Matematikk R2 Eksamen våren 2022 (K06) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen vår 2022 (K06)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1a Produktregel

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=3x\sin x\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av den lineære faktoren 3x og sinusfunksjonen.

1. Del funksjonen i to faktorer Sett \(u(x)=3x\) og \(v(x)=\sin x\).
2. Deriver faktorene \(u\prime(x)=3\) og \(v\prime(x)=\cos x\).
3. Bruk produktregelen \[(uv)\prime=u\prime v+uv\prime\]
4. Sett inn \[f\prime(x)=3\sin x+3x\cos x\]
5. Faktoriser om ønskelig \[f\prime(x)=3(\sin x+x\cos x)\]
6. Kontroller strukturen Begge produktleddene må være med; det er ikke nok å derivere faktorene og multiplisere.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(3*x*sin(x),x)Resultat: \(3\sin x+3x\cos x\) Tolkning: CAS bekrefter begge leddene fra produktregelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = 3 * x * sin ( x ) derivative = diff ( f , x ) expected = 3 * sin ( x ) + 3 * x * cos ( x ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , derivative ) print ( "Forventet form =" , expected ) print ( "Symbolsk kontroll =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "Kontroll ved x=1 =" , derivative . subs ( x , 1 ) . evalf ( 12 )) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift f(x) = 3*x*sin(x) f'(x) = 3*x*cos(x) + 3*sin(x) Forventet form = 3*x*cos(x) + 3*sin(x) Symbolsk kontroll = 0 Kontroll ved x=1 = 4.14531987203

Fasit: \(f\prime(x)=3\sin x+3x\cos x\).

Vanlig feil: Å skrive \(3\cos x\) og glemme produktregelen. Sensorpunkt: Sensor ser etter to produktledd og korrekt derivert av sinus. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1b Trigonometrisk forenkling og derivasjon

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=\dfrac{\sin(2x)}{\cos x}\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi kan bruke kvotientregelen, men en trigonometrisk forenkling gir den ryddigste løsningen. Vi må samtidig huske definisjonsområdet.

1. Oppgi definisjonsområdet Originaluttrykket krever \(\cos x\ne0\), altså \(x\ne \frac\pi2+k\pi\).
2. Bruk dobbeltvinkelformelen \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\).
3. Forkort på definisjonsområdet \[g(x)=\frac{2\sin x\cos x}{\cos x}=2\sin x\]
4. Deriver \[g\prime(x)=2\cos x\]
5. Behold domenebegrensningen Den forenklede formelen kan ikke brukes til å utvide den opprinnelige funksjonens domene.
6. Kontroller med kvotientregelen Direkte derivasjon gir et uttrykk som trigonometrisk forenkles til samme svar.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 TrigSimplify(sin(2x)/cos(x))Resultat: \(2\sin x\) 2 Derivative(sin(2x)/cos(x),x)Resultat: \(2\cos x\) på definisjonsområdet Tolkning: CAS bekrefter forenklingen og den deriverte, mens domenet må vurderes matematisk.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , trigsimp , simplify , pi x = symbols ( 'x' , real = True ) g = sin ( 2 * x ) / cos ( x ) simplified = trigsimp ( g ) raw_derivative = diff ( g , x ) expected = 2 * cos ( x ) print ( "g(x) =" , g ) print ( "Trigonometrisk forenklet =" , simplified ) print ( "Direkte derivert =" , raw_derivative ) print ( "Forenklet derivert =" , trigsimp ( raw_derivative )) print ( "Kontroll mot 2*cos(x) =" , simplify ( trigsimp ( raw_derivative - expected ))) print ( "Utelukket eksempel x=pi/2: cos(x) =" , cos ( pi / 2 )) assert simplify ( trigsimp ( raw_derivative - expected )) == 0 

 Kjørt utskrift g(x) = sin(2*x)/cos(x) Trigonometrisk forenklet = 2*sin(x) Direkte derivert = sin(x)*sin(2*x)/cos(x)**2 + 2*cos(2*x)/cos(x) Forenklet derivert = 2*cos(x) Kontroll mot 2*cos(x) = 0 Utelukket eksempel x=pi/2: cos(x) = 0

Fasit: \(g\prime(x)=2\cos x\), for \(x\ne\frac\pi2+k\pi\).

