Matematikk S1 Eksamen høsten 2022 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk S1 · LK20

Matematikk S1 eksamen Høst 2022 – løsningsforslag

Originalt, komplett løsningsforslag på bokmål. Alle deloppgaver er transkribert fra Udir-settet og løst med trinnvis forklaring, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS og realistisk Python-kontroll.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 løses med algebra, derivasjon, logaritmer, grenseverdi og sannsynlighet uten hjelpemidler. Del 1 · Oppgave 1 Potensregning

Oppgave 1

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \[\left(2a^{-2}b\right)^{-1}\cdot\left(\dfrac{b^2}{a}\right)^2\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk negativ eksponent

Negativ eksponent betyr invers: \[\left(2a^{-2}b\right)^{-1}=\dfrac{1}{2a^{-2}b}.\]

Steg 2 — Flytt \(a^{-2}\)

Siden \(a^{-2}=\dfrac{1}{a^2}\), får vi \[\dfrac{1}{2a^{-2}b}=\dfrac{a^2}{2b}.\]

Steg 3 — Kvadrer brøken

\[\left(\dfrac{b^2}{a}\right)^2=\dfrac{b^4}{a^2}.\]

Steg 4 — Multipliser faktorene

\[\dfrac{a^2}{2b}\cdot\dfrac{b^4}{a^2}=\dfrac{b^3}{2}.\]

Steg 5 — Kontroller at alt er forkortet

Både \(a^2\) og én faktor \(b\) er forkortet, så svaret kan ikke forenkles mer.

Tolkning

Uttrykket ender uten \(a\), fordi \(a\)-potensene kansellerer nøyaktig.

Vanlig feil: Å tolke \(\left(2a^{-2}b\right)^{-1}\) som bare at tallet 2 får negativ eksponent.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle((2*a^(-2)*b)^(-1)*(b^2/a)^2) → \(\dfrac{b^3}{2}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify, factor a, b = symbols('a b', nonzero=True) uttrykk = (2*a**(-2)*b)**(-1) * (b**2/a)**2 forenklet = simplify(uttrykk) print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk) print("Forenklet uttrykk:", forenklet) print("Faktorisert kontroll:", factor(forenklet)) print("Kontroll uttrykk - fasit:", simplify(uttrykk - b**3/2))

Fasit: \(\dfrac{b^3}{2}\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Derivasjon og marginaltolkning

Oppgave 2a

Oppgave:

Funksjonen \(O\) gitt ved \(O(x)=-0{,}05x^2+100x-10\,000\) er en modell for overskudd i kroner per uke. Bestem \(O^{\prime}(500)\). Gi en tolkning.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Deriver funksjonen

\[O^{\prime}(x)=-0{,}10x+100.\]

Steg 2 — Sett inn \(x=500\)

\[O^{\prime}(500)=-0{,}10\cdot500+100=50.\]

Steg 3 — Husk enheten

\(O\) måles i kroner og \(x\) i enheter, derfor måles \(O^{\prime}(500)\) i kroner per enhet.

Steg 4 — Tolk som marginalendring

Når produksjonen er omtrent \(500\) enheter, øker overskuddet med omtrent \(50\) kroner per ekstra solgte enhet.

Steg 5 — Rimelighetskontroll

Siden \(500\) ligger før toppunktet til parabelen, skal den deriverte være positiv. Det stemmer.

Tolkning

Overskuddet øker fortsatt ved 500 enheter, men veksten avtar fordi grafen er en parabel som vender nedover.

Vanlig feil: Å tolke \(50\) som overskuddet, ikke som endring i overskudd per ekstra enhet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Derivert(-0.05*x^2+100*x-10000) → \(-0{,}1x+100\) 2 (-0.1*500+100) → \(50\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, N x = symbols('x') O = -0.05*x**2 + 100*x - 10000 O_derivert = diff(O, x) verdi = O_derivert.subs(x, 500) print("O(x) =", O) print("O'(x) =", O_derivert) print("O'(500) =", N(verdi)) print("Tolkning: ca. 50 kroner mer i overskudd per ekstra enhet ved x=500")

Fasit: \(O^{\prime}(500)=50\). (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Andregradsfunksjon og maksimum

Oppgave 2b

Oppgave:

Hva er det maksimale overskuddet denne bedriften kan ha hver uke, ifølge modellen \(O\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk at parabelen vender nedover

Koeffisienten foran \(x^2\) er negativ, så funksjonen har et maksimum i toppunktet.

