Matematikk R2 Eksempeloppgave våren 2023 (LK20) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Eksempelsett Matematikk R2 - vår 2023 (LK20)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1a Bestemt integral

Oppgave 1a

Oppgave: Regn ut \(\displaystyle\int_0^1(4x^2+3)\,dx\). Eksempelsettet oppgir ikke poeng per oppgave. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne en antiderivert og bruke øvre verdi minus nedre verdi.

1. Integrer hvert ledd \[\int(4x^2+3)dx=\frac43x^3+3x+C\]
2. Bruk grensene \[\left[\frac43x^3+3x\right]_0^1\]
3. Sett inn x=1 \(\frac43+3=\frac{13}{3}\).
4. Sett inn x=0 Verdien er 0.
5. Trekk fra \[\frac{13}{3}-0=\frac{13}{3}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(4x^2+3,x,0,1)Resultat: \(13/3\) Tolkning: CAS bekrefter den eksakte brøkverdien.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy, NumPy eller SciPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , integrate , Rational , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) expr = 4 * x ** 2 + 3 F = integrate ( expr , x ) value = integrate ( expr , ( x , 0 , 1 )) print ( "Integrand =" , expr ) print ( "Antiderivert =" , F ) print ( "F(1) =" , F . subs ( x , 1 )) print ( "F(0) =" , F . subs ( x , 0 )) print ( "Bestemt integral =" , value ) print ( "Kontroll =" , simplify ( value - Rational ( 13 , 3 ))) assert simplify ( value - Rational ( 13 , 3 )) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = 4*x**2 + 3 Antiderivert = 4*x**3/3 + 3*x F(1) = 13/3 F(0) = 0 Bestemt integral = 13/3 Kontroll = 0

Fasit: \(\frac{13}{3}\).

Vanlig feil: Å glemme å trekke fra verdien ved nedre grense. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt antiderivert og grenseinnsetting. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1b Substitusjon

Oppgave 1b

Oppgave: Regn ut \(\displaystyle\int4x\sqrt{x^2+2}\,dx\). Eksempelsettet oppgir ikke poeng per oppgave. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Uttrykket under roten har derivert 2x, så substitusjon er naturlig.

1. Velg substitusjon Sett \(u=x^2+2\).
2. Finn differensialet \(du=2x\,dx\), altså \(4x\,dx=2du\).
3. Bytt variabel \[\int4x\sqrt{x^2+2}\,dx=2\int u^{1/2}du\]
4. Integrer \[2\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac43u^{3/2}+C\]
5. Sett tilbake \[\frac43(x^2+2)^{3/2}+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(4x*sqrt(x^2+2),x)Resultat: \(\frac43(x^2+2)^{3/2}\) Tolkning: Derivasjon av svaret gir den opprinnelige integranden.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy, NumPy eller SciPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sqrt , integrate , diff , simplify , Rational x = symbols ( 'x' , real = True ) expr = 4 * x * sqrt ( x ** 2 + 2 ) F = Rational ( 4 , 3 ) * ( x ** 2 + 2 ) ** Rational ( 3 , 2 ) cas_F = integrate ( expr , x ) print ( "Integrand =" , expr ) print ( "Foreslått antiderivert =" , F ) print ( "SymPy-antiderivert =" , cas_F ) print ( "Derivert tilbake =" , simplify ( diff ( F , x ))) print ( "Kontroll =" , simplify ( diff ( F , x ) - expr )) assert simplify ( diff ( F , x ) - expr ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = 4*x*sqrt(x**2 + 2) Foreslått antiderivert = 4*(x**2 + 2)**(3/2)/3 SymPy-antiderivert = 4*x**2*sqrt(x**2 + 2)/3 + 8*sqrt(x**2 + 2)/3 Derivert tilbake = 4*x*sqrt(x**2 + 2) Kontroll = 0

Fasit: \(\frac43(x^2+2)^{3/2}+C\).

Vanlig feil: Å miste faktoren 2 når du bytter fra x til u. Sensorpunkt: Sensor ser etter tydelig substitusjon og tilbakebytte. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2a Vektorer og normalvektor

Oppgave 2a

Oppgave: Vis at \(\vec n=[-1,1,1]\) er normalvektor til planet som er parallelt med \(\vec u=[1,2,-1]\) og \(\vec v=[-1,1,-2]\). Eksempelsettet oppgir ikke poeng per oppgave. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? En normalvektor må være ortogonal på begge retningsvektorene i planet.

