=0) → \(x=1 \lor x=2\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, factor, simplify x = symbols('x') uttrykk = x**2 - 3*x + 2 print('Faktorisert uttrykk:', factor(uttrykk)) losninger = solve(Eq(uttrykk, 0), x) print('Løsninger:', losninger) for verdi in losninger: print(f'Kontroll for x = {verdi}:', simplify(uttrykk.subs(x, verdi)))

Fasit: \(x=1\) eller \(x=2\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Logaritmelikning

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningen \(\lg\left(4x+3\right)=\lg 7\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Bruk at logaritmen er én-entydig

Når \(\lg A=\lg B\) og begge uttrykkene er positive, må \(A=B\).

Steg 2 — Sjekk definisjonskrav

Vi må ha \(4x+3>0\), altså \(x>-\dfrac{3}{4}\).

Steg 3 — Fjern logaritmen

\[4x+3=7\]

Steg 4 — Løs likningen

\[4x=4 \Rightarrow x=1\]

Steg 5 — Kontroller definisjonsmengden

For \(x=1\) er \(4x+3=7>0\), så løsningen er gyldig.

Vanlig feil: Å dele på \(\lg\) som om det var en faktor. Logaritmen er en funksjon, ikke et tall som står ganget med uttrykket.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(lg(4x+3)=lg(7)) → \(x=1\) 2 4*1+3 → \(7\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, log, simplify x = symbols('x') likning = Eq(log(4*x + 3, 10), log(7, 10)) losninger = solve(likning, x) print('Løsninger:', losninger) for verdi in losninger: venstre = log(4*verdi + 3, 10) hoyre = log(7, 10) print(f'x = {verdi}, venstre side =', venstre) print(f'x = {verdi}, høyre side =', hoyre) print('Differanse:', simplify(venstre - hoyre))

Fasit: \(x=1\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Algebra

Oppgave 2a

Oppgave:

Skriv uttrykket så enkelt som mulig: \(\left(2x-3\right)^2-3\left(x-2\right)^2+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Utvid første kvadrat

\[\left(2x-3\right)^2=4x^2-12x+9\]

Steg 2 — Utvid andre kvadrat med faktoren \(-3\)

\[-3\left(x-2\right)^2=-3\left(x^2-4x+4\right)=-3x^2+12x-12\]

Steg 3 — Bruk konjugatsetningen

\[\left(x-1\right)\left(x+1\right)=x^2-1\]

Steg 4 — Samle ledd

\[4x^2-12x+9-3x^2+12x-12+x^2-1=2x^2-4\]

Steg 5 — Eventuell faktorisering

Uttrykket kan også skrives som \(2\left(x^2-2\right)\).

Vanlig feil: Å glemme at hele \(\left(x-2\right)^2\) skal multipliseres med \(-3\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Utvid((2x-3)^2-3(x-2)^2+(x-1)(x+1)) → \(2x^2-4\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, expand, factor x = symbols('x') uttrykk = (2*x - 3)**2 - 3*(x - 2)**2 + (x - 1)*(x + 1) print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk) print('Utvidet uttrykk:', expand(uttrykk)) print('Faktorisert form:', factor(expand(uttrykk)))

Fasit: \(2x^2-4\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Potensregler

Oppgave 2b

Oppgave:

Skriv uttrykket så enkelt som mulig: \(\dfrac{a^2b^3}{\left(a^3b\right)^{-2}}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Flytt negativ potens

Å dele på \(\left(a^3b\right)^{-2}\) er det samme som å multiplisere med \(\left(a^3b\right)^2\).

Steg 2 — Skriv om

\[\dfrac{a^2b^3}{\left(a^3b\right)^{-2}}=a^2b^3\left(a^3b\right)^2\]

Steg 3 — Bruk potens av produkt

\[\left(a^3b\right)^2=a^6b^2\]

Steg 4 — Multipliser potenser med samme grunntall

\[a^2b^3\cdot a^6b^2=a^{8}b^{5}\]

Steg 5 — Oppgi forutsetning

Uttrykket forutsetter at \(a e0\) og \(b e0\).

Vanlig feil: Å gjøre negativ eksponent om til negativt tall. \(a^{-2}\) betyr \(1/a^2\), ikke \(-a^2\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle(a^2 b^3/(a^3 b)^(-2)) → \(a^8b^5\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify a, b = symbols('a b', nonzero=True) uttrykk = a**2*b**3 / (a**3*b)**(-2) print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk) print('Forenklet uttrykk:', simplify(uttrykk))

Fasit: \(a^8b^5\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Likningssystem

Oppgave 3a

Oppgave:

Et rektangel med sider \(x\) og \(y\) har areal 6 og omkrets 11. Sett opp et likningssystem som svarer til opplysningene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Oversett areal

Arealet til et rektangel er lengde ganget med bredde: \(xy\).

Steg 2 — Bruk arealopplysningen

Siden arealet er 6, får vi \[xy=6\]

Steg 3 — Oversett omkrets

Omkretsen er summen av alle sidene: \(2x+2y\).

Steg 4 — Bruk omkretsopplysningen

Siden omkretsen er 11, får vi \[2x+2y=11\]

Steg 5 — Sett systemet samlet

\[\begin{cases}xy=6\2x+2y=11\end{cases}\]

Vanlig feil: Å skrive \(x+y=11\). Omkretsen inneholder to sider av hver lengde.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 x*y=6, 2x+2y=11 → Likningssystemet

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq x, y = symbols('x y') likning_1 = Eq(x*y, 6) likning_2 = Eq(2*x + 2*y, 11) print('Likning 1:', likning_1) print('Likning 2:', likning_2)

Fasit: \(\begin{cases}xy=6\2x+2y=11\end{cases}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b Likningssystem

Oppgave 3b

Oppgave:

Bestem lengden av sidene i rektangelet ved å løse likningssystemet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne kontrollert og avslutte med en tolkning som viser hva svaret betyr i oppgaven.

Steg 1 — Bruk omkretslikningen

Fra \(2x+2y=11\) får vi \(x+y=\dfrac{11}{2}\).

Steg 2 — Tenk røtter

Hvis to tall har sum \(\dfrac{11}{2}\) og produkt \(6\), er de røtter i likningen \[t^2-\dfrac{11}{2}t+6=0\]

Steg 3 — Fjern brøk

\[2t^2-11t+12=0\]

Steg 4 — Faktoriser

\[2t^2-11t+12=\left(2t-3\right)\left(t-4\right)\]

Steg 5 — Finn sidene

\[t=\dfrac{3}{2}\quad \text{eller}\quad t=4\]

Steg 6 — Kontroller

\(4\cdot \dfrac{3}{2}=6\), og \(2\cdot4+2\cdot\dfrac{3}{2}=11\).

Vanlig feil: Å avvise \(\dfrac{3}{2}\) fordi det er brøk. Sidelengder kan være desimaltall/brøker.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs({x*y=6,2x+2y=11},{x,y}) → \(\{x=4,y=\dfrac{3}{2}\}\lor\{x=\dfrac{3}{2},y=4\}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify x, y = symbols('x y') losninger = solve((Eq(x*y, 6), Eq(2*x + 2*y, 11)), (x, y)) print('Løsninger for sidene:', losninger) for L, B in losninger: print('Areal:', simplify(L*B)) print('Omkrets:', simplify(2*L + 2*B))

Fasit: \(x=4\) og \(y=\dfrac{3}{2}\), eller omvendt (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Ulikhet

Oppgave 4

Oppgave:

Løs ulikheten \(-5x+x^2\le0\). …