Matematikk S1 Eksamen våren 2010 – løsningsforslag

Matematikk S1 eksamen vår 2010 – løsningsforslag

Komplett ifingo-løsningsforslag på bokmål med transkripsjon, stegvis løsning, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS og fyldig Python-kontroll.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a 1 Derivasjon

Oppgave 1a 1

Oppgave:

Gitt \(f\left(x\right)=2x^3-x^2\). Regn ut \(f\left(1\right)\) og \(f\'\left(1\right)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Regn funksjonsverdi

\[f\left(1\right)=2\cdot1^3-1^2=1\]

Steg 2 — Deriver

\[f\'\left(x\right)=6x^2-2x\]

Steg 3 — Sett inn

\[f\'\left(1\right)=4\]

Steg 4 — Skill begrepene

\(f\left(1\right)\) er punktets høyde, mens \(f\'\left(1\right)\) er stigningstall.

Steg 5 — Kontroller

Punktet er \(\left(1,1\right)\).

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å blande \(f\) og \(f'\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Derivert(2x^3-x^2) → \(6x^2-2x\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import * x=symbols('x') f=2*x**3-x**2 fp=diff(f,x) print('f(x) =', f) print("f'(x) =", fp) print('f(1) =', f.subs(x,1)) print("f'(1) =", fp.subs(x,1)) print('Punkt =', (1, f.subs(x,1)))

Fasit: \(f\left(1\right)=1\), \(f\'\left(1\right)=4\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1a 2 Grafisk tolkning

Oppgave 1a 2

Oppgave:

Bruk 1) til å beskrive grafen rundt punktet med førstekoordinat \(x=1\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk punktet

Grafen går gjennom \(\left(1,1\right)\).

Steg 2 — Bruk stigningstall

Siden \(f\'\left(1\right)=4>0\), er grafen stigende.

Steg 3 — Tangent

Lokal tangent: \[y-1=4\left(x-1\right)\]

Steg 4 — Nærpunkt

For \(x\) nær \(1\) likner grafen linja \(y=4x-3\).

Steg 5 — Beskrivelse

Grafen går bratt oppover gjennom punktet.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å beskrive hele grafen, ikke bare nærområdet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Tangent(2x^3-x^2,1) → \(y=4x-3\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import * x=symbols('x') f=2*x**3-x**2 x0=1; y0=f.subs(x,x0); m=diff(f,x).subs(x,x0) tangent=expand(y0+m*(x-x0)) print('Punkt:', (x0,y0)) print('Stigningstall:', m) print('Tangent:', tangent) print('f(1.01) =', N(f.subs(x,1.01))) print('tangent(1.01) =', N(tangent.subs(x,1.01)))

Fasit: Grafen er stigende gjennom \(\left(1,1\right)\), med tangentstigning \(4\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b 1 Algebra

Oppgave 1b 1

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\left(a-b\right)^2+\left(a+b\right)\left(a-b\right)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Faktoriser

\(a-b\) er felles faktor.

Steg 2 — Samle parentes

\[\left(a-b\right)+\left(a+b\right)=2a\]

Steg 3 — Multipliser

\[2a\left(a-b\right)=2a^2-2ab\]

Steg 4 — Kontroller ved utviding

Utviding gir samme uttrykk.

Steg 5 — Skriv enklest

Faktorisert form er ofte ryddigst.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å glemme at \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Utvid((a-b)^2+(a+b)(a-b)) → \(2a^2-2ab\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import * a,b=symbols('a b') ut=(a-b)**2+(a+b)*(a-b) print('Opprinnelig:', ut) print('Utvidet:', expand(ut)) print('Faktorisert:', factor(ut)) print('Kontroll a=5,b=2:', ut.subs({a:5,b:2}), factor(ut).subs({a:5,b:2}))

Fasit: \(2a\left(a-b\right)=2a^2-2ab\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b 2 Potensregler

Oppgave 1b 2

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\dfrac{a^2\cdot\left(a\cdot b^2\right)^2}{\left(a^2\right)^3\cdot b^3}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Regn teller

\(\left(ab^2\right)^2=a^2b^4\), så telleren er \(a^4b^4\).

