Matematikk S1 Eksamen høsten 2013 – løsningsforslag

Matematikk S1 eksamen Høst 2013 – løsningsforslag

Fullstendig, originalt løsningsforslag på bokmål. Del 1 og Del 2 er skilt, og hver deloppgave har plan, regning, tolkning, vanlig feil og digital kontroll.

REA3026 Høst 2013 Matematikk S1 ifingo

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Derivasjon

Oppgave 1

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=3x^2-3x+1\), \(D_f=\mathbb{R}\). Bestem \(f'(2)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne den momentane vekstfarten når \(x=2\).

Steg 1 — Deriver ledd for ledd

\[(3x^2)'=6x,\qquad (-3x)'=-3,\qquad 1'=0\]

Steg 2 — Skriv den deriverte

\[f'(x)=6x-3\]

Steg 3 — Sett inn \(x=2\)

\[f'(2)=6\cdot2-3=9\]

Steg 4 — Kontroller betydningen

Verdien er stigningstallet til tangenten ved \(x=2\), ikke funksjonsverdien.

Steg 5 — Digital kontroll

CAS gir samme verdi.

Tolkning

Grafen har momentan vekstfart \(9\) når \(x=2\).

Vanlig feil: Å regne ut \(f(2)\) i stedet for \(f'(2)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Derivert(3*x^2-3*x+1) → \(6x-3\) 2 SettInn(6*x-3,x,2) → \(9\)

Python

from sympy import symbols, diff x = symbols('x') f = 3*x**2 - 3*x + 1 print(diff(f, x).subs(x, 2))

Fasit: \(f'(2)=9\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Andregradslikning

Oppgave 2a

Oppgave:

Løs likningen \(x(x+5)-10=4\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse en andregradslikning ved regning.

Steg 1 — Gang ut

\[x(x+5)-10=x^2+5x-10\]

Steg 2 — Samle alt på én side

\[x^2+5x-10=4\quad\Rightarrow\quad x^2+5x-14=0\]

Steg 3 — Faktoriser

\[x^2+5x-14=(x+7)(x-2)\]

Steg 4 — Bruk nullproduktregelen

\[(x+7)(x-2)=0\]

Steg 5 — Løs faktorene

\[x=-7\quad\text{eller}\quad x=2\]

Tolkning

Begge verdier gjør venstre side lik \(4\).

Vanlig feil: Å faktorisere før \(4\) er flyttet til venstre side.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(x*(x+5)-10=4) → \(x=-7\lor x=2\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve x = symbols('x') print(solve(Eq(x*(x+5)-10, 4), x))

Fasit: \(x=-7\) eller \(x=2\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Eksponentiallikning

Oppgave 2b

Oppgave:

Løs likningen \(10^{3x}-100000=0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at begge sider kan skrives som potenser med grunntall \(10\).

Steg 1 — Isoler potensen

\[10^{3x}=100000\]

Steg 2 — Skriv \(100000\) som potens

\[100000=10^5\]

Steg 3 — Sammenlikn eksponenter

\[3x=5\]

Steg 4 — Løs

\[x=\dfrac{5}{3}\]

Steg 5 — Kontroll

\[10^{3\cdot(5/3)}=10^5=100000\]

Tolkning

Eksponenten \(3x\) må være \(5\).

Vanlig feil: Å skrive \(100000=10^4\); tallet har fem nuller.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(10^(3*x)-100000=0) → \(x=\dfrac{5}{3}\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve x = symbols('x') print(solve(Eq(10**(3*x)-100000, 0), x))

Fasit: \(x=\dfrac{5}{3}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Likningssystem

Oppgave 3

Oppgave:

Løs likningssettet ved regning \[\left\{\begin{aligned}y&=x^2+2\\ y+x^2&=4\end{aligned}\right.\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne skjæringspunktene mellom to kurver.

Steg 1 — Bruk innsetting

Fra første likning er \(y=x^2+2\).

Steg 2 — Sett inn i andre likning

\[(x^2+2)+x^2=4\]

Steg 3 — Løs for \(x\)

\[2x^2+2=4\quad\Rightarrow\quad x^2=1\quad\Rightarrow\quad x=\pm1\]

Steg 4 — Finn \(y\)

\[y=1^2+2=3\]

Steg 5 — Skriv punktene

\[(-1,3)\quad\text{og}\quad(1,3)\]

Tolkning

Likningssettet har to løsninger.

