Matematikk S1 Eksamen høsten 2025 – løsningsforslag

Matematikk S1 eksamen Høst 2025 LK20 – løsningsforslag

Komplett ifingo-løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave har transkribert oppgavetekst, trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll og Python-kontroll med realistisk utskrift.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave (5 poeng):

Deriver funksjonen \(f\) gitt ved

\[f(x)=\dfrac{1}{3}x^3+x+2\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt uten å hoppe over begrunnelser.

Steg 1 — Les funksjonen ledd for ledd

Funksjonen består av et tredjegradsledd, et førstegradsledd og en konstant. Vi kan derivere hvert ledd separat.

Steg 2 — Bruk potensregelen

Potensregelen gir \(\left(\dfrac{1}{3}x^3\right)^{\prime}=\dfrac{1}{3}\cdot 3x^2=x^2\).

Steg 3 — Deriver de andre leddene

Videre er \((x)^{\prime}=1\) og \((2)^{\prime}=0\), fordi en konstant har derivert lik null.

Steg 4 — Sett leddene sammen

Dermed får vi \[f^{\prime}(x)=x^2+1+0=x^2+1.\]

Tolkning

Den deriverte er positiv for alle \(x\), siden \(x^2\ge 0\). Grafen til \(f\) er derfor voksende overalt.

Vanlig feil: Å glemme koeffisienten \(\dfrac{1}{3}\), eller å derivere konstantleddet som om det var et variabelledd.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Derivert(1/3*x^3+x+2) → \(x^2+1\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, Rational, simplify x = symbols('x') f = Rational(1, 3)*x**3 + x + 2 f_derivert = diff(f, x) kontroll = simplify(f_derivert - (x**2 + 1)) print("f(x) =", f) print("f'(x) =", f_derivert) print("Kontroll mot x**2 + 1:", kontroll)

Utskrift når koden kjøres:

f(x) = x**3/3 + x + 2 f'(x) = x**2 + 1 Kontroll mot x**2 + 1: 0

Fasit: \(f^{\prime}(x)=x^2+1\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Derivasjon av eksponentialuttrykk

Oppgave 1b

Oppgave (5 poeng):

Funksjonen \(g\) er gitt ved

\[g(x)=\dfrac{2x-3}{e^x}\]

Bestem \(g^{\prime}(2)\) og \(g^{\prime}(3)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt uten å hoppe over begrunnelser.

Steg 1 — Skriv funksjonen på en enklere form

Vi skriver \(g(x)=\left(2x-3\right)e^{-x}\). Da kan vi bruke produktregelen.

Steg 2 — Deriver faktorene

La \(u=2x-3\) og \(v=e^{-x}\). Da er \(u^{\prime}=2\) og \(v^{\prime}=-e^{-x}\).

Steg 3 — Bruk produktregelen

\[g^{\prime}(x)=2e^{-x}+\left(2x-3\right)\left(-e^{-x}\right).\]

Steg 4 — Faktoriser uttrykket

\[g^{\prime}(x)=\left(2-2x+3\right)e^{-x}=\left(5-2x\right)e^{-x}.\]

Steg 5 — Sett inn \(x=2\)

\[g^{\prime}(2)=\left(5-4\right)e^{-2}=\dfrac{1}{e^2}.\]

Steg 6 — Sett inn \(x=3\)

\[g^{\prime}(3)=\left(5-6\right)e^{-3}=-\dfrac{1}{e^3}.\]

Vanlig feil: Å bruke kvotientregelen riktig, men miste minustegnet fra den deriverte av \(e^{-x}\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Derivert((2x-3)/exp(x)) → \((5-2x)e^{-x}\) 2 SettInn((5-2x)/exp(x),x,2) → \(e^{-2}\) 3 SettInn((5-2x)/exp(x),x,3) → \(-e^{-3}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, simplify x = symbols('x') g = (2*x - 3)/exp(x) g_derivert = simplify(diff(g, x)) verdi_2 = simplify(g_derivert.subs(x, 2)) verdi_3 = simplify(g_derivert.subs(x, 3)) print("g(x) =", g) print("g'(x) =", g_derivert) print("g'(2) =", verdi_2) print("g'(3) =", verdi_3)

Utskrift når koden kjøres:

g(x) = (2*x - 3)*exp(-x) g'(x) = (5 - 2*x)*exp(-x) g'(2) = exp(-2) g'(3) = -exp(-3)

Fasit: \(g^{\prime}(2)=\dfrac{1}{e^2}\) og \(g^{\prime}(3)=-\dfrac{1}{e^3}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Grafisk tolkning av derivert

Oppgave 1c

Oppgave (5 poeng):

Hva forteller svarene i oppgave b om grafen til \(g\) når \(x\in[2,3]\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt uten å hoppe over begrunnelser.

Steg 1 — Bruk fortegnet til den deriverte

Fra oppgave b har vi \(g^{\prime}(2)>0\) og \(g^{\prime}(3)<0\). Det betyr at grafen stiger ved \(x=2\) og synker ved \(x=3\).

Steg 2 — Finn hvor den deriverte er null

Siden \(g^{\prime}(x)=\left(5-2x\right)e^{-x}\), og \(e^{-x}>0\), får vi \[5-2x=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{5}{2}.\]

Steg 3 — Drøft fortegn

For \(2 0\). For \(\dfrac{5}{2}

Steg 4 — Tolk grafen

Grafen til \(g\) er voksende fram til \(x=\dfrac{5}{2}\) og avtakende etterpå.