Vanlig feil: Å forkorte med cos x uten å nevne at cos x kan være 0. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt derivasjon og bevaring av opprinnelig definisjonsområde. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2a Ubestemt integral

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int(e^x-\sin x)\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne en antiderivert ledd for ledd og ta med integrasjonskonstanten.

1. Del opp integralet \[\int e^x dx-\int\sin x\,dx\]
2. Integrer eksponentialleddet \(\int e^x dx=e^x\).
3. Integrer sinusleddet \(\int\sin x\,dx=-\cos x\).
4. Ta hensyn til minustegnet \(-\int\sin x\,dx=+\cos x\).
5. Sett sammen \[e^x+\cos x+C\]
6. Deriver tilbake \((e^x+\cos x)\prime=e^x-\sin x\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(exp(x)-sin(x),x)Resultat: \(e^x+\cos x\) Tolkning: CAS gir én stamfunksjon; vi legger til konstanten C.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , exp , sin , cos , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = exp ( x ) - sin ( x ) F = integrate ( integrand , x ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon =" , F ) print ( "Derivert tilbake =" , diff ( F , x )) print ( "Kontroll =" , simplify ( diff ( F , x ) - integrand )) assert simplify ( diff ( F , x ) - integrand ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = exp(x) - sin(x) Stamfunksjon = exp(x) + cos(x) Derivert tilbake = exp(x) - sin(x) Kontroll = 0

Fasit: \(e^x+\cos x+C\).

Vanlig feil: Å skrive \(e^x-\cos x+C\); minustegnet foran sinus endrer fortegn. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt stamfunksjon og +C. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2b Bestemt integral

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int_0^{\pi/4}\sin x\cos x\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (4 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi kan bruke substitusjon eller kjenne igjen at den deriverte av sin²x er 2 sin x cos x.

1. Velg substitusjon Sett \(u=\sin x\).
2. Finn differensialet \(du=\cos x\,dx\).
3. Bytt grenser Når \(x=0\), er \(u=0\); når \(x=\pi/4\), er \(u=\sqrt2/2\).
4. Integrer \[\int_0^{\sqrt2/2}u\,du=\left[\frac{u^2}{2}\right]_0^{\sqrt2/2}\]
5. Beregn \[\frac12\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac14\]
6. Kontroller fortegn Integranden er ikke-negativ på intervallet, så positivt svar er rimelig.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(sin(x)*cos(x),x,0,pi/4)Resultat: \(1/4\) Tolkning: CAS bekrefter den eksakte integralverdien.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , pi , integrate , Rational , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = sin ( x ) * cos ( x ) value = integrate ( integrand , ( x , 0 , pi / 4 )) F = integrate ( integrand , x ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon =" , F ) print ( "Bestemt integral =" , value ) print ( "Desimalverdi =" , value . evalf ( 12 )) print ( "Kontroll mot 1/4 =" , simplify ( value - Rational ( 1 , 4 ))) assert value == Rational ( 1 , 4 ) 

 Kjørt utskrift Integrand = sin(x)*cos(x) Stamfunksjon = sin(x)**2/2 Bestemt integral = 1/4 Desimalverdi = 0.250000000000 Kontroll mot 1/4 = 0

Fasit: \(\displaystyle\frac14\).

Vanlig feil: Å glemme å kvadrere den øvre u-grensen eller miste faktoren 1/2. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt grensebytte eller korrekt bruk av stamfunksjon. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 3 Trigonometrisk likning

Oppgave 3

Oppgave: Løs likningen \(2\cos(3x)=-\sqrt3\), \(x\in[0,\pi]\). Original poengangivelse: Oppgave 3 (2 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse en cosinuslikning og finne alle løsninger som ligger i det oppgitte intervallet. …