Matematikk S1 Eksamen høsten 2024 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk S1 · LK20

Matematikk S1 eksamen Høst 2024 – løsningsforslag

Komplett originalt løsningsforslag på bokmål. Alle deloppgaver er transkribert, løst trinnvis og kontrollert med GeoGebra CAS og/eller Python. Python-feltene bruker nøytral, original kodevisning uten rosa/lilla highlight.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 løses med algebra, derivasjon, eksponentiallikninger, grenseverdi, kombinatorikk og grafisk resonnering. Del 1 · Oppgave 1 Derivasjon og kvotientregel

Oppgave 1

Oppgave:

Deriver funksjonen \[f(x)=\dfrac{e^{2x}}{x}\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Identifiser struktur

Funksjonen er en brøk med teller \(u=e^{2x}\) og nevner \(v=x\). Derfor er kvotientregelen en trygg metode.

Steg 2 — Deriver teller og nevner

Vi får \(u^{\prime}=2e^{2x}\) ved kjerneregelen og \(v^{\prime}=1\).

Steg 3 — Bruk kvotientregelen

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}=\dfrac{2e^{2x}\cdot x-e^{2x}\cdot1}{x^2}.\]

Steg 4 — Faktoriser telleren

\[2xe^{2x}-e^{2x}=e^{2x}(2x-1).\]

Steg 5 — Skriv svaret samlet

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}.\]

Tolkning

Den deriverte forteller momentant vekst for funksjonen. Uttrykket gjelder for \(x\ne0\), siden funksjonen ikke er definert i \(x=0\).

Vanlig feil: Å derivere \(e^{2x}\) som \(e^{2x}\) i stedet for \(2e^{2x}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Derivert(e^(2*x)/x,x) → \(\dfrac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, simplify, factor x = symbols('x') f = exp(2*x)/x f_derivert = diff(f, x) fasit = exp(2*x)*(2*x - 1)/x**2 print("Funksjonen f(x):", f) print("Derivert direkte med sympy:", f_derivert) print("Forenklet derivert:", simplify(f_derivert)) print("Faktorisert form:", factor(f_derivert)) print("Kontroll f_derivert - fasit:", simplify(f_derivert - fasit)) print("Definisjonsmengde: x må være ulik 0")

Fasit: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Algoritme og andregradsfunksjon

Oppgave 2

Oppgave:

Bruk en egnet strategi til å bestemme verdien som skrives ut når programmet nedenfor kjøres.

def O(x): return -0.1*x**2 + 2000*x - 50000 x = 0 while O(x + 1) > O(x): x = x + 1 print(x)

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Forstå løkka

Løkka øker \(x\) så lenge \(O(x+1)>O(x)\). Det betyr at programmet går videre så lenge funksjonsverdien øker når \(x\) økes med 1.

Steg 2 — Finn differansen

\[O(x+1)-O(x)=-0{,}1((x+1)^2-x^2)+2000.\]

Steg 3 — Forenkle differansen

Siden \((x+1)^2-x^2=2x+1\), får vi \[O(x+1)-O(x)=1999{,}9-0{,}2x.\]

Steg 4 — Finn når løkka fortsatt kjører

Løkka kjører så lenge \[1999{,}9-0{,}2x>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<9999{,}5.\]

Steg 5 — Bruk heltallslogikken

Når \(x=9999\), er differansen positiv, så programmet øker til \(10000\). Når \(x=10000\), er differansen negativ, så løkka stopper.

Steg 6 — Les av utskriften

Derfor blir verdien som skrives ut \(10000\).

Tolkning

Programmet finner heltallsverdien der funksjonen ikke lenger øker når vi går ett steg videre.

Vanlig feil: Å løse \(O^{\prime}(x)=0\) og svare \(10000\) uten å kontrollere den diskrete testen \(O(x+1)>O(x)\). Her stemmer svaret, men begrunnelsen må passe programmet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle((-0.1*(x+1)^2+2000*(x+1)-50000)-(-0.1*x^2+2000*x-50000)) → \(1999{,}9-0{,}2x\) 2 Løs(1999.9-0.2*x>0,x) → \(x<9999{,}5\)

Python-kontroll

def O(x): return -0.1*x**2 + 2000*x - 50000 x = 0 antall_runder = 0 print("Startverdi x:", x) print("O(0):", O(0)) print("O(1):", O(1)) print("O(1) > O(0):", O(1) > O(0)) while O(x + 1) > O(x): if x in [0, 1, 9998, 9999, 10000]: print(f"Før økning: x={x}, O(x+1)-O(x)={O(x+1)-O(x):.4f}") x = x + 1 antall_runder = antall_runder + 1 print("Antall ganger løkka kjørte:", antall_runder) print("Stoppverdi x:", x) print("O(x+1)-O(x) ved stopp:", O(x + 1) - O(x)) print("Utskrift fra programmet:", x)

Fasit: Programmet skriver ut \(10000\). (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Eksponentiallikning

Oppgave 3

Oppgave:

Løs likningen \[100^x-3\cdot10^x=4\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Gjør om til samme grunntall

Siden \(100^x=(10^2)^x=10^{2x}\), kan likningen skrives med \(10^x\).

