Matematikk S1 Eksamen våren 2015 – løsningsforslag

Matematikk S1 eksamen vår 2015 – løsningsforslag

ifingo-kvalitet: Full transkripsjon, stegvis løsning, vanlig feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll med nøytral/original kodevisning.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Andregradslikning

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs likningen \(2x^2-6x+4=0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Forenkle likningen

\[2x^2-6x+4=0 \Longleftrightarrow x^2-3x+2=0\]

Steg 2 — Faktoriser

\[x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\]

Steg 3 — Bruk nullproduktregelen

\[(x-1)(x-2)=0 \Longrightarrow x=1 \lor x=2\]

Steg 4 — Kontroller

\[2\cdot1^2-6\cdot1+4=0,\quad 2\cdot2^2-6\cdot2+4=0\]

Steg 5 — Konkluder

\[L=\{1,2\}\]

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(2x^2-6x+4=0) → \(x=1\) eller \(x=2\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, factor, simplify x = symbols('x') uttrykk = 2*x**2 - 6*x + 4 print('Uttrykk:', uttrykk) print('Faktorisert:', factor(uttrykk)) losninger = solve(Eq(uttrykk, 0), x) print('Løsninger:', losninger) for r in losninger: print(f'Kontroll x={r}:', simplify(uttrykk.subs(x, r)))

Fasit: \(x=1\) eller \(x=2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Logaritmer

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningen \(2\lg x-\lg 2=\lg(4-x)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

\[x>0,\quad 4-x>0 \Longrightarrow 0

Steg 2 — Bruk logaritmeregler

\[2\lg x-\lg 2=\lg\left(\dfrac{x^2}{2}\right)\]

Steg 3 — Fjern logaritmen

\[\dfrac{x^2}{2}=4-x\]

Steg 4 — Løs og vurder

\[x^2+2x-8=0 \Longrightarrow x=-4 \lor x=2\]

Steg 5 — Forkast ugyldig rot

\[0

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(2*lg(x)-lg(2)=lg(4-x)) → \(x=2\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve x = symbols('x') kandidater = solve(Eq(x**2/2, 4 - x), x) print('Kandidater:', kandidater) gyldige = [r for r in kandidater if r > 0 and r < 4] print('Gyldige løsninger:', gyldige)

Fasit: \(x=2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Geometri

Oppgave 2a

Oppgave:

Forklar at systemet \(x+y=30\) og \((10+x)^2+400=y^2\) kan brukes.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Les av figuren

\(PA=10\), \(AB=20\), \(PC=x\) og \(CB=y\).

Steg 2 — Bruk lengdekravet

\[PA+AB=PC+CB \Longrightarrow 10+20=x+y\]

Steg 3 — Første likning

\[x+y=30\]

Steg 4 — Bruk Pytagoras

\[(10+x)^2+20^2=y^2\]

Steg 5 — Andre likning

\[(10+x)^2+400=y^2\]

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 System → Systemet er \[\begin{cases}x+y=30\\ (10+x)^2+400=y^2\end{cases}\]

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq x, y = symbols('x y') print(Eq(x + y, 30)) print(Eq((10 + x)**2 + 400, y**2))

Fasit: Systemet er \[\begin{cases}x+y=30\\ (10+x)^2+400=y^2\end{cases}\] Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Likningssystem

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem \(x\) og \(y\) ved å løse systemet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Isoler

\[y=30-x\]

Steg 2 — Substituer

\[(10+x)^2+400=(30-x)^2\]

Steg 3 — Utvid

\[x^2+20x+500=x^2-60x+900\]

Steg 4 — Løs

\[80x=400 \Longrightarrow x=5\]

Steg 5 — Finn \(y\)

\[y=30-5=25\]

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs({x+y=30,(10+x)^2+400=y^2}) → \(x=5\) og \(y=25\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify x, y = symbols('x y') sol = solve([Eq(x+y,30), Eq((10+x)**2+400,y**2)], (x,y), dict=True) print('Løsninger:', sol) for s in sol: print('Kontroll:', simplify((x+y).subs(s)), simplify(((10+x)**2+400-y**2).subs(s)))

Fasit: \(x=5\) og \(y=25\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Algebra

Oppgave 3a

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \((a+1)^2-2(a-1)(a+1)+(a-1)^2\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Kjenn igjen mønster

\[u^2-2uv+v^2=(u-v)^2\]

Steg 2 — Sett inn

\[u=a+1,\quad v=a-1\]

Steg 3 — Trekk fra

\[u-v=(a+1)-(a-1)=2\]

Steg 4 — Kvadrer

\[(u-v)^2=2^2=4\]

Steg 5 — Konkluder

\(4\) er uavhengig av \(a\).

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Utvid(...) → \(4\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, expand, simplify a = symbols('a') uttrykk = (a+1)**2 - 2*(a-1)*(a+1) + (a-1)**2 print('Utvidet:', expand(uttrykk)) print('Forenklet:', simplify(uttrykk))

Fasit: \(4\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b Potensregning

Oppgave 3b

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\dfrac{(2a^2)^{-1}(3b)^2}{(3a^2b^{-1})^2}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Forenkle teller

\[(2a^2)^{-1}(3b)^2=\dfrac{9b^2}{2a^2}\]

Steg 2 — Forenkle nevner

\[(3a^2b^{-1})^2=\dfrac{9a^4}{b^2}\]

Steg 3 — Del på brøk

\[\dfrac{9b^2}{2a^2}\cdot\dfrac{b^2}{9a^4}\]

Steg 4 — Forkort

\[\dfrac{b^4}{2a^6}\]

Steg 5 — Konkluder

\(a\) og \(b\) må være ulike null.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot modellen eller ved innsetting.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegnsdrøfting eller modellbegrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle(...) → \(\dfrac{b^4}{2a^6}\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify a, b = symbols('a b', nonzero=True) uttrykk = ((2*a**2)**(-1)*(3*b)**2)/((3*a**2*b**(-1))**2) print('Forenklet:', simplify(uttrykk))

Fasit: \(\dfrac{b^4}{2a^6}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4a Derivasjon

Oppgave 4a

Oppgave:

Bestem \(f'(x)\) for \(f(x)=x^3-6x^2+9x-4\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, forklare metodevalget, tolke resultatet og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Deriver ledd for ledd

\[\dfrac{d}{dx}x^3=3x^2\]

Steg 2 — Andre ledd

\[\dfrac{d}{dx}(-6x^2)=-12x\] …