Matematikk S1 Eksamen våren 2017 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk S1

Matematikk S1 eksamen vår 2017 – løsningsforslag

Komplett løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave er transkribert, løst trinnvis og kontrollert med GeoGebra CAS og Python der det passer. Python-boksene bruker nøytral/original kodevisning uten rosa markering.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a · 5 poeng Likning

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs likningen \(x^2-5x=0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Faktoriser venstre side

Begge ledd har faktoren \(x\), derfor kan vi skrive \(x^2-5x=x\left(x-5\right)\).

Steg 2 — Bruk nullproduktregelen

Likningen blir \[x\left(x-5\right)=0\] og et produkt er null bare når minst én faktor er null.

Steg 3 — Løs hver faktor

\[x=0 \quad \textext{eller}\quad x-5=0\]

Steg 4 — Finn løsningene

Fra \(x-5=0\) får vi \(x=5\).

Steg 5 — Kontroller

For \(x=0\) blir venstre side \(0\). For \(x=5\) blir \(25-25=0\).

Vanlig feil: Å dele hele likningen på \(x\). Da mister man løsningen \(x=0\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Faktoriser(x^2-5x) → \(x\left(x-5\right)\) 2 Løs(x^2-5x=0) → \(x=0 \lor x=5\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, factor, simplify x = symbols('x') uttrykk = x**2 - 5*x print('Faktorisert uttrykk:', factor(uttrykk)) losninger = solve(Eq(uttrykk, 0), x) print('Løsninger:', losninger) for verdi in losninger: print(f'Kontroll for x = {verdi}:', simplify(uttrykk.subs(x, verdi)))

Fasit: \(x=0\) eller \(x=5\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b · 5 poeng Eksponentiallikning

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningen \(3\cdot10^x=3000\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Isoler potensen

Del begge sider på \(3\): \[10^x=1000\]

Steg 2 — Skriv \(1000\) som tierpotens

\[1000=10^3\]

Steg 3 — Sammenlikn eksponentene

Når \(10^x=10^3\), må \(x=3\).

Steg 4 — Kontroller

\(3\cdot10^3=3\cdot1000=3000\).

Vanlig feil: Å ta \(3000/10\) i stedet for først å isolere \(10^x\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(3*10^x=3000) → \(x=3\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, Pow, simplify x = symbols('x') likning = Eq(3*10**x, 3000) losninger = solve(likning, x) print('Likning:', likning) print('Løsninger:', losninger) for verdi in losninger: venstre = 3*10**verdi print(f'Venstre side når x = {verdi}:', venstre) print('Differanse fra 3000:', simplify(venstre - 3000))

Fasit: \(x=3\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c · 5 poeng Logaritmelikning

Oppgave 1c

Oppgave:

Løs likningen \(4\lg\left(x+15\right)=8\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

Vi må ha \(x+15>0\), altså \(x>-15\).

Steg 2 — Del på 4

\[\lg\left(x+15\right)=2\]

Steg 3 — Skriv om logaritmen

\(\lg A=2\) betyr \(A=10^2\). Dermed får vi \[x+15=100\]

Steg 4 — Løs for \(x\)

\[x=100-15=85\]

Steg 5 — Kontroller definisjonsmengden

\(85+15=100>0\), så løsningen er gyldig.

Vanlig feil: Å skrive \(x+15=2\). Husk at \(\lg A=2\) betyr \(A=100\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(4lg(x+15)=8) → \(x=85\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, log, simplify x = symbols('x') likning = Eq(4*log(x + 15, 10), 8) losninger = solve(likning, x) print('Likning:', likning) print('Løsninger:', losninger) for verdi in losninger: kontroll = 4*log(verdi + 15, 10) print(f'Venstre side når x = {verdi}:', kontroll) print('Differanse fra 8:', simplify(kontroll - 8))

Fasit: \(x=85\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a · 6 poeng Algebra

Oppgave 2a

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}+\dfrac{a+1}{ab}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Finn fellesnevner

Fellesnevneren er \(ab\).

