Matematikk S1 Eksamen høsten 2018 – løsningsforslag

Matematikk S1 eksamen Høst 2018 – løsningsforslag

Originalt ifingo-løsningsforslag på bokmål. Alle deloppgaver er transkribert, løst trinnvis og kontrollert med GeoGebra CAS/Python der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Andregradslikning

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs likningen \(x^2-3x+1=3x+8\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Samle alt på én side

\[x^2-3x+1-3x-8=0\]

Steg 2 — Forenkle

\[x^2-6x-7=0\]

Steg 3 — Faktoriser

Vi finner to tall med produkt \(-7\) og sum \(-6\): \(-7\) og \(1\). Dermed er \[x^2-6x-7=\left(x-7\right)\left(x+1\right).\]

Steg 4 — Bruk nullproduktregelen

\[\left(x-7\right)\left(x+1\right)=0\Rightarrow x=7\ \text{eller}\ x=-1\]

Steg 5 — Innsettingskontroll

For \(x=7\) får begge sider \(29\). For \(x=-1\) får begge sider \(5\).

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Vanlig feil: Å flytte \(3x\) over uten å endre fortegn.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(x^2-3x+1=3x+8) → \(x=-1 \lor x=7\)

Kontroll (Python)

💻 Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, factor, simplify x = symbols('x') likning = Eq(x**2 - 3*x + 1, 3*x + 8) standardform = simplify(likning.lhs - likning.rhs) faktorisert = factor(standardform) losninger = solve(likning, x) print('Likning:', likning) print('Standardform:', standardform) print('Faktorisert:', faktorisert) print('Løsninger:', losninger) for verdi in losninger: print(verdi, 'gir venstre side =', likning.lhs.subs(x, verdi), 'og høyre side =', likning.rhs.subs(x, verdi))

Kjøring gir:

Likning: Eq(x**2 - 3*x + 1, 3*x + 8) Standardform: x**2 - 6*x - 7 Faktorisert: (x - 7)*(x + 1) Løsninger: [-1, 7] -1 gir venstre side = 5 og høyre side = 5 7 gir venstre side = 29 og høyre side = 29

Fasit: \(x=-1\) eller \(x=7\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Logaritmer

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningen \(\lg\left(x^4\right)-\lg\left(x^3\right)+\lg\left(x^2\right)-\lg x=6\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Sett domenet

Alle logaritmene inneholder potenser av \(x\), og \(\lg x\) krever \(x>0\).

Steg 2 — Bruk potensregelen

\[\lg\left(x^4\right)-\lg\left(x^3\right)+\lg\left(x^2\right)-\lg x=4\lg x-3\lg x+2\lg x-\lg x\]

Steg 3 — Trekk sammen

\[4\lg x-3\lg x+2\lg x-\lg x=2\lg x\]

Steg 4 — Løs logaritmelikningen

\[2\lg x=6\Rightarrow \lg x=3\]

Steg 5 — Gå tilbake fra logaritme

\[x=10^3=1000\]

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Vanlig feil: Å glemme domenet \(x>0\), eller å tolke \(\lg\left(x^4\right)\) som \(\left(\lg x\right)^4\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(lg(x^4)-lg(x^3)+lg(x^2)-lg(x)=6) → \(x=1000\)

Kontroll (Python)

💻 Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, log x = symbols('x', positive=True) # lg(x) betyr logaritme med grunntall 10. likning = Eq(4*log(x,10) - 3*log(x,10) + 2*log(x,10) - log(x,10), 6) losning = solve(likning, x) print('Forenklet likning:', Eq(2*log(x,10), 6)) print('Løsning:', losning) print('Kontroll: 2*lg(1000) =', 2*log(1000,10))

Kjøring gir:

Forenklet likning: Eq(2*log(x, 10), 6) Løsning: [1000] Kontroll: 2*lg(1000) = 6

Fasit: \(x=1000\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Eksponentiallikning

Oppgave 1c

Oppgave:

Løs likningen \(10\cdot 4^x=5\cdot 2^x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Skriv med samme grunntall

Siden \(4^x=\left(2^2\right)^x=2^{2x}\), får vi \[10\cdot 2^{2x}=5\cdot 2^x.\]

Steg 2 — Divider med \(5\cdot 2^x\)

Dette er lov fordi \(2^x>0\): \[\dfrac{10\cdot 2^{2x}}{5\cdot 2^x}=1.\]

Steg 3 — Forenkle potensen

\[2\cdot 2^x=1\]

Steg 4 — Løs

\[2^x=\dfrac12=2^{-1}\Rightarrow x=-1\]

Steg 5 — Kontroll

\(10\cdot4^{-1}=2{,}5\) og \(5\cdot2^{-1}=2{,}5\).

