Matematikk S1 Eksamen høsten 2017 – løsningsforslag

ifingo · løsningsforslag

Matematikk S1 eksamen Høst 2017

Fullstendig løsningsforslag på bokmål med trinnvis regning, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Andregradslikning

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs likningen \[x^2+2x-8=0\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Faktoriser

Tallene \(4\) og \(-2\) har produkt \(-8\) og sum \(2\), derfor \[x^2+2x-8=(x+4)(x-2).\]

Steg 2 — Bruk nullproduktregelen

\[(x+4)(x-2)=0\Rightarrow x+4=0\ ext{eller}\ x-2=0.\]

Steg 3 — Løs faktorene

\[x=-4\quad ext{eller}\quad x=2\]

Steg 4 — Kontroller

Begge verdiene gir venstreside lik \(0\).

Steg 5 — Konkluder

Likningen har to reelle løsninger.

Tolkning

Parabelen skjærer \(x\)-aksen i to punkter.

Vanlig feil: Å glemme én av faktorene etter faktorisering.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(x^2+2x-8=0) → \(x=-4\lor x=2\)

Python

from sympy import symbols, solve x=symbols("x") print(solve(x**2+2*x-8,x))

Fasit: \(x=-4\) eller \(x=2\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Rasjonal likning

Oppgave 1b

Oppgave:

Løs likningen \[\dfrac{5x-1}{2}+\dfrac{2x-5}{3}=1\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Finn fellesnevner

Fellesnevneren for \(2\) og \(3\) er \(6\).

Steg 2 — Multipliser hele likningen

\[3(5x-1)+2(2x-5)=6\]

Steg 3 — Løs lineært

\[15x-3+4x-10=6\Rightarrow 19x=19\Rightarrow x=1.\]

Steg 4 — Kontroller

\(x=1\) gir \(2-1=1\).

Steg 5 — Konkluder

Løsningen er gyldig.

Tolkning

Verdien gjør de to brøkleddene til sammen lik \(1\).

Vanlig feil: Å multiplisere bare ett ledd med \(6\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs((5x-1)/2+(2x-5)/3=1) → \(x=1\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve x=symbols("x") print(solve(Eq((5*x-1)/2+(2*x-5)/3,1),x))

Fasit: \(x=1\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Logaritmelikning

Oppgave 1c

Oppgave:

Løs likningen \[\lg(x^2)+2=4\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Sjekk definisjon

Vi må ha \(x^2>0\), altså \(x e 0\).

Steg 2 — Isoler logaritmen

\[\lg(x^2)=2\]

Steg 3 — Gå til potensform

\[x^2=10^2=100\]

Steg 4 — Løs

\[x=\pm 10\]

Steg 5 — Kontroller

Begge løsningene gir \(\lg(100)+2=4\).

Tolkning

Begge fortegn er gyldige fordi logaritmen står av \(x^2\).

Vanlig feil: Å bare ta den positive roten.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(log10(x^2)+2=4) → \(x=-10\lor x=10\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve, log x=symbols("x") print(solve(Eq(log(x**2,10)+2,4),x))

Fasit: \(x=-10\) eller \(x=10\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Potensregning

Oppgave 2a

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig \[\dfrac{2a^7(a^{-1}b^2)^3}{(2ab)^2}\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Regn ut potensen

\[(a^{-1}b^2)^3=a^{-3}b^6\]

Steg 2 — Forenkle telleren

\[2a^7\cdot a^{-3}b^6=2a^4b^6\]

Steg 3 — Forenkle nevneren

\[(2ab)^2=4a^2b^2\]

Steg 4 — Forkort

\[\dfrac{2a^4b^6}{4a^2b^2}=\dfrac{a^2b^4}{2}\]

Steg 5 — Konkluder

Alle potensregler er brukt før forkorting.

Tolkning

Uttrykket er redusert til én brøk med positive eksponenter.

Vanlig feil: Å tolke \(a^{-1}\) som \(-a\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle(2a^7(a^(-1)b^2)^3/(2ab)^2) → \(a^2b^4/2\)

Python

from sympy import symbols, simplify a,b=symbols("a b", nonzero=True) print(simplify(2*a**7*(a**(-1)*b**2)**3/(2*a*b)**2))

Fasit: \(\dfrac{a^2b^4}{2}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Algebraiske brøker

Oppgave 2b

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig \[\dfrac{2x}{x^2-1}-\dfrac{1}{x-1}\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Faktoriser

\[x^2-1=(x-1)(x+1)\]

Steg 2 — Fellesnevner

Fellesnevneren er \((x-1)(x+1)\).

Steg 3 — Utvid andre brøk

\[\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)}\]

Steg 4 — Trekk sammen

\[\dfrac{2x-(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x-1}{(x-1)(x+1)}\]

Steg 5 — Forkort

\[\dfrac{1}{x+1},\qquad x e -1,\ x e 1\]

Tolkning

Forenklingen gjelder bare for verdier som var lovlige i originaluttrykket.

Vanlig feil: Å forkorte før uttrykket er skrevet over fellesnevner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle(2x/(x^2-1)-1/(x-1)) → \(1/(x+1)\)

Python

from sympy import symbols, simplify x=symbols("x") print(simplify(2*x/(x**2-1)-1/(x-1)))

Fasit: \(\dfrac{1}{x+1}\), der \(x e -1\) og \(x e 1\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2c Logaritmeregler

Oppgave 2c

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig \[4\lg(2x)-\lg(x^2)-2\lg(\dfrac{x}{2} )\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Oppgaven skal løses presist med tydelig metode, full mellomregning, tolkning og digital kontroll der det passer.

Steg 1 — Definisjon

Alle argumenter må være positive, så \(x>0\).

Steg 2 — Bruk potensregelen

\[4\lg(2x)=\lg((2x)^4),\quad 2\lg(\dfrac{x}{2} )=\lg((\dfrac{x}{2} )^2 )\]

Steg 3 — Samle logaritmene

\[\lg(\dfrac{(2x)^4}{x^2(x/2)^2} )\]

Steg 4 — Forenkle argumentet

\[\dfrac{16x^4}{x^4/4}=64\]

Steg 5 — Skriv svaret

\[\lg 64\]

Tolkning

Uttrykket er konstant for alle \(x>0\).

Vanlig feil: Å gjøre \(4\lg(2x)\) om til \(\lg(8x)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle(4log10(2x)-log10(x^2)-2log10(x/2)) → \(\lg 64\)

Python

from sympy import symbols, log, simplify x=symbols("x", positive=True) print(simplify(4*log(2*x,10)-log(x**2,10)-2*log(x/2,10)))

Fasit: \(\lg 64\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Likningssett

Oppgave 3

Oppgave:

Løs likningssettet \[egin{cases}x^2+2y=5\2x+y=4\end{cases}\] …