Matematikk R2 Eksempeloppgave våren 2015 – løsningsforslag

Matematikk R2 - eksempelsett vår 2015 (REA3024)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=x^2\sin x\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt av \(x^2\) og \(\sin x\), så produktregelen er hovedmetoden.

Steg 1 - Del funksjonen i faktorer

Sett \(u=x^2\) og \(v=\sin x\).

Steg 2 - Deriver faktorene

\[u\prime=2x,\qquad v\prime=\cos x\]

Steg 3 - Bruk produktregelen

\[(uv)\prime=u\prime v+uv\prime\]

Steg 4 - Sett inn

\[f\prime(x)=2x\sin x+x^2\cos x\]

Steg 5 - Faktoriser om ønskelig

\[f\prime(x)=x(2\sin x+x\cos x)\]

Steg 6 - Kontroller strukturen

Begge produktleddene må være med: ett der \(x^2\) deriveres, og ett der sinus deriveres.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

G GeoGebra / CAS 1 Derivative(x^2 sin(x),x)Resultat: \(2x\sin x+x^2\cos x\)

Tolkning: CAS bekrefter begge leddene fra produktregelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify , factor x = symbols ( 'x' , real = True ) f = x ** 2 * sin ( x ) derivative = diff ( f , x ) expected = 2 * x * sin ( x ) + x ** 2 * cos ( x ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "f'(x) =" , derivative ) print ( "Faktorisert =" , factor ( derivative )) print ( "Kontroll f' - forventet =" , simplify ( derivative - expected )) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

 Utskrift f(x) = x**2*sin(x) f'(x) = x**2*cos(x) + 2*x*sin(x) Faktorisert = x*(x*cos(x) + 2*sin(x)) Kontroll f' - forventet = 0

Fasit: \(f\prime(x)=2x\sin x+x^2\cos x\).

Vanlig feil: Å multiplisere de deriverte faktorene i stedet for å bruke produktregelen. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt produktregel og tydelig derivasjon av begge faktorene. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=e^{\cos(2x)}\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke kjerneregelen i flere lag: eksponentialfunksjon, cosinus og den indre funksjonen \(2x\).

Steg 1 - Identifiser lagene

Ytre funksjon er \(e^u\), der \(u=\cos(2x)\).

Steg 2 - Deriver ytre lag

\[\frac{d}{dx}e^u=e^u u\prime\]

Steg 3 - Deriver cosinuslaget

\[u\prime=-\sin(2x)\cdot 2\]

Steg 4 - Sett sammen

\[g\prime(x)=e^{\cos(2x)}\cdot(-2\sin(2x))\]

Steg 5 - Skriv ryddig

\[g\prime(x)=-2\sin(2x)e^{\cos(2x)}\]

Steg 6 - Fortegnskontroll

Minustegnet kommer fra den deriverte av cosinus, mens faktoren 2 kommer fra kjernen.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

G GeoGebra / CAS 1 Derivative(exp(cos(2x)),x)Resultat: \(-2e^{\cos(2x)}\sin(2x)\)

Tolkning: CAS viser både minustegn og faktor 2.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll

 from sympy import symbols , exp , cos , sin , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) g = exp ( cos ( 2 * x )) derivative = diff ( g , x ) expected = - 2 * sin ( 2 * x ) * exp ( cos ( 2 * x )) print ( "g(x) =" , g ) print ( "g'(x) =" , derivative ) print ( "Forventet =" , expected ) print ( "Symbolsk differanse =" , simplify ( derivative - expected )) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

 Utskrift g(x) = exp(cos(2*x)) g'(x) = -2*exp(cos(2*x))*sin(2*x) Forventet = -2*exp(cos(2*x))*sin(2*x) Symbolsk differanse = 0

Fasit: \(g\prime(x)=-2\sin(2x)e^{\cos(2x)}\).

Vanlig feil: Å glemme enten minustegnet eller faktoren 2 i den doble kjerneregelen. Sensorpunkt: Sensor ser etter at alle tre funksjonslagene er håndtert korrekt. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1c Kvotientregel

Oppgave 1c

Oppgave: Deriver \(h(x)=\dfrac{x^2+1}{2x-2}\), der \(x\ne1\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en brøk ved hjelp av kvotientregelen og deretter forenkle.

Steg 1 - Definer teller og nevner

Sett \(u=x^2+1\) og \(v=2x-2\).