Steg 2 — Regn nevner

\(\left(a^2\right)^3b^3=a^6b^3\).

Steg 3 — Trekk fra eksponenter

\[a^{4-6}b^{4-3}=a^{-2}b\]

Steg 4 — Skriv positiv eksponent

\[a^{-2}b=\dfrac{b}{a^2}\]

Steg 5 — Betingelse

\(a\ne0\) og \(b\ne0\).

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å regne \((a^2)^3\) som \(a^5\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Forenkle(a^2*(a*b^2)^2/((a^2)^3*b^3)) → \(\dfrac{b}{a^2}\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import * a,b=symbols('a b') ut=a**2*(a*b**2)**2/((a**2)**3*b**3) print('Opprinnelig:', ut) print('Forenklet:', simplify(ut)) print('Kontroll a=2,b=3:', simplify(ut).subs({a:2,b:3}))

Fasit: \(\dfrac{b}{a^2}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b 3 Logaritmer

Oppgave 1b 3

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig: \(\lg\left(a^2b\right)+\lg\left(\dfrac1{ab}\right)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk sumregel

\(\lg A+\lg B=\lg\left(AB\right)\).

Steg 2 — Multipliser argumenter

\[a^2b\cdot \dfrac1{ab}=a\]

Steg 3 — Skriv resultat

\[\lg a\]

Steg 4 — Sjekk definisjon

Logaritmeargumentene må være positive.

Steg 5 — Tolk

Uttrykket kollapser til én logaritme.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å multiplisere logaritmene i stedet for argumentene.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 lg(a^2*b)+lg(1/(a*b)) → \(\lg a\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import * a,b=symbols('a b', positive=True) ut=log(a**2*b,10)+log(1/(a*b),10) print('Opprinnelig:', ut) print('Samlet:', logcombine(ut, force=True)) print('Forenklet:', simplify(logcombine(ut, force=True))) print('Kontroll a=10,b=2:', N(ut.subs({a:10,b:2})))

Fasit: \(\lg a\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c 1 Eksponentiallikning

Oppgave 1c 1

Oppgave:

Løs likningen \(3\cdot 10^{3x}=3000\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Del på 3

\[10^{3x}=1000\]

Steg 2 — Skriv potens

\[1000=10^3\]

Steg 3 — Sammenlikn

\[3x=3\]

Steg 4 — Løs

\[x=1\]

Steg 5 — Kontroll

\(3\cdot10^3=3000\).

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å isolere \(10^x\) i stedet for \(10^{3x}\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(3*10^(3x)=3000,x) → \(x=1\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import * x=symbols('x') lik=Eq(3*10**(3*x),3000) sol=solve(lik,x) print('Likning:', lik) print('Løsning:', sol) for s in sol: print('Kontroll:', 3*10**(3*s))

Fasit: \(x=1\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c 2 Logaritmelikning

Oppgave 1c 2

Oppgave:

Løs likningen \(2\lg x-\lg\left(\dfrac1x\right)=6\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig metode, regne presist og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Definisjon

\(x>0\).

Steg 2 — Logaritmeregel

\(\lg\left(1/x\right)=-\lg x\).

Steg 3 — Sett inn

\[2\lg x-\left(-\lg x\right)=6\]

Steg 4 — Løs

\[3\lg x=6\Rightarrow x=100\]

Steg 5 — Kontroller

\(x=100\) er positiv.

Tolkning

Svaret er kontrollert mot oppgavens forutsetninger og riktig enhet/definisjonsmengde der det er relevant.

Vanlig feil: Å miste minus foran \(\lg(1/x)\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(2*lg(x)-lg(1/x)=6,x) → \(x=100\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import * x=symbols('x', positive=True) lik=Eq(2*log(x,10)-log(1/x,10),6) sol=solve(lik,x) print('Likning:', lik) print('Løsning:', sol) for s in sol: print('Kontroll venstre side:', simplify(2*log(s,10)-log(1/s,10)))

Fasit: \(x=100\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1d Ulikhet

Oppgave 1d

Oppgave:

Løs ulikheten \(-3\left(x+1\right)\left(x-2\right)>0\). …