Matematikk S1 Eksamen våren 2011 – løsningsforslag

Matematikk S1 eksamen vår 2011 – løsningsforslag

Originalt ifingo-løsningsforslag basert på Udir-settet. Del 1 og Del 2 er skilt tydelig, og hver deloppgave har trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a 1 Derivasjon

Oppgave 1a 1

Oppgave:

Vi har funksjonen \(f\left(x\right)=2x^3-5x+2\). Deriver funksjonen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Identifiser leddene

Funksjonen består av et tredjegradsledd, et førstegradsledd og en konstant: \(2x^3\), \(-5x\) og \(2\).

Steg 2 — Bruk potensregelen

For \(2x^3\) får vi \[\left(2x^3\right)^\prime=2\cdot 3x^2=6x^2\]

Steg 3 — Deriver førstegradsleddet

\[\left(-5x\right)^\prime=-5\]

Steg 4 — Deriver konstantleddet

\[2^\prime=0\]

Steg 5 — Sett sammen uttrykket

\[f^\prime\left(x\right)=6x^2-5\]

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Vanlig feil: Å la konstantleddet \(2\) stå igjen etter derivasjon. Konstantledd deriveres til \(0\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Derivert(2x^3-5x+2) → \(6x^2-5\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import * x = symbols('x') f = 2*x**3 - 5*x + 2 fp = diff(f, x) print('f(x) =', f) print("f'(x) =", fp) print('Kontroll: diff(2*x**3 - 5*x + 2, x) =', fp) # Utskrift: # f(x) = 2*x**3 - 5*x + 2 # f'(x) = 6*x**2 - 5 # Kontroll: diff(2*x**3 - 5*x + 2, x) = 6*x**2 - 5

Fasit: \(f^\prime\left(x\right)=6x^2-5\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1a 2 Derivert og tangent

Oppgave 1a 2

Oppgave:

Bestem \(f^\prime\left(1\right)\). Hva forteller svaret deg om grafen til \(f\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk den deriverte

Fra 1) har vi \(f^\prime\left(x\right)=6x^2-5\).

Steg 2 — Sett inn \(x=1\)

\[f^\prime\left(1\right)=6\cdot 1^2-5=1\]

Steg 3 — Finn punktet på grafen

\[f\left(1\right)=2\cdot 1^3-5\cdot 1+2=-1\]

Steg 4 — Tolk den deriverte

Den deriverte er stigningstallet til tangenten i punktet der \(x=1\).

Steg 5 — Beskriv grafen

Grafen går gjennom \(\left(1,-1\right)\), og tangenten der har stigningstall \(1\).

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Vanlig feil: Å tolke \(f^\prime\left(1\right)\) som en \(y\)-verdi. Det er et stigningstall.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 f(x):=2x^3-5x+2 → \(f\left(x\right)=2x^3-5x+2\) 2 Derivert(f)(1) → \(1\) 3 f(1) → \(-1\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import * x = symbols('x') f = 2*x**3 - 5*x + 2 fp = diff(f, x) x0 = 1 y0 = f.subs(x, x0) stigning = fp.subs(x, x0) tangent = expand(y0 + stigning*(x - x0)) print('f(x) =', f) print("f'(x) =", fp) print('Punkt på grafen:', (x0, y0)) print('Stigningstall f'(1) =', stigning) print('Tangent:', tangent) # Utskrift: # f(x) = 2*x**3 - 5*x + 2 # f'(x) = 6*x**2 - 5 # Punkt på grafen: (1, -1) # Stigningstall f'(1) = 1 # Tangent: x - 2

Fasit: \(f^\prime\left(1\right)=1\). Grafen er stigende ved \(x=1\), og tangenten har stigningstall \(1\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Rasjonale uttrykk

Oppgave 1b

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\dfrac{3}{2x+4}-\dfrac{2-x}{3x+6}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Faktoriser nevnerne

\[2x+4=2\left(x+2\right),\qquad 3x+6=3\left(x+2\right)\]

Steg 2 — Finn fellesnevner

En passende fellesnevner er \(6\left(x+2\right)\).

Steg 3 — Utvid første brøk

\[\dfrac{3}{2\left(x+2\right)}=\dfrac{9}{6\left(x+2\right)}\]

Steg 4 — Utvid andre brøk

\[\dfrac{2-x}{3\left(x+2\right)}=\dfrac{2\left(2-x\right)}{6\left(x+2\right)}=\dfrac{4-2x}{6\left(x+2\right)}\]

Steg 5 — Trekk fra tellerne

\[\dfrac{9-\left(4-2x\right)}{6\left(x+2\right)}=\dfrac{5+2x}{6\left(x+2\right)}\]

Steg 6 — Skriv pent

\[\dfrac{2x+5}{6\left(x+2\right)}\] med \(x eq -2\).