Steg 2 - Deriver

\[u\prime=2x,\qquad v\prime=2\]

Steg 3 - Bruk kvotientregelen

\[h\prime=\frac{u\prime v-uv\prime}{v^2}\]

Steg 4 - Sett inn

\[h\prime(x)=\frac{2x(2x-2)-2(x^2+1)}{(2x-2)^2}\]

Steg 5 - Forenkle telleren

\[4x^2-4x-2x^2-2=2x^2-4x-2\]

Steg 6 - Forenkle hele uttrykket

\[h\prime(x)=\frac{x^2-2x-1}{2(x-1)^2}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

G GeoGebra / CAS 1 Derivative((x^2+1)/(2x-2),x)Resultat: \(\dfrac{x^2-2x-1}{2(x-1)^2}\)

Tolkning: CAS forenkler kvotientuttrykket til samme form.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll

 from sympy import symbols , diff , simplify , factor x = symbols ( 'x' , real = True ) h = ( x ** 2 + 1 ) / ( 2 * x - 2 ) derivative = simplify ( diff ( h , x )) expected = ( x ** 2 - 2 * x - 1 ) / ( 2 * ( x - 1 ) ** 2 ) print ( "h(x) =" , h ) print ( "h'(x), forenklet =" , derivative ) print ( "Faktorisert nevner =" , factor ( derivative )) print ( "Kontroll =" , simplify ( derivative - expected )) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

 Utskrift h(x) = (x**2 + 1)/(2*x - 2) h'(x), forenklet = (-x**2 + 2*x*(x - 1) - 1)/(2*(x - 1)**2) Faktorisert nevner = (x**2 - 2*x - 1)/(2*(x - 1)**2) Kontroll = 0

Fasit: \(h\prime(x)=\dfrac{x^2-2x-1}{2(x-1)^2}\), \(x\ne1\).

Vanlig feil: Å bytte rekkefølgen i telleren i kvotientregelen eller glemme å kvadrere nevneren. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kvotientregel, mellomregning og gyldig definisjonsområde. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Delvis integrasjon

Oppgave 2a

Oppgave: Regn ut \(\displaystyle\int xe^x\,dx\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Produktet av et polynom og en eksponentialfunksjon gjør delvis integrasjon naturlig.

Steg 1 - Velg funksjonene

Sett \(u=x\) og \(dv=e^x\,dx\).

Steg 2 - Finn du og v

\[du=dx,\qquad v=e^x\]

Steg 3 - Bruk formelen

\[\int u\,dv=uv-\int v\,du\]

Steg 4 - Sett inn

\[\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx\]

Steg 5 - Integrer resten

\[xe^x-e^x+C\]

Steg 6 - Faktoriser

\[e^x(x-1)+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

G GeoGebra / CAS 1 Integral(x exp(x),x)Resultat: \(e^x(x-1)\)

Tolkning: CAS utelater integrasjonskonstanten, som må legges til manuelt.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll

 from sympy import symbols , exp , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = x * exp ( x ) F = integrate ( integrand , x ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Antiderivert =" , F ) print ( "Derivert av antiderivert =" , diff ( F , x )) print ( "Kontroll =" , simplify ( diff ( F , x ) - integrand )) assert simplify ( diff ( F , x ) - integrand ) == 0 

 Utskrift Integrand = x*exp(x) Antiderivert = (x - 1)*exp(x) Derivert av antiderivert = (x - 1)*exp(x) + exp(x) Kontroll = 0

Fasit: \(\displaystyle\int xe^x\,dx=e^x(x-1)+C\).

Vanlig feil: Å velge \(u=e^x\), som ikke forenkler integralet, eller å glemme minusleddet. Sensorpunkt: Sensor ser etter tydelig valg av \(u\) og \(dv\), samt konstanten \(C\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Substitusjon

Oppgave 2b

Oppgave: Regn ut \(\displaystyle\int 4xe^{x^2}\,dx\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Kjernen \(x^2\) har derivert \(2x\), som allerede finnes i integranden. Derfor bruker vi substitusjon.

Steg 1 - Velg substitusjon

Sett \(u=x^2\).

Steg 2 - Finn differensialet

\[du=2x\,dx\]

Steg 3 - Tilpass faktoren

\[4x\,dx=2\,du\]

Steg 4 - Bytt variabel

\[\int4xe^{x^2}\,dx=\int2e^u\,du\]

Steg 5 - Integrer

\[2e^u+C\]

Steg 6 - Sett tilbake

\[2e^{x^2}+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

G GeoGebra / CAS 1 Integral(4x exp(x^2),x)Resultat: \(2e^{x^2}\)

Tolkning: CAS bekrefter substitusjonen og faktor 2.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - kjørt kontroll

 from sympy import symbols , exp , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = 4 * x * exp ( x ** 2 ) F = integrate ( integrand , x ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Antiderivert =" , F ) print ( "Derivert tilbake =" , diff ( F , x )) print ( "Kontroll =" , simplify ( diff ( F , x ) - integrand )) assert simplify ( diff ( F , x ) - integrand ) == 0 

 Utskrift Integrand = 4*x*exp(x**2) Antiderivert = 2*exp(x**2) Derivert tilbake = 4*x*exp(x**2) Kontroll = 0

Fasit: \(\displaystyle\int4xe^{x^2}\,dx=2e^{x^2}+C\).

Vanlig feil: Å sette \(u=x^2\) uten å justere faktoren fra \(du=2x\,dx\). Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt substitusjon og at \(C\) er med. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2c Delbrøkoppspalting

Oppgave 2c

Oppgave: Regn ut \(\displaystyle\int\frac{3x}{x^2-x-2}\,dx\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Nevneren kan faktoriseres i to lineære faktorer. Vi bruker delbrøkoppspalting. …