Matematikk S1 Eksamen våren 2020 (REA3022) – løsningsforslag

Matematikk S1 - vår 2020 REA3022

Komplett, gjennomarbeidet løsningsforslag på bokmål. Løsningen viser både manuell regning, kontroll med Python og GeoGebra/CAS-lik dokumentasjon der det er relevant. Matematikken er skrevet i MathJax-format uten dollar-tegn.

Del 1Del 2Sluttkontroll

Del 1

Del 1 · Oppgave 1a Andregradslikning

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs likningen \(x^2=2x+8\).

Vis løsning

Flytt alle ledd til én side:

\[x^2-2x-8=0\]

Vi faktoriserer fordi to tall med produkt \(-8\) og sum \(-2\) er \(-4\) og \(2\):

\[(x-4)(x+2)=0\]

Nullproduktregelen gir \(x-4=0\) eller \(x+2=0\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, factor x = symbols('x') likning = Eq(x**2, 2*x + 8) standardform = x**2 - 2*x - 8 print('Standardform:', standardform) print('Faktorisert:', factor(standardform)) print('Løsninger:', solve(likning, x)) # Utskrift: # Standardform: x**2 - 2*x - 8 # Faktorisert: (x - 4)*(x + 2) # Løsninger: [-2, 4]

GeoGebra CAS / kontroll 1 Solve[x^2 = 2x + 8, x] {x = -2, x = 4} Fasit: \(x=4\) eller \(x=-2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Logaritmelikning

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningen \(\lg(3x+4)=1\).

Vis løsning

Når \(\lg(A)=1\), må \(A=10^1=10\). Derfor får vi

\[3x+4=10\]

\[3x=6\]

\[x=2\]

Definisjonsmengden krever \(3x+4>0\), altså \(x>-\frac{4}{3}\). Løsningen \(x=2\) er derfor gyldig.

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, log x = symbols('x') # lg betyr logaritme med grunntall 10. likning = Eq(log(3*x + 4, 10), 1) losning = solve(likning, x) print('Løsning:', losning) for verdi in losning: print('Kontroll, 3x+4 =', 3*verdi + 4) print('lg(3x+4) =', log(3*verdi + 4, 10)) # Utskrift: # Løsning: [2] # Kontroll, 3x+4 = 10 # lg(3x+4) = 1

GeoGebra CAS / kontroll 1 Solve[log(10, 3x + 4) = 1, x] x = 2 Fasit: \(x=2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Potenser

Oppgave 2a

Oppgave:

Skriv uttrykket så enkelt som mulig:

\[\frac{18b^4\cdot (ab^{-1})^3}{(3ab^2)^3}\]

Vis løsning

Først bruker vi potensreglene:

\[(ab^{-1})^3=a^3b^{-3}\]

Telleren blir da \(18b^4\cdot a^3b^{-3}=18a^3b\).

Nevneren blir

\[(3ab^2)^3=27a^3b^6\]

Dermed:

\[\frac{18a^3b}{27a^3b^6}=\frac{2}{3b^5}\]

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify a, b = symbols('a b', nonzero=True) uttrykk = 18*b**4*(a*b**(-1))**3 / (3*a*b**2)**3 print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk) print('Forenklet uttrykk:', simplify(uttrykk)) # Utskrift: # Opprinnelig uttrykk: 2/(3*b**5) # Forenklet uttrykk: 2/(3*b**5)

GeoGebra CAS / kontroll 1 Simplify[18*b^4*(a*b^(-1))^3/(3*a*b^2)^3] 2/(3*b^5) Fasit: \(\frac{2}{3b^5}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Logaritmeregler

Oppgave 2b

Oppgave:

Skriv uttrykket så enkelt som mulig:

\[\lg(2a)+\lg(5a)-\lg a-\lg\left(\frac{a}{10^3}\right)\]

Vis løsning

Vi samler logaritmene:

\[\lg(2a)+\lg(5a)=\lg(10a^2)\]

Deretter trekker vi fra:

\[\lg(10a^2)-\lg a-\lg\left(\frac{a}{10^3}\right)\]

Dette tilsvarer

\[\lg\left(\frac{10a^2}{a\cdot \frac{a}{10^3}}\right)=\lg(10^4)=4\]

Uttrykket er definert for \(a>0\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, simplify a = symbols('a', positive=True) uttrykk = log(2*a,10) + log(5*a,10) - log(a,10) - log(a/10**3,10) print('Uttrykk:', uttrykk) print('Forenklet:', simplify(uttrykk)) # Utskrift: # Uttrykk: -log(a/1000)/log(10) + log(5*a)/log(10) + log(2*a)/log(10) - log(a)/log(10) # Forenklet: 4

GeoGebra CAS / kontroll 1 Simplify[lg(2a)+lg(5a)-lg(a)-lg(a/10^3)] 4 Fasit: \(4\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Pascals talltrekant

Oppgave 3

Oppgave:

Et utsnitt av Pascals talltrekant viser tre nabotall \(y+42\), \(x\), \(y\) i en rad. Under dem står \(2x\) under de to første og \(210\) under de to siste. Sett opp et likningssystem og bestem \(x\) og \(y\).

Vis løsning

I Pascals talltrekant er hvert tall summen av de to tallene rett over. Derfor får vi

\[(y+42)+x=2x\]

og

\[x+y=210\]

Den første likningen gir \(x-y=42\). Vi løser systemet:

\[\begin{aligned}x-y&=42\\x+y&=210\end{aligned}\]

Adderer vi likningene, får vi \(2x=252\), altså \(x=126\). Da blir \(y=210-126=84\).

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve x, y = symbols('x y') likninger = [Eq((y + 42) + x, 2*x), Eq(x + y, 210)] print('Likningssystem:') for likning in likninger: print(' ', likning) print('Løsning:', solve(likninger, (x, y))) # Utskrift: # Likningssystem: # Eq(x + y + 42, 2*x) # Eq(x + y, 210) # Løsning: {x: 126, y: 84}

GeoGebra CAS / kontroll 1 Solve[{y+42+x=2x, x+y=210},{x,y}] {x=126, y=84} Fasit: \(x=126\) og \(y=84\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4a Kombinatorikk

Oppgave 4a

Oppgave:

Per har 8 bøker og skal legge 3 bøker i sekken. Hvor mange kombinasjoner kan han velge?

Vis løsning

Rekkefølgen på bøkene spiller ingen rolle. Derfor bruker vi kombinasjoner:

\[\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56\]

Python-kontroll

from math import comb antall_boker = 8 antall_valgt = 3 kombinasjoner = comb(antall_boker, antall_valgt) print('Antall kombinasjoner = C(8,3) =', kombinasjoner) # Utskrift: # Antall kombinasjoner = C(8,3) = 56

GeoGebra CAS / kontroll 1 nCr(8,3) 56 Fasit: Per kan velge \(56\) ulike kombinasjoner. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4b Hypergeometrisk sannsynlighet

Oppgave 4b

Oppgave:

Per tar tilfeldig med 4 av 8 bøker. Hva er sannsynligheten for at han har med alle de 3 riktige bøkene?

Vis løsning

Det finnes \(\binom{8}{4}=70\) mulige utvalg av 4 bøker. For å få alle de 3 riktige må han velge alle de riktige og én av de 5 andre:

\[\binom{3}{3}\binom{5}{1}=5\]

Sannsynligheten blir

\[\frac{5}{70}=\frac{1}{14}\approx0{,}0714\] …