Matematikk R2 Eksamen høsten 2023 (LK20) – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen høst 2023 (LK20)

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1 Bestemt integral og fortegnet areal

Oppgave 1

Oppgave: Regn ut integralet \(\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^3+2x)\,dx\). Hva forteller svaret deg? Vekting: Alle deloppgavene vektes likt, med unntakene som er oppgitt i eksamensinformasjonen. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne et bestemt integral og tolke hvorfor resultatet blir null selv om grafen ikke ligger på x-aksen.

1. Undersøk symmetrien Funksjonen \(f(x)=x^3+2x\) er odde fordi \(f(-x)=-f(x)\).
2. Bruk symmetriregelen Integral av en odde funksjon over et symmetrisk intervall er null.
3. Finn en antiderivert som kontroll \[F(x)=\frac{x^4}{4}+x^2\]
4. Sett inn grensene \[F(1)-F(-1)=\left(\frac14+1\right)-\left(\frac14+1\right)=0\]
5. Tolk fortegnet Området til venstre for y-aksen bidrar negativt, mens området til høyre bidrar positivt.
6. Skill integral fra geometrisk areal Svaret 0 betyr at de to fortegnede arealene er like store, ikke at det geometriske arealet er 0.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(x^3+2x,x,-1,1)Resultat: \(0\) 2 IsOdd(x^3+2x)Resultat: true Tolkning: CAS bekrefter både integralverdien og oddesymmetrien.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , integrate , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = x ** 3 + 2 * x F = integrate ( f , x ) value = integrate ( f , ( x , - 1 , 1 )) odd_check = simplify ( f . subs ( x , - x ) + f ) print ( "f(x) =" , f ) print ( "Antiderivert F(x) =" , F ) print ( "F(1) =" , F . subs ( x , 1 )) print ( "F(-1) =" , F . subs ( x , - 1 )) print ( "Bestemt integral =" , value ) print ( "Kontroll av odd funksjon, f(-x)+f(x) =" , odd_check ) assert value == 0 assert odd_check == 0 

 Kjørt utskrift f(x) = x**3 + 2*x Antiderivert F(x) = x**4/4 + x**2 F(1) = 5/4 F(-1) = 5/4 Bestemt integral = 0 Kontroll av odd funksjon, f(-x)+f(x) = 0

Fasit: Integralverdien er \(0\). Det fortegnede arealet under x-aksen er like stort som det fortegnede arealet over x-aksen.

Vanlig feil: Å tolke integralverdien 0 som at grafen ikke omslutter noe geometrisk areal. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt integral og en tydelig tolkning av kansellering mellom negativt og positivt areal. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2 Areal mellom to trigonometriske grafer

Oppgave 2

Oppgave: Figuren viser \(f(x)=\cos x\) og \(g(x)=\sin x\). Bestem arealet av det fargelagte området. Vekting: Denne oppgaven vektes som to deloppgaver. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne de to naboskjæringspunktene som avgrenser området og integrere øvre funksjon minus nedre funksjon.

1. Finn skjæringspunktene Likningen \(\cos x=\sin x\) gir \(\tan x=1\), altså \(x=\frac\pi4+k\pi\).
2. Velg grensene fra figuren De aktuelle naboskjæringspunktene er \(x=-\frac{3\pi}{4}\) og \(x=\frac\pi4\).
3. Bestem hvilken graf som ligger øverst Ved \(x=0\) er \(\cos0=1\) og \(\sin0=0\), så cosinus ligger øverst i hele området.
4. Sett opp arealintegralet \[A=\int_{-3\pi/4}^{\pi/4}(\cos x-\sin x)\,dx\]
5. Integrer En antiderivert er \(\sin x+\cos x\).
6. Sett inn grensene \[A=(\sqrt2)-(-\sqrt2)=2\sqrt2\]
7. Kontroller positivitet \(2\sqrt2\approx2{,}828\), som er et positivt og rimelig areal.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Solve(cos(x)=sin(x),x)Resultat: \(x=\frac\pi4+k\pi\) 2 Integral(cos(x)-sin(x),x,-3π/4,π/4)Resultat: \(2\sqrt2\) Tolkning: Skjæringspunktene fra figuren gir ett helt område der cosinus ligger over sinus. Skjæringspunktene er x = -3π/4 og x = π/4. I intervallet ligger cos x over sin x.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , pi , integrate , simplify , sqrt , N x = symbols ( 'x' , real = True ) left = - 3 * pi / 4 right = pi / 4 difference = cos ( x ) - sin ( x ) area = integrate ( difference , ( x , left , right )) print ( "Venstre grense =" , left ) print ( "Høyre grense =" , right ) print ( "Forskjell ved x=0 =" , difference . subs ( x , 0 )) print ( "Arealintegral =" , area ) print ( "Forenklet areal =" , simplify ( area )) print ( "Desimalverdi =" , N ( area , 12 )) print ( "Kontroll mot 2*sqrt(2) =" , simplify ( area - 2 * sqrt ( 2 ))) assert simplify ( area - 2 * sqrt ( 2 )) == 0 assert difference . subs ( x , 0 ) > 0 