Steg 2 — Sett en ny variabel

La \(u=10^x\). Da er \(10^{2x}=u^2\).

Steg 3 — Løs andregradslikningen

Likningen blir \[u^2-3u=4\quad\Longleftrightarrow\quad u^2-3u-4=0.\]

Steg 4 — Faktoriser

\[u^2-3u-4=(u-4)(u+1).\] Dermed er \(u=4\) eller \(u=-1\).

Steg 5 — Forkast umulig løsning

Siden \(u=10^x\) alltid er positiv, kan vi ikke ha \(u=-1\). Derfor må \(10^x=4\).

Steg 6 — Ta logaritme

\[x=\lg4.\]

Tolkning

Løsningen er eksakt \(\lg4\), omtrent \(0{,}602\).

Vanlig feil: Å beholde \(u=-1\) som løsning. Et eksponentialuttrykk med grunntall 10 kan aldri bli negativt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(100^x-3*10^x=4,x) → \(x=\lg(4)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, log, N, simplify x, u = symbols('x u') likning_u = Eq(u**2 - 3*u, 4) los_u = solve(likning_u, u) print("Likning i u:", likning_u) print("Løsninger for u:", los_u) print("Bare positive u-verdier kan være 10^x") x_losning = log(4, 10) kontroll = 100**x_losning - 3*10**x_losning print("Eksakt x:", x_losning) print("Desimalverdi x:", N(x_losning)) print("Venstre side satt inn:", simplify(kontroll)) print("Høyre side:", 4) print("Kontroll venstre - høyre:", simplify(kontroll - 4))

Fasit: \(x=\lg4\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Grenseverdi

Oppgave 4

Oppgave:

Finn grenseverdien hvis den eksisterer. \[\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2+x-12}{2x^2-18}\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Se på graden i teller og nevner

Både teller og nevner har høyeste grad \(2\). Da bestemmes grenseverdien av koeffisientene foran \(x^2\).

Steg 2 — Del alle ledd på \(x^2\)

\[\dfrac{x^2+x-12}{2x^2-18}=\dfrac{1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{12}{x^2}}{2-\dfrac{18}{x^2}}.\]

Steg 3 — Bruk at småbrøkene går mot null

Når \(x\to\infty\), går \(\dfrac{1}{x}\), \(\dfrac{12}{x^2}\) og \(\dfrac{18}{x^2}\) mot 0.

Steg 4 — Ta grensen

\[\lim_{x\to\infty}\dfrac{1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{12}{x^2}}{2-\dfrac{18}{x^2}}=\dfrac{1}{2}.\]

Steg 5 — Kontroller at nevneren ikke går mot null

Nevneruttrykket etter deling går mot \(2\), så grenseverdien eksisterer.

Tolkning

For store \(x\)-verdier vil brøken ligge nær \(0{,}5\).

Vanlig feil: Å sette inn \(x=\infty\) direkte. Man må bruke leddene med høyest grad eller dele på \(x^2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Grenseverdi((x^2+x-12)/(2*x^2-18),x,∞) → \(\dfrac{1}{2}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, limit, oo, simplify x = symbols('x') uttrykk = (x**2 + x - 12)/(2*x**2 - 18) grense = limit(uttrykk, x, oo) print("Uttrykk:", uttrykk) print("Grenseverdi når x går mot uendelig:", grense) print("Desimalkontroll for store x-verdier:") for verdi in [10, 100, 1000, 10000]: print(f"x={verdi:5d}: verdi ≈ {float(uttrykk.subs(x, verdi)):.8f}") print("Kontroll mot 1/2:", simplify(grense - 1/2))

Fasit: \(\dfrac{1}{2}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5a Kombinatorikk og sannsynlighet

Oppgave 5a

Oppgave:

I en kasse ligger det 4 røde, 3 blå og 2 gule kuler. Audun tar tilfeldig to kuler fra kassen. Bestem sannsynligheten for at han tar to kuler med samme farge.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en matematisk metode som passer, vise regningen trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Finn totalt antall måter

Det er \(4+3+2=9\) kuler totalt. To kuler uten rekkefølge kan velges på \(\binom{9}{2}=36\) måter.

Steg 2 — Tell to røde

Antall måter å trekke to røde på er \(\binom{4}{2}=6\).

Steg 3 — Tell to blå

Antall måter å trekke to blå på er \(\binom{3}{2}=3\).

Steg 4 — Tell to gule

Antall måter å trekke to gule på er \(\binom{2}{2}=1\).

Steg 5 — Lag sannsynligheten

Gunstige trekk er \(6+3+1=10\). Derfor er \[P=\dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18}.\]

Tolkning

Sannsynligheten for samme farge er \(\dfrac{5}{18}\), litt under en tredel. …