Matematikk S1 Eksamen våren 2022 (LK20) – løsningsforslag

Matematikk S1 - vår 2022 LK20

Komplett løsningsforslag til REA3060 Matematikk S1. Løsningene er skrevet på bokmål, med presis matematisk notasjon, tydelige mellomregninger, Python-kontroller og GeoGebra CAS-linjer der digitale verktøy er relevante.

Udir-sett: S1_V22_LK20.pdf Del 1 uten hjelpemidler Del 2 med hjelpemidler ifingo premium-format MathJax: \(...\) og \[...\] Ingen dollartegn i matematikk Nøytral Python-kodevisning Ingen varme highlight-farger

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Potensregning

Oppgave 1

Oppgave:

Skriv uttrykket så enkelt som mulig.

\[(2a)^{-1}\cdot\left(\frac{b}{2}\right)^{-3}\cdot (ab)^3\] Vis løsning Løsning:

Vi bruker potensreglene \(u^{-n}=\frac{1}{u^n}\), \((ab)^n=a^n b^n\) og at like faktorer kan forkortes.

\[(2a)^{-1}=\frac{1}{2a},\qquad \left(\frac{b}{2}\right)^{-3}=\left(\frac{2}{b}\right)^3=\frac{8}{b^3}\] \[\frac{1}{2a}\cdot\frac{8}{b^3}\cdot a^3b^3=\frac{8a^3b^3}{2ab^3}=4a^2\]

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify a, b = symbols("a b", nonzero=True) uttrykk = (2*a)**(-1) * (b/2)**(-3) * (a*b)**3 forenklet = simplify(uttrykk) print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk) print("Forenklet uttrykk:", forenklet) print("Kontroll med a=3, b=5:", uttrykk.subs({a: 3, b: 5}), forenklet.subs({a: 3, b: 5})) # Utskrift: # Opprinnelig uttrykk: a**2*4 # Forenklet uttrykk: 4*a**2 # Kontroll med a=3, b=5: 36 36

GeoGebra CAS / digital kontroll 1 Simplify((2a)^(-1)*(b/2)^(-3)*(a*b)^3) 2 4 a^2 Fasit: \(4a^2\) Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Derivasjon og praktisk tolkning

Oppgave 2

Oppgave:

En fabrikk produserer strikkeluer. Dersom fabrikken produserer \(x\) luer en dag, er produksjonskostnaden per lue

\[E(x)=0{,}2x+40+\frac{20\,000}{x}\]

Bestem \(E\prime(100)\). Hva forteller dette tallet?

Vis løsning Løsning:

Vi deriverer ledd for ledd.

\[E\prime(x)=0{,}2-\frac{20\,000}{x^2}\]

Setter vi inn \(x=100\), får vi

\[E\prime(100)=0{,}2-\frac{20\,000}{100^2}=0{,}2-2=-1{,}8\]

Tallet betyr at når produksjonen er omtrent 100 luer per dag, vil kostnaden per lue avta med omtrent \(1{,}80\) kroner hvis produksjonen økes med én lue.

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, Rational x = symbols("x", positive=True) E = Rational(1, 5)*x + 40 + 20000/x E_derivert = diff(E, x) verdi = E_derivert.subs(x, 100) print("E(x) =", E) print("E'(x) =", E_derivert) print("E'(100) =", verdi) print("Desimaltall:", float(verdi)) # Utskrift: # E(x) = x/5 + 40 + 20000/x # E'(x) = 1/5 - 20000/x**2 # E'(100) = -9/5 # Desimaltall: -1.8

GeoGebra CAS / digital kontroll 1 Derivative(0.2 x + 40 + 20000/x) 2 0.2 - 20000/x^2 3 Substitute(x=100) 4 -1.8 Fasit: \(E\prime(100)=-1{,}8\). Kostnaden per lue synker da med ca. \(1{,}80\) kroner per ekstra lue. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Grenseverdi

Oppgave 3

Oppgave:

Bestem grenseverdien.

\[\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{x^2+x-12}\] Vis løsning Løsning:

Nevneren faktoriseres:

\[x^2+x-12=(x+4)(x-3)\]

For \(x\neq3\) kan vi forkorte faktoren \(x-3\):

\[\frac{x-3}{(x+4)(x-3)}=\frac{1}{x+4}\]

Dermed blir grenseverdien

\[\lim_{x\to3}\frac{1}{x+4}=\frac{1}{7}\]

Python-kontroll

from sympy import symbols, limit, factor x = symbols("x") uttrykk = (x - 3)/(x**2 + x - 12) nevner_faktorisert = factor(x**2 + x - 12) grenseverdi = limit(uttrykk, x, 3) print("Nevner faktorisert:", nevner_faktorisert) print("Grenseverdi:", grenseverdi) print("Desimalkontroll:", float(grenseverdi)) # Utskrift: # Nevner faktorisert: (x - 3)*(x + 4) # Grenseverdi: 1/7 # Desimalkontroll: 0.14285714285714285

GeoGebra CAS / digital kontroll 1 Limit((x-3)/(x^2+x-12), x, 3) 2 1/7 Fasit: \(\frac{1}{7}\) Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Eksponentiallikning

Oppgave 4

Oppgave:

Løs likningen.

\[e^{2x}-e^x=2\] Vis løsning Løsning:

Sett \(u=e^x\). Da er \(e^{2x}=(e^x)^2=u^2\), og likningen blir

\[u^2-u=2\quad\Longleftrightarrow\quad u^2-u-2=0\] \[(u-2)(u+1)=0\]

Siden \(u=e^x>0\), kan vi ikke bruke \(u=-1\). Derfor er \(e^x=2\), og

\[x=\ln 2\]

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, solve, log, simplify x = symbols("x") likning = exp(2*x) - exp(x) - 2 losninger = solve(likning, x) kontroll = [simplify(exp(2*s) - exp(s)) for s in losninger] print("Løsninger:", losninger) print("Kontroll av venstresiden:", kontroll) print("ln(2) som desimaltall:", float(log(2))) # Utskrift: # Løsninger: [log(2)] # Kontroll av venstresiden: [2] # ln(2) som desimaltall: 0.6931471805599453

GeoGebra CAS / digital kontroll 1 Solve(e^(2x)-e^x=2, x) 2 x = ln(2) Fasit: \(x=\ln 2\) Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5 Logaritmer

Oppgave 5

Oppgave:

Vi har gitt likningen

\[\lg(x+3)+\lg x=\lg a\]

Bestem \(a\) slik at \(x=7\) er en løsning av likningen.

Vis løsning Løsning:

Vi setter \(x=7\) inn i venstresiden:

\[\lg(7+3)+\lg7=\lg10+\lg7\]

Summen av logaritmer blir logaritmen til produktet:

\[\lg10+\lg7=\lg(10\cdot7)=\lg70\]

Da må \(\lg a=\lg70\), og dermed er \(a=70\). …