Tolkning

På intervallet \([2,3]\) har grafen et toppunkt ved \(x=\dfrac{5}{2}\).

Vanlig feil: Å bare si at grafen går opp og ned, uten å begrunne at den deriverte faktisk skifter fortegn inne i intervallet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs((5-2x)/exp(x)=0) → \(x=\dfrac{5}{2}\) 2 Fortegn((5-2x)/exp(x),2,3) → \(+\;0\;-\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, solve, simplify x = symbols('x') g_derivert = (5 - 2*x)*exp(-x) kritisk = solve(g_derivert, x) venstre = simplify(g_derivert.subs(x, 2)) hoyre = simplify(g_derivert.subs(x, 3)) print("g'(x) =", g_derivert) print("Kritisk punkt i intervallet:", kritisk) print("g'(2) =", venstre, "som er positiv") print("g'(3) =", hoyre, "som er negativ")

Utskrift når koden kjøres:

g'(x) = (5 - 2*x)*exp(-x) Kritisk punkt i intervallet: [5/2] g'(2) = exp(-2) som er positiv g'(3) = -exp(-3) som er negativ

Fasit: Grafen stiger først, har toppunkt ved \(x=\dfrac{5}{2}\), og synker deretter på \([2,3]\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Logaritmelikning

Oppgave 2a

Oppgave (3 poeng):

Løs likningen

\[\left(\lg x\right)^2-2\lg x=8\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt uten å hoppe over begrunnelser.

Steg 1 — Innfør en hjelpevariabel

Sett \(u=\lg x\). Da blir likningen en vanlig andregradslikning.

Steg 2 — Skriv om likningen

\[u^2-2u=8\quad\Rightarrow\quad u^2-2u-8=0.\]

Steg 3 — Faktoriser

\[u^2-2u-8=\left(u-4\right)\left(u+2\right).\]

Steg 4 — Løs for \(u\)

Vi får \(u=4\) eller \(u=-2\).

Steg 5 — Gå tilbake til \(x\)

\(\lg x=4\) gir \(x=10^4\). \(\lg x=-2\) gir \(x=10^{-2}\).

Tolkning

Begge løsningene er gyldige fordi logaritmen er definert for \(x>0\).

Vanlig feil: Å løse for \(\lg x\), men glemme å gjøre om tilbake til \(x\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs((log(10,x))^2-2*log(10,x)=8) → \(x=10^{-2}\lor x=10^4\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, log, simplify x, u = symbols('x u', positive=True) likning_u = Eq(u**2 - 2*u, 8) los_u = solve(likning_u, u) los_x = [10**v for v in los_u] kontroll = [simplify((log(val, 10))**2 - 2*log(val, 10) - 8) for val in los_x] print("Løsninger for u = lg(x):", los_u) print("Løsninger for x:", los_x) print("Kontroll:", kontroll)

Utskrift når koden kjøres:

Løsninger for u = lg(x): [-2, 4] Løsninger for x: [1/100, 10000] Kontroll: [0, 0]

Fasit: \(x=10^4\) eller \(x=10^{-2}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Logaritmebase

Oppgave 2b

Oppgave (3 poeng):

Bestem \(a\) slik at

\[\log_a\left(\dfrac{1}{64}\right)=-3\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt uten å hoppe over begrunnelser.

Steg 1 — Bruk definisjonen av logaritme

Utsagnet \(\log_a\left(\dfrac{1}{64}\right)=-3\) betyr at \(a^{-3}=\dfrac{1}{64}\).

Steg 2 — Skriv med positiv eksponent

\[a^{-3}=\dfrac{1}{a^3}=\dfrac{1}{64}.\]

Steg 3 — Sammenlikn nevnerne

Da må \(a^3=64\).

Steg 4 — Finn basen

\[a=\sqrt[3]{64}=4.\]

Steg 5 — Kontroller logaritmebasen

En logaritmebase må være positiv og ulik 1. \(a=4\) er derfor tillatt.

Vanlig feil: Å skrive \(a=\dfrac{1}{4}\). Da blir \(a^{-3}=64\), ikke \(\dfrac{1}{64}\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(a^(-3)=1/64) → \(a=4\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational, simplify 'a' # bare for å vise at a er variabelnavnet i oppgaven a = symbols('a', positive=True) likning = Eq(a**(-3), Rational(1, 64)) losning = solve(likning, a) kontroll = [simplify(val**(-3) - Rational(1, 64)) for val in losning] print("Likning:", likning) print("Mulige positive løsninger:", losning) print("Kontroll:", kontroll)

Utskrift når koden kjøres:

Likning: Eq(a**(-3), 1/64) Mulige positive løsninger: [4] Kontroll: [0]

Fasit: \(a=4\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Grenseverdi

Oppgave 3a

Oppgave (3 poeng):

Bestem grenseverdien dersom den eksisterer:

\[\lim_{x\to -2}\dfrac{x^2-4x+2}{x^2-2x-8}\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig matematisk modell, regne systematisk og kontrollere svaret digitalt uten å hoppe over begrunnelser.

Steg 1 — Sjekk nevneren

Nevneren er \(x^2-2x-8=\left(x+2\right)\left(x-4\right)\), og blir null når \(x=-2\). …