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Vanlig feil: Å glemme parentesen når hele den andre telleren skal trekkes fra.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle(3/(2x+4)-(2-x)/(3x+6)) → \(\dfrac{2x+5}{6\left(x+2\right)}\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import * x = symbols('x') uttrykk = 3/(2*x + 4) - (2 - x)/(3*x + 6) forenklet = simplify(uttrykk) print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk) print('Forenklet uttrykk:', factor(forenklet)) print('Definisjonskrav: x != -2') print('Kontroll ved x=1:') print('Opprinnelig =', N(uttrykk.subs(x, 1))) print('Forenklet =', N(forenklet.subs(x, 1))) # Utskrift: # Opprinnelig uttrykk: -(2 - x)/(3*x + 6) + 3/(2*x + 4) # Forenklet uttrykk: (2*x + 5)/(6*(x + 2)) # Definisjonskrav: x != -2 # Kontroll ved x=1: # Opprinnelig = 0.388888888888889 # Forenklet = 0.388888888888889

Fasit: \(\dfrac{2x+5}{6\left(x+2\right)}\), der \(x eq -2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Potensregler

Oppgave 1c

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\dfrac{2^{-1}\cdot a\cdot b^{-1}}{4^{-1}\cdot a^{-2}\cdot b^2}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Skriv tallpotenser som brøker

\[2^{-1}=\dfrac{1}{2},\qquad 4^{-1}=\dfrac{1}{4}\]

Steg 2 — Del tallfaktorene

\[\dfrac{2^{-1}}{4^{-1}}=\dfrac{1/2}{1/4}=2\]

Steg 3 — Del \(a\)-potensene

\[\dfrac{a}{a^{-2}}=a^{1-\left(-2\right)}=a^3\]

Steg 4 — Del \(b\)-potensene

\[\dfrac{b^{-1}}{b^2}=b^{-1-2}=b^{-3}=\dfrac{1}{b^3}\]

Steg 5 — Sett sammen

\[2\cdot a^3\cdot b^{-3}=\dfrac{2a^3}{b^3}\]

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell.

Vanlig feil: Å trekke eksponentene feil når eksponenten i nevneren er negativ.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle((2^(-1)*a*b^(-1))/(4^(-1)*a^(-2)*b^2)) → \(\dfrac{2a^3}{b^3}\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import * a, b = symbols('a b', nonzero=True) uttrykk = (2**(-1)*a*b**(-1))/(4**(-1)*a**(-2)*b**2) forenklet = simplify(uttrykk) print('Opprinnelig uttrykk:', uttrykk) print('Forenklet uttrykk:', forenklet) print('Faktorisert/pen form:', factor(forenklet)) print('Kontroll ved a=2, b=4:') print('Opprinnelig =', N(uttrykk.subs({a:2,b:4}))) print('Forenklet =', N(forenklet.subs({a:2,b:4}))) # Utskrift: # Opprinnelig uttrykk: 2.0*a**3/b**3 # Forenklet uttrykk: 2.0*a**3/b**3 # Faktorisert/pen form: 2.0*a**3/b**3 # Kontroll ved a=2, b=4: # Opprinnelig = 0.250000000000000 # Forenklet = 0.250000000000000

Fasit: \(\dfrac{2a^3}{b^3}\), der \(a eq 0\) og \(b eq 0\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d Logaritmeregler

Oppgave 1d

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\lg\left(a^2b\right)+\lg\left(ab^2\right)+\lg\left(\dfrac{a}{b^3}\right)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge en trygg metode, gjennomføre regningen trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk sumregelen

\[\lg A+\lg B+\lg C=\lg\left(A\cdot B\cdot C\right)\]

Steg 2 — Multipliser argumentene

\[a^2b\cdot ab^2\cdot \dfrac{a}{b^3}=a^{2+1+1}b^{1+2-3}\]

Steg 3 — Forenkle potensene

\[a^{4}b^0=a^4\]

Steg 4 — Skriv som én logaritme

\[\lg\left(a^4\right)\]

Steg 5 — Bruk potensregelen

\[\lg\left(a^4\right)=4\lg a\]

Tolkning

Svaret må tolkes i sammenheng med oppgaven: som tallverdi, løsning, sannsynlighet, intervall, grafisk egenskap eller praktisk modell. …