Vanlig feil: Å glemme den negative løsningen når \(x^2=1\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs({y=x^2+2, y+x^2=4},{x,y}) → \((-1,3),(1,3)\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve x, y = symbols('x y') print(solve([Eq(y, x**2 + 2), Eq(y + x**2, 4)], [x, y]))

Fasit: \((x,y)=(-1,3)\) eller \((x,y)=(1,3)\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4a Formelomforming

Oppgave 4a

Oppgave:

En bevegelse foregår langs en rett linje. Startfarten var \(v_0\), og akselerasjonen er konstant lik \(a\). Etter tida \(t\) er farten \(v\) blitt \(v=v_0+at\). Bestem en formel for \(t\) uttrykt ved \(v\), \(v_0\) og \(a\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal isolere \(t\).

Steg 1 — Start med formelen

\[v=v_0+at\]

Steg 2 — Flytt \(v_0\)

\[v-v_0=at\]

Steg 3 — Del på \(a\)

\[t=\dfrac{v-v_0}{a}\]

Steg 4 — Vilkår

Dette krever \(a\ne0\).

Steg 5 — Kontroll

Setter vi uttrykket inn igjen, får vi \(v_0+a\cdot\dfrac{v-v_0}{a}=v\).

Tolkning

Tiden er fartsendring delt på akselerasjon.

Vanlig feil: Å bytte rekkefølgen og få \(v_0-v\) i telleren. Fasit: \(t=\dfrac{v-v_0}{a}\), \(a\ne0\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4b Formelbruk

Oppgave 4b

Oppgave:

Hvor lang tid tar det før farten \(v\) er blitt \(25\) når akselerasjonen \(a=3\) og startfarten \(v_0=1\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi setter tallene inn i formelen fra a.

Steg 1 — Bruk formelen

\[t=\dfrac{v-v_0}{a}\]

Steg 2 — Sett inn

\[t=\dfrac{25-1}{3}\]

Steg 3 — Regn telleren

\[25-1=24\]

Steg 4 — Del

\[t=\dfrac{24}{3}=8\]

Steg 5 — Kontroll

\[1+3\cdot8=25\]

Tolkning

Det tar \(8\) tidsenheter.

Vanlig feil: Å bruke \(25+1\) i stedet for fartsendringen \(25-1\). Fasit: \(t=8\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5a Potensregning

Oppgave 5a

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig \(\dfrac{9^2\cdot a^2\cdot b^3}{(3ab^2)^2}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forenkle en brøk med potenser.

Steg 1 — Regn tallpotensene

\[9^2=81\]

Steg 2 — Kvadrer nevneren

\[(3ab^2)^2=9a^2b^4\]

Steg 3 — Sett inn

\[\dfrac{81a^2b^3}{9a^2b^4}\]

Steg 4 — Forkort

\[\dfrac{81}{9}=9,\qquad \dfrac{a^2}{a^2}=1,\qquad \dfrac{b^3}{b^4}=\dfrac{1}{b}\]

Steg 5 — Skriv svaret

\[\dfrac{9}{b}\]

Tolkning

Uttrykket gjelder når nevneren ikke er null.

Vanlig feil: Å ikke kvadrere hele nevneren.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle(9^2*a^2*b^3/(3*a*b^2)^2) → \(\dfrac{9}{b}\)

Python

from sympy import symbols, simplify a, b = symbols('a b') print(simplify(9**2*a**2*b**3/(3*a*b**2)**2))

Fasit: \(\dfrac{9}{b}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5b Logaritmer

Oppgave 5b

Oppgave:

Vis at \(\lg\left(\dfrac{a^2}{b^2}\right)+\lg\left(\dfrac{b^2}{a}\right)+\lg(a+b)=\lg(a^2+ab)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke logaritmereglene til å samle venstre side.

Steg 1 — Bruk produktregelen

\[\lg u+\lg v+\lg w=\lg(uvw)\]

Steg 2 — Samle venstre side

\[\lg\left(\dfrac{a^2}{b^2}\cdot\dfrac{b^2}{a}\cdot(a+b)\right)\]

Steg 3 — Forkort produktet

\[\dfrac{a^2}{b^2}\cdot\dfrac{b^2}{a}=a\]

Steg 4 — Multipliser resten

\[a(a+b)=a^2+ab\]

Steg 5 — Konkluder

\[\lg\left(\dfrac{a^2}{b^2}\right)+\lg\left(\dfrac{b^2}{a}\right)+\lg(a+b)=\lg(a^2+ab)\]

Tolkning

Likheten gjelder når alle logaritmene er definert. …