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Vanlig feil: Å dividere bort \(2^x\) feil og få \(2^x=2\) i stedet for \(2^x=\dfrac12\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(10*4^x=5*2^x) → \(x=-1\)

Kontroll (Python)

💻 Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify x = symbols('x') likning = Eq(10*4**x, 5*2**x) losning = solve(likning, x) print('Likning:', likning) print('Løsning:', losning) for verdi in losning: print('Venstre side:', simplify(likning.lhs.subs(x, verdi))) print('Høyre side:', simplify(likning.rhs.subs(x, verdi)))

Kjøring gir:

Likning: Eq(10*4**x, 5*2**x) Løsning: [-1] Venstre side: 5/2 Høyre side: 5/2

Fasit: \(x=-1\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Algebra

Oppgave 2a

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\left(a+2b\right)^2-\left(2b-a\right)^2\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Se differanse av kvadrater

Uttrykket har formen \(u^2-v^2=\left(u-v\right)\left(u+v\right)\).

Steg 2 — Sett \(u=a+2b\) og \(v=2b-a\)

Da får vi \[\left(a+2b-\left(2b-a\right)\right)\left(a+2b+2b-a\right).\]

Steg 3 — Forenkle første faktor

\[a+2b-2b+a=2a\]

Steg 4 — Forenkle andre faktor

\[a+2b+2b-a=4b\]

Steg 5 — Multipliser

\[2a\cdot4b=8ab\]

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Vanlig feil: Å utvide begge kvadrater og miste fortegn i \(2b-a\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Faktoriser((a+2b)^2-(2b-a)^2) → \(8ab\)

Kontroll (Python)

💻 Python-kontroll

from sympy import symbols, expand, factor a, b = symbols('a b') uttrykk = (a + 2*b)**2 - (2*b - a)**2 print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk) print('Utvidet:', expand(uttrykk)) print('Faktorisert/forenklet:', factor(uttrykk))

Kjøring gir:

Opprinnelig uttrykk: (a + 2*b)**2 - (-a + 2*b)**2 Utvidet: 8*a*b Faktorisert/forenklet: 8*a*b

Fasit: \(8ab\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Potenser

Oppgave 2b

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(3^3\cdot3^0+3^{-1}+3^{-2}+3^{-3}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Bruk \(3^0=1\)

\[3^3\cdot3^0=27\cdot1=27\]

Steg 2 — Skriv negative potenser som brøker

\[3^{-1}=\dfrac13,\quad 3^{-2}=\dfrac19,\quad 3^{-3}=\dfrac1{27}\]

Steg 3 — Finn fellesnevner

Fellesnevneren er \(27\).

Steg 4 — Legg sammen

\[27+\dfrac13+\dfrac19+\dfrac1{27}=\dfrac{729+9+3+1}{27}=\dfrac{742}{27}\]

Steg 5 — Vurder form

\(\dfrac{742}{27}\) kan ikke forkortes fordi \(742\) ikke er delelig med \(3\).

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt.

Vanlig feil: Å tro at \(3^0=0\). Det riktige er \(3^0=1\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 3^3*3^0+3^(-1)+3^(-2)+3^(-3) → \(\dfrac{742}{27}\)

Kontroll (Python)

💻 Python-kontroll

from sympy import Rational, simplify uttrykk = 3**3 * 3**0 + Rational(1,3) + Rational(1,9) + Rational(1,27) print('Eksakt verdi:', uttrykk) print('Desimalverdi:', uttrykk.evalf()) print('Forenklet:', simplify(uttrykk))

Kjøring gir:

Eksakt verdi: 742/27 Desimalverdi: 27.4814814814815 Forenklet: 742/27

Fasit: \(\dfrac{742}{27}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Ulikhet

Oppgave 3

Oppgave:

Løs ulikheten \(x^2-6x\ge 7\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, gjør regningen kontrollert, tolker svaret og sjekker resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Flytt alt til venstre

\[x^2-6x-7\ge0\]

Steg 2 — Faktoriser

\[x^2-6x-7=\left(x-7\right)\left(x+1\right)\]

Steg 3 — Finn nullpunktene

\[x=7\quad\text{eller}\quad x=-1\]

Steg 4 — Lag fortegnslinje

Produktet er positivt utenfor nullpunktene og negativt mellom dem.

Steg 5 — Ta med likhet

Siden ulikheten er \(\ge0\), tar vi med nullpunktene.

Tolkning

Svaret er gitt med riktig matematisk modell og med kontroll av at betingelsene i oppgaven er oppfylt. …