Steg 2 — Utvid hvert ledd

\[\dfrac{1}{a}=\dfrac{b}{ab},\quad \dfrac{1}{b}=\dfrac{a}{ab}\]

Steg 3 — Samle i én brøk

\[\dfrac{b}{ab}-\dfrac{a}{ab}+\dfrac{a+1}{ab}=\dfrac{b-a+a+1}{ab}\]

Steg 4 — Forkort telleren

\(-a+a=0\), derfor blir telleren \(b+1\).

Steg 5 — Oppgi forutsetning

Vi må ha \(a e0\) og \(b e0\).

Vanlig feil: Å forkorte \(a+1\) mot \(ab\). Bare faktorer kan forkortes, ikke ledd i en sum.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle(1/a-1/b+(a+1)/(a*b)) → \(\dfrac{b+1}{ab}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify, together a, b = symbols('a b', nonzero=True) uttrykk = 1/a - 1/b + (a + 1)/(a*b) print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk) print('Samlet på fellesnevner:', together(uttrykk)) print('Forenklet uttrykk:', simplify(uttrykk))

Fasit: \(\dfrac{b+1}{ab}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b · 6 poeng Potensregler

Oppgave 2b

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\dfrac{4a^6b^{-2}a^4}{\left(2ab^{-1}\right)^2}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Samle potenser i telleren

\[4a^6b^{-2}a^4=4a^{10}b^{-2}\]

Steg 2 — Regn ut nevneren

\[\left(2ab^{-1}\right)^2=4a^2b^{-2}\]

Steg 3 — Sett inn

\[\dfrac{4a^{10}b^{-2}}{4a^2b^{-2}}\]

Steg 4 — Forkort like faktorer

Faktorene \(4\) og \(b^{-2}\) forkortes bort.

Steg 5 — Bruk potensregelen

\[\dfrac{a^{10}}{a^2}=a^{8}\]

Vanlig feil: Å skrive \(\left(2ab^{-1}\right)^2=2a^2b^{-2}\). Tallet 2 skal også kvadreres.

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle(4a^6b^(-2)a^4/(2ab^(-1))^2) → \(a^8\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify a, b = symbols('a b', nonzero=True) uttrykk = 4*a**6*b**(-2)*a**4 / (2*a*b**(-1))**2 print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk) print('Forenklet uttrykk:', simplify(uttrykk))

Fasit: \(a^8\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2c · 6 poeng Logaritmeregler

Oppgave 2c

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\lg 3a-\lg a^3+2\lg a\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Splitt første logaritme

\[\lg\left(3a\right)=\lg3+\lg a\]

Steg 2 — Bruk potensregelen

\[\lg a^3=3\lg a\]

Steg 3 — Sett inn

\[\lg3+\lg a-3\lg a+2\lg a\]

Steg 4 — Samle \(\lg a\)-ledd

\(\lg a-3\lg a+2\lg a=0\).

Steg 5 — Krav til \(a\)

Uttrykket er definert for \(a>0\).

Vanlig feil: Å tolke \(\lg 3a\) som \(\lg3\cdot\lg a\). Det riktige er \(\lg\left(3a\right)=\lg3+\lg a\).

Tolkning

Svaret er valgt slik at det både oppfyller regningen og gir mening i konteksten i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle(lg(3a)-lg(a^3)+2lg(a)) → \(\lg3\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, simplify, expand_log from sympy.assumptions import Q a = symbols('a', positive=True) uttrykk = log(3*a, 10) - log(a**3, 10) + 2*log(a, 10) print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk) print('Utvidet med logaritmeregler:', expand_log(uttrykk, force=True)) print('Forenklet uttrykk:', simplify(expand_log(uttrykk, force=True)))

Fasit: \(\lg3\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a · 3 poeng Likningssystem

Oppgave 3a

Oppgave:

To familier skal på kino. Familien Hansen kjøper tre barnebilletter og to voksenbilletter. De betaler 290 kroner for billettene. Familien Sørensen kjøper fem barnebilletter og tre voksenbilletter. De betaler 460 kroner. Sett opp to likninger som kan brukes til å bestemme prisen på én barnebillett og én voksenbillett.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til riktig matematisk modell, regne i kontrollerte steg og kontrollere svaret digitalt der det gir mening.

Steg 1 — Definer variabler

La \(b\) være prisen for én barnebillett og \(v\) være prisen for én voksenbillett. …