 Kjørt utskrift Venstre grense = -3*pi/4 Høyre grense = pi/4 Forskjell ved x=0 = 1 Arealintegral = 2*sqrt(2) Forenklet areal = 2*sqrt(2) Desimalverdi = 2.82842712475 Kontroll mot 2*sqrt(2) = 0

Fasit: Det fargelagte arealet er \(2\sqrt2\approx2{,}83\).

Vanlig feil: Å integrere fra feil skjæringspunkter eller glemme å bruke øvre funksjon minus nedre funksjon. Sensorpunkt: Sensor ser etter riktige grenser, korrekt arealintegral og eksakt svar. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 3a Uendelig geometrisk rekke

Oppgave 3a

Oppgave: En uendelig geometrisk rekke konvergerer mot 8. Bestem summen av de fire første leddene når \(a_1=4\). Vekting: Alle deloppgavene vektes likt, med unntakene som er oppgitt i eksamensinformasjonen. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke summen av en uendelig geometrisk rekke til å finne kvotienten og deretter summere de fire første leddene.

1. Bruk sumformelen for en uendelig rekke \[S_\infty=\frac{a_1}{1-k}=8\]
2. Sett inn første ledd \[\frac4{1-k}=8\]
3. Finn kvotienten \(4=8-8k\), så \(k=\frac12\).
4. Skriv de fire første leddene \[4,\ 2,\ 1,\ \frac12\]
5. Summer leddene \[S_4=4+2+1+\frac12=\frac{15}{2}\]
6. Kontroller mot delsumformelen \[S_4=4\frac{1-(1/2)^4}{1-1/2}=\frac{15}{2}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Solve(4/(1-k)=8,k)Resultat: \(k=\frac12\) 2 Sum(4*(1/2)^n,n,0,3)Resultat: \(\frac{15}{2}\) Tolkning: Kvotienten har absoluttverdi mindre enn 1, så den uendelige rekken konvergerer.

Digital kontroll i Python

Python 3.13 / SymPy 1.14 - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , Eq , solve , Rational , summation , simplify k = symbols ( 'k' , real = True ) solutions = solve ( Eq ( 4 / ( 1 - k ), 8 ), k ) ratio = solutions [ 0 ] terms = [ 4 * ratio ** i for i in range ( 4 )] partial_sum = sum ( terms ) n = symbols ( 'n' , integer = True , nonnegative = True ) formula_sum = summation ( 4 * ratio ** n , ( n , 0 , 3 )) print ( "Løsning for kvotienten =" , ratio ) print ( "De fire første leddene =" , terms ) print ( "Sum ved direkte addisjon =" , partial_sum ) print ( "Sum ved summasjon =" , formula_sum ) print ( "Kontroll =" , simplify ( partial_sum - Rational ( 15 , 2 ))) assert ratio == Rational ( 1 , 2 ) assert partial_sum == Rational ( 15 , 2 ) assert formula_sum == partial_sum 

 Kjørt utskrift Løsning for kvotienten = 1/2 De fire første leddene = [4, 2, 1, 1/2] Sum ved direkte addisjon = 15/2 Sum ved summasjon = 15/2 Kontroll = 0

Fasit: Summen av de fire første leddene er \(\frac{15}{2}=7{,}5\).

Vanlig feil: Å bruke 8 som summen av de fire første leddene. Tallet 8 er grenseverdien for hele den uendelige rekken. Sensorpunkt: Sensor ser etter at kvotienten først bestemmes fra uendelig sum, og deretter brukes i en endelig delsum. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 3b Aritmetisk rekke og symmetri

Oppgave 3b

Oppgave: I en aritmetisk rekke er \(a_1+a_4+a_7=114\). Bestem \(a_4\). Vekting: Alle deloppgavene vektes likt, med unntakene som er oppgitt i eksamensinformasjonen. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal utnytte at ledd som ligger like langt på hver side av et midtledd, har gjennomsnitt lik midtleddet. …