Matematikk R2 Eksamen våren 2026 (LK20) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen vår 2026 (LK20)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1a Bestemt integral

Oppgave 1a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int_0^2(e^{2x}+x)\,dx\). Vekting: Del av 4 poeng. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi integrerer de to leddene hver for seg og setter inn grensene 0 og 2.

1. Finn en antiderivert til eksponentialleddet \[\int e^{2x}\,dx=\frac12e^{2x}\]
2. Integrer x-leddet \[\int x\,dx=\frac{x^2}{2}\]
3. Skriv en samlet antiderivert \[F(x)=\frac12e^{2x}+\frac{x^2}{2}\]
4. Sett inn øvre grense \[F(2)=\frac12e^4+2\]
5. Sett inn nedre grense \[F(0)=\frac12\]
6. Trekk fra og forenkle \[F(2)-F(0)=\frac{e^4+3}{2}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(exp(2x)+x,x,0,2)Resultat: \(\frac{e^4+3}{2}\) Tolkning: CAS bekrefter både antideriverten og den eksakte integralverdien.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , exp , integrate , simplify , N x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = exp ( 2 * x ) + x F = integrate ( integrand , x ) value = integrate ( integrand , ( x , 0 , 2 )) expected = ( exp ( 4 ) + 3 ) / 2 print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Antiderivert F(x) =" , F ) print ( "F(2) =" , F . subs ( x , 2 )) print ( "F(0) =" , F . subs ( x , 0 )) print ( "Bestemt integral =" , value ) print ( "Desimalverdi =" , N ( value , 12 )) print ( "Kontroll =" , simplify ( value - expected )) assert simplify ( value - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = x + exp(2*x) Antiderivert F(x) = x**2/2 + exp(2*x)/2 F(2) = 2 + exp(4)/2 F(0) = 1/2 Bestemt integral = 3/2 + exp(4)/2 Desimalverdi = 28.7990750166 Kontroll = 0

Fasit: \(\displaystyle\frac{e^4+3}{2}\approx28{,}799\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren 1/2 når e^{2x} integreres, eller å legge sammen grenseverdiene. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kjerneregel baklengs, grenseinnsetting og eksakt svar. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1b Substitusjon

Oppgave 1b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int\frac{\sin(\ln x)}{x}\,dx\). Vekting: Del av 4 poeng. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Faktoren 1/x er den deriverte av ln x, så substitusjonen u=ln x gjør integralet direkte.

1. Velg substitusjon Sett \(u=\ln x\).
2. Finn differensialet \[du=\frac1x\,dx\]
3. Bytt variabel \[\int\frac{\sin(\ln x)}x\,dx=\int\sin u\,du\]
4. Integrer sinus \[\int\sin u\,du=-\cos u+C\]
5. Sett tilbake \[-\cos(\ln x)+C\]
6. Kontroller definisjonsområdet Siden \(\ln x\) inngår, gjelder svaret for \(x>0\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(sin(ln(x))/x,x)Resultat: \(-\cos(\ln x)\) Tolkning: CAS gir samme stamfunksjon; konstanten C må legges til.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , log , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , positive = True ) integrand = sin ( log ( x )) / x F = integrate ( integrand , x ) expected = - cos ( log ( x )) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy =" , F ) print ( "Forventet form =" , expected ) print ( "Derivert tilbake =" , diff ( expected , x )) print ( "Kontroll =" , simplify ( diff ( expected , x ) - integrand )) assert simplify ( diff ( expected , x ) - integrand ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = sin(log(x))/x Stamfunksjon fra SymPy = -cos(log(x)) Forventet form = -cos(log(x)) Derivert tilbake = sin(log(x))/x Kontroll = 0

Fasit: \(\displaystyle-\cos(\ln x)+C\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å skrive cos(ln x) uten minus, eller å glemme faktoren 1/x i substitusjonen. Sensorpunkt: Sensor ser etter tydelig substitusjon, riktig fortegn og integrasjonskonstant. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2a Bestemme funksjon

Oppgave 2a

Oppgave: En funksjon er definert for \(x>0\), har \(f\prime(x)=2/x^2\), og grafen går gjennom \((2,2)\). Bestem \(f(x)\). Vekting: Del av 4 poeng. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi integrerer den deriverte og bruker punktet til å bestemme konstanten.