1. Beregn første skalarprodukt \[\vec n\cdot\vec u=-1+2-1=0\]
2. Beregn andre skalarprodukt \[\vec n\cdot\vec v=1+1-2=0\]
3. Tolk resultatene Begge skalarproduktene er null.
4. Konkluder \(\vec n\) står vinkelrett på to ikke-parallelle vektorer i planet og er derfor normalvektor.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Dot((-1,1,1),(1,2,-1))Resultat: 0 2 Dot((-1,1,1),(-1,1,-2))Resultat: 0 Tolkning: Begge kontrollene gir null. Planet er spent ut av de to retningsvektorene, mens normalvektoren står vinkelrett på begge.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy, NumPy eller SciPy - faktisk kjørt

 from sympy import Matrix u = Matrix ([ 1 , 2 , - 1 ]) v = Matrix ([ - 1 , 1 , - 2 ]) n = Matrix ([ - 1 , 1 , 1 ]) print ( "u =" , list ( u )) print ( "v =" , list ( v )) print ( "n =" , list ( n )) print ( "n · u =" , n . dot ( u )) print ( "n · v =" , n . dot ( v )) print ( "u × v =" , list ( u . cross ( v ))) assert n . dot ( u ) == 0 assert n . dot ( v ) == 0 

 Kjørt utskrift u = [1, 2, -1] v = [-1, 1, -2] n = [-1, 1, 1] n · u = 0 n · v = 0 u × v = [-3, 3, 3]

Fasit: \(\vec n=[-1,1,1]\) er en normalvektor.

Vanlig feil: Å kontrollere bare ett skalarprodukt. Sensorpunkt: Sensor ser etter to nullskalarprodukter og en geometrisk konklusjon. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2b Planlikning

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem en likning til planet \(\alpha\) gjennom \(P(2,0,1)\) med normalvektor \([-1,1,1]\). Eksempelsettet oppgir ikke poeng per oppgave. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi bruker punkt-normal-formen for et plan.

1. Skriv punkt-normal-formen \[-1(x-2)+1(y-0)+1(z-1)=0\]
2. Utvid parentesene \[-x+2+y+z-1=0\]
3. Samle konstantene \[-x+y+z+1=0\]
4. Skriv alternativ standardform \[x-y-z=1\]
5. Kontroller punktet \(2-0-1=1\), så P ligger i planet.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Plane((2,0,1),(-1,1,1))Resultat: \(-x+y+z+1=0\) Tolkning: Punktet oppfyller likningen, og koeffisientene er normalvektoren. Planet er spent ut av de to retningsvektorene, mens normalvektoren står vinkelrett på begge.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy, NumPy eller SciPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , simplify x , y , z = symbols ( 'x y z' , real = True ) plane = - ( x - 2 ) + y + ( z - 1 ) standard = simplify ( plane ) print ( "Punkt-normal-form = -(x-2) + y + (z-1)" ) print ( "Forenklet venstreside =" , standard ) print ( "Kontroll i P(2,0,1) =" , standard . subs ({ x : 2 , y : 0 , z : 1 })) print ( "Ekvivalent form x-y-z-1 =" , x - y - z - 1 ) assert standard . subs ({ x : 2 , y : 0 , z : 1 }) == 0 assert simplify ( standard + ( x - y - z - 1 )) == 0 

 Kjørt utskrift Punkt-normal-form = -(x-2) + y + (z-1) Forenklet venstreside = -x + y + z + 1 Kontroll i P(2,0,1) = 0 Ekvivalent form x-y-z-1 = x - y - z - 1

Fasit: \(\alpha: -x+y+z+1=0\), ekvivalent med \(x-y-z=1\).

Vanlig feil: Å bruke punktet som normalvektor eller glemme konstantleddet. Sensorpunkt: Sensor ser etter punkt-normal-form og en korrekt forenklet likning. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 3 Trigonometrisk likning

Oppgave 3

Oppgave: Løs \(\cos^2x-3\sin^2x=-2\) for \(x\in[0,2\pi)\). Eksempelsettet oppgir ikke poeng per oppgave. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi reduserer likningen til en standardlikning for sinus. …