Steg 2 — Finn toppunktets \(x\)-verdi

For \(ax^2+bx+c\) er \(x=-\dfrac{b}{2a}\). Her er \(a=-0{,}05\) og \(b=100\): \[x=-\dfrac{100}{2\cdot\left(-0{,}05\right)}=1000.\]

Steg 3 — Sett inn i modellen

\[O(1000)=-0{,}05\cdot1000^2+100\cdot1000-10\,000.\]

Steg 4 — Regn ut

\[O(1000)=-50\,000+100\,000-10\,000=40\,000.\]

Steg 5 — Kontroller med den deriverte

\[O^{\prime}(1000)=-0{,}10\cdot1000+100=0.\] Det bekrefter toppunktet.

Tolkning

Det største ukentlige overskuddet modellen gir, er \(40\,000\) kroner ved produksjon og salg av \(1000\) enheter.

Vanlig feil: Å finne \(x=1000\), men ikke sette verdien inn i \(O(x)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Ekstremalpunkt(-0.05*x^2+100*x-10000) → \((1000,40000)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, solve, N x = symbols('x') O = -0.05*x**2 + 100*x - 10000 O_derivert = diff(O, x) kritiske = solve(O_derivert, x) print("O'(x) =", O_derivert) print("Kritisk x-verdi:", kritiske) for xverdi in kritiske: print("O(", xverdi, ") =", N(O.subs(x, xverdi))) print("Andrederivert:", diff(O, x, 2), "< 0, altså maksimum")

Fasit: Maksimalt overskudd er \(40\,000\) kroner. (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Logaritmer

Oppgave 3

Oppgave:

Løs likningen \(\lg\left(x-3\right)+\lg x=1\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Finn definisjonsmengden

Vi må ha \(x-3>0\) og \(x>0\). Dermed må \(x>3\).

Steg 2 — Bruk produktregelen

\[\lg\left(x-3\right)+\lg x=\lg\left(x\left(x-3\right)\right).\]

Steg 3 — Skriv høyre side som logaritme

Siden \(1=\lg 10\), får vi \[\lg\left(x\left(x-3\right)\right)=\lg 10.\]

Steg 4 — Løs andregradslikningen

\[x\left(x-3\right)=10\quad\Longrightarrow\quad x^2-3x-10=0.\]

Steg 5 — Faktoriser og sjekk domenet

\[x^2-3x-10=\left(x-5\right)\left(x+2\right).\] Kandidatene er \(x=5\) og \(x=-2\). Bare \(x=5\) oppfyller \(x>3\).

Tolkning

Logaritmene gjør at den negative løsningen ikke er lovlig, selv om den løser andregradslikningen.

Vanlig feil: Å glemme definisjonsmengden og ta med \(x=-2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(log10(x-3)+log10(x)=1,x) → \(x=5\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve, factor x = symbols('x') polynom = x*(x - 3) - 10 kandidater = solve(polynom, x) print("Domenekrav: x > 3") print("Polynom etter logaritmeregler:", polynom) print("Faktorisert:", factor(polynom)) print("Kandidater:", kandidater) for verdi in kandidater: print(f"x={verdi}: er x > 3?", verdi > 3) print("Gyldig løsning:", [v for v in kandidater if v > 3])

Fasit: \(x=5\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Grenseverdi

Oppgave 4

Oppgave:

Bestem grenseverdien \[\lim_{h\to0}\dfrac{\left(4+h\right)^2-4^2}{h}.\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, begrunne metoden og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Utvid kvadratet

\[\left(4+h\right)^2=16+8h+h^2.\]

Steg 2 — Trekk fra \(4^2\)

\[\left(4+h\right)^2-4^2=16+8h+h^2-16=8h+h^2.\]

Steg 3 — Faktoriser teller

\[8h+h^2=h\left(8+h\right).\]

Steg 4 — Forkort med \(h\)

For \(h\ne0\) er \[\dfrac{h\left(8+h\right)}{h}=8+h.\]

Steg 5 — La \(h\) gå mot 0

\[\lim_{h\to0}\left(8+h\right)=8.\]

Tolkning

Grenseverdien er den momentane vekstfarten til \(x^2\) i punktet \(x=4\), altså \(2\cdot4=8\). …