1. Skriv som potens \[f\prime(x)=2x^{-2}\]
2. Integrer \[f(x)=-2x^{-1}+C=-\frac2x+C\]
3. Bruk punktet \[f(2)=2\]
4. Sett inn x=2 \[-\frac22+C=2\]
5. Finn konstanten \[C=3\]
6. Skriv funksjonen \[f(x)=3-\frac2x,\qquad x>0\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(2/x^2,x)Resultat: \(-2/x+C\) 2 Solve(-2/2+C=2,C)Resultat: \(C=3\) Tolkning: CAS bestemmer først funksjonsfamilien og deretter konstanten.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , integrate , solve , Eq , simplify x , C = symbols ( 'x C' , positive = True ) derivative = 2 / x ** 2 family = integrate ( derivative , x ) + C constant = solve ( Eq ( family . subs ( x , 2 ), 2 ), C )[ 0 ] f = simplify ( family . subs ( C , constant )) print ( "f'(x) =" , derivative ) print ( "Funksjonsfamilie =" , family ) print ( "Konstant C =" , constant ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f(2) =" , f . subs ( x , 2 )) print ( "Derivert kontroll =" , simplify ( f . diff ( x ) - derivative )) assert f . subs ( x , 2 ) == 2 assert simplify ( f . diff ( x ) - derivative ) == 0 

 Kjørt utskrift f'(x) = 2/x**2 Funksjonsfamilie = C - 2/x Konstant C = 3 f(x) = 3 - 2/x f(2) = 2 Derivert kontroll = 0

Fasit: \(\displaystyle f(x)=3-\frac2x\), for \(x>0\).

Vanlig feil: Å integrere x^{-2} som ln x eller å glemme initialpunktet. Sensorpunkt: Sensor ser etter riktig stamfunksjon og korrekt bruk av punktbetingelsen. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2b Areal mellom grafer

Oppgave 2b

Oppgave: Funksjonene er \(g(x)=x\) og \(h(x)=-3/x+4\), for \(x>0\). Finn arealet av området som er avgrenset av grafene. Vekting: Del av 4 poeng. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi finner skjæringspunktene og integrerer øvre graf minus nedre graf.

1. Finn skjæringspunktene \[x=4-\frac3x\quad\Longrightarrow\quad x^2-4x+3=0\]
2. Faktoriser \[(x-1)(x-3)=0\]
3. Bestem grensene Skjæringspunktene har x-koordinater 1 og 3.
4. Finn øvre graf Ved \(x=2\) er \(h(2)=2{,}5>g(2)=2\), så h ligger øverst.
5. Sett opp integralet \[A=\int_1^3\left(4-\frac3x-x\right)dx\]
6. Regn ut \[A=\left[4x-3\ln x-\frac{x^2}{2}\right]_1^3=4-3\ln3\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Solve(x=-3/x+4,x)Resultat: \(x=1\) eller \(x=3\) 2 Integral((-3/x+4)-x,x,1,3)Resultat: \(4-3\ln3\) Tolkning: CAS bekrefter både skjæringspunktene og arealet. Skjæringspunktene er x=1 og x=3; h ligger over g mellom punktene.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , solve , Eq , integrate , log , simplify , N x = symbols ( 'x' , positive = True ) g = x h = - 3 / x + 4 intersections = solve ( Eq ( g , h ), x ) area = integrate ( h - g , ( x , intersections [ 0 ], intersections [ 1 ])) expected = 4 - 3 * log ( 3 ) print ( "Skjæringspunkter i x =" , intersections ) print ( "h(2)-g(2) =" , ( h - g ) . subs ( x , 2 )) print ( "Arealintegrand =" , simplify ( h - g )) print ( "Eksakt areal =" , area ) print ( "Desimalareal =" , N ( area , 12 )) print ( "Kontroll =" , simplify ( area - expected )) assert simplify ( area - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Skjæringspunkter i x = [1, 3] h(2)-g(2) = 1/2 Arealintegrand = -x + 4 - 3/x Eksakt areal = 4 - 3*log(3) Desimalareal = 0.704163133996 Kontroll = 0

Fasit: \(\displaystyle A=4-3\ln3\approx0{,}704\).

Vanlig feil: Å integrere i feil rekkefølge slik at arealet blir negativt, eller å bruke feil grenser. Sensorpunkt: Sensor ser etter skjæringspunkter, identifisering av øvre graf og eksakt integral. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 3a Eksakte trigonometriske verdier

Oppgave 3a

Oppgave: Bestem \(\sin v\) og \(\tan v\) når \(\cos v=2/3\) og v ligger i 4. kvadrant. Vekting: Del av 4 poeng. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker enhetsidentiteten og fortegnene i fjerde kvadrant. …