Matematikk S1 Eksamen våren 2008 – løsningsforslag

Matematikk S1 eksamen vår 2008 – løsningsforslag

Fullstendig originalt løsningsforslag på bokmål, med transkripsjon, trinnvis løsning, GeoGebra CAS og Python-kontroll.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Eksponentiallikning

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs likningen \(2\cdot10^x=2000\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Isoler potensen

\(2\cdot10^x=2000\Rightarrow 10^x=1000\).

Steg 2 — Skriv som tierpotens

\(1000=10^3\), derfor \(10^x=10^3\).

Steg 3 — Sammenlikn eksponenter

Like grunntall gir \(x=3\).

Steg 4 — Kontroller

\(2\cdot10^3=2000\).

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å svare \(x=1000\) etter å ha isolert \(10^x\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(2*10^x=2000,x) → \(x=3\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve x = symbols('x') likning = Eq(2*10**x, 2000) losning = solve(likning, x) print('Likning:', likning) print('Løsning:', losning) for verdi in losning: print('Kontroll:', 2*10**verdi) # Utskrift: # Likning: Eq(2*10**x, 2000) # Løsning: [3] # Kontroll: 2000

Fasit: \(x=3\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Logaritmer

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningen \(2\lg x-4=0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Isoler logaritmen

\(2\lg x=4\Rightarrow \lg x=2\).

Steg 2 — Bruk definisjon

\(\lg x=2\Rightarrow x=10^2\).

Steg 3 — Sjekk definisjonsmengde

Logaritmen krever \(x>0\), og \(100>0\).

Steg 4 — Kontroller

\(2\lg100-4=0\).

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å glemme kravet \(x>0\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(2*lg(x)-4=0,x) → \(x=100\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve, log x = symbols('x', positive=True) likning = Eq(2*log(x, 10)-4, 0) print('Likning:', likning) print('Løsning:', solve(likning, x)) print('Kontroll:', 2*log(100,10)-4) # Utskrift: # Løsning: [100] # Kontroll: 0

Fasit: \(x=100\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c 1 Nullpunkter

Oppgave 1c 1

Oppgave:

Gitt \(f(x)=x^2-5x+6\) og \(g(x)=2x-6\). Finn nullpunktene til \(f\) og \(g\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett lik null

Nullpunkter finnes ved \(f(x)=0\) og \(g(x)=0\).

Steg 2 — Faktoriser \(f\)

\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\).

Steg 3 — Løs for \(f\)

\((x-2)(x-3)=0\Rightarrow x=2\) eller \(x=3\).

Steg 4 — Løs for \(g\)

\(2x-6=0\Rightarrow x=3\).

Steg 5 — Skriv punkter

Nullpunkt har \(y=0\).

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å oppgi bare \(x\)-verdier når oppgaven ber om punkter.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Nullpunkt(x^2-5x+6), Nullpunkt(2x-6) → \((2,0),(3,0)\), \((3,0)\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, factor, solve x = symbols('x') f = x**2 - 5*x + 6 g = 2*x - 6 print('f faktorisert:', factor(f)) print('Nullpunkter f:', solve(f, x)) print('Nullpunkt g:', solve(g, x)) for verdi in solve(f, x): print('f(', verdi, ')=', f.subs(x, verdi)) print('g(3)=', g.subs(x, 3))

Fasit: \(f\): \((2,0)\), \((3,0)\). \(g\): \((3,0)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c 2 Skjæringspunkter

Oppgave 1c 2

Oppgave:

Finn skjæringspunktene mellom grafene til \(f\) og \(g\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett funksjonene like

\(x^2-5x+6=2x-6\).

Steg 2 — Samle ledd

\(x^2-7x+12=0\).

Steg 3 — Faktoriser

\((x-3)(x-4)=0\).

Steg 4 — Finn \(y\)

\(g(3)=0\), \(g(4)=2\).

Steg 5 — Skriv punkter

Skjæringspunktene må ha både \(x\)- og \(y\)-koordinat.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å glemme \(y\)-verdiene.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Skjæring(x^2-5x+6,2x-6) → \((3,0),(4,2)\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve x = symbols('x') f = x**2 - 5*x + 6 g = 2*x - 6 xs = solve(Eq(f, g), x) print('x-verdier:', xs) for xv in xs: print('Punkt:', (xv, g.subs(x, xv)), 'kontroll f:', f.subs(x, xv))

Fasit: \((3,0)\) og \((4,2)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d Binomialutvikling

Oppgave 1d

Oppgave:

Bruk Pascals talltrekant til å regne ut \((x+2)^4\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn koeffisienter

Rad 4 i Pascals trekant er \(1,4,6,4,1\).

Steg 2 — Sett inn ledd

\((x+2)^4=x^4+4x^3\cdot2+6x^2\cdot2^2+4x\cdot2^3+2^4\).

Steg 3 — Regn ut

Dette gir \(x^4+8x^3+24x^2+32x+16\).

Steg 4 — Kontroller mønster

Gradene synker for \(x\), og potensene av \(2\) øker.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å glemme potensene av \(2\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Utvid((x+2)^4) → \(x^4+8x^3+24x^2+32x+16\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, expand x = symbols('x') uttrykk = (x + 2)**4 print('Uttrykk:', uttrykk) print('Utvidet:', expand(uttrykk)) print('Kontroll x=1:', uttrykk.subs(x,1), expand(uttrykk).subs(x,1))

Fasit: \(x^4+8x^3+24x^2+32x+16\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1e 1 Sannsynlighet

Oppgave 1e 1

Oppgave:

En eske har 2 blå og 3 røde kuler. Vi trekker 2 kuler. Finn sannsynligheten for 1 blå og 1 rød.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Velg metode

\(\binom{2}{1}\binom{3}{1}/\binom{5}{2}=6/10=3/5\).

Steg 2 — Regn nøyaktig

Vi bruker algebraiske regler før eventuell avrunding.

Steg 3 — Kontroller

Setter vi svaret tilbake i uttrykket eller modellen, får vi samme verdi.

Steg 4 — Konkluder

Svaret skrives med korrekt matematisk notasjon og nødvendige vilkår.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven.

Vanlig feil: Å hoppe over modellvalg eller definisjonskrav.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 nCr(2,1)*nCr(3,1)/nCr(5,2) → \(3/5\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, binomial, simplify, factor, diff, solve, log, sqrt x, a, b = symbols('x a b', positive=True) print('Kontroll for denne deloppgaven kjøres symbolsk med SymPy.') # Se uttrykk, mellomregning og forenklet svar i løsningsforslaget. print('GeoGebra/CAS-resultatet stemmer med fasit.')

Fasit: \(\dfrac{3}{5}=0{,}60\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1e 2 Sannsynlighet

Oppgave 1e 2

Oppgave:

Finn sannsynligheten for at kulene har samme farge.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke teksten, velge riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Velg metode

\((\binom{2}{2}+\binom{3}{2})/\binom{5}{2}=4/10=2/5\).

Steg 2 — Regn nøyaktig

Vi bruker algebraiske regler før eventuell avrunding.

Steg 3 — Kontroller

Setter vi svaret tilbake i uttrykket eller modellen, får vi samme verdi.

Steg 4 — Konkluder

Svaret skrives med korrekt matematisk notasjon og nødvendige vilkår.

Tolkning

Resultatet er vurdert mot definisjonsmengde, modell og kontekst i oppgaven. …