Matematikk R2 Eksamen våren 2014 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen vår 2014

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1a Derivasjon og kjerneregel

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=\sin(3x)\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt sinusfunksjon. Den ytre funksjonen er sinus, mens kjernen er \(3x\).

Steg 1 - Finn den ytre funksjonen

Den ytre funksjonen er \(\sin u\), og den har derivert \(\cos u\).

Steg 2 - Finn kjernen

Sett \(u=3x\). Da er \(u\prime=3\).

Steg 3 - Bruk kjerneregelen

\[\frac{d}{dx}\sin(u)=\cos(u)\cdot u\prime\]

Steg 4 - Sett inn kjernen

\[f\prime(x)=\cos(3x)\cdot3\]

Steg 5 - Skriv svaret ryddig

\[f\prime(x)=3\cos(3x)\]

Steg 6 - Rimelighetskontroll

Ved \(x=0\) er stigningstallet \(3\), som stemmer med at \(\sin(3x)\) vokser tre ganger raskere enn \(\sin x\) rundt origo.

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

G GeoGebra / CAS 1 Derivative(sin(3x),x) Resultat: \(3\cos(3x)\)

Tolkning: CAS bekrefter faktoren 3 fra kjerneregelen.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) f = sin ( 3 * x ) derivative = diff ( f , x ) expected = 3 * cos ( 3 * x ) print ( "Funksjon:" , f ) print ( "Derivert:" , derivative ) print ( "Forventet:" , expected ) print ( "Symbolsk kontroll:" , simplify ( derivative - expected )) print ( "Numerisk kontroll ved x=0:" , derivative . subs ( x , 0 )) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

Funksjon: sin(3*x) Derivert: 3*cos(3*x) Forventet: 3*cos(3*x) Symbolsk kontroll: 0 Numerisk kontroll ved x=0: 3

Fasit: \(f\prime(x)=3\cos(3x)\).

Vanlig feil: A glemme faktoren 3 fra derivasjonen av kjernen \(3x\). Sensorpunkt: Sensor ser etter synlig bruk av kjerneregelen og korrekt konstantfaktor. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1b Produktregel og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=e^{2x}\cos x\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere et produkt. Eksponentialfaktoren krever samtidig kjerneregelen.

Steg 1 - Del produktet i to faktorer

Sett \(u(x)=e^{2x}\) og \(v(x)=\cos x\).

Steg 2 - Deriver eksponentialfaktoren

\[u\prime(x)=2e^{2x}\]

Steg 3 - Deriver cosinusfaktoren

\[v\prime(x)=-\sin x\]

Steg 4 - Bruk produktregelen

\[(uv)\prime=u\prime v+uv\prime\]

Steg 5 - Sett inn

\[g\prime(x)=2e^{2x}\cos x-e^{2x}\sin x\]

Steg 6 - Faktoriser

\[g\prime(x)=e^{2x}\bigl(2\cos x-\sin x\bigr)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

G GeoGebra / CAS 1 Derivative(exp(2x) cos(x),x) Resultat: \(e^{2x}(2\cos x-\sin x)\)

Tolkning: CAS viser begge produktleddene og riktig minustegn.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy

 from sympy import symbols , exp , cos , sin , diff , factor , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) g = exp ( 2 * x ) * cos ( x ) raw_derivative = diff ( g , x ) factored = factor ( raw_derivative ) expected = exp ( 2 * x ) * ( 2 * cos ( x ) - sin ( x )) print ( "Funksjon:" , g ) print ( "Derivert, utvidet:" , raw_derivative ) print ( "Derivert, faktorisert:" , factored ) print ( "Forventet:" , expected ) print ( "Symbolsk kontroll:" , simplify ( raw_derivative - expected )) assert simplify ( raw_derivative - expected ) == 0 

Funksjon: exp(2*x)*cos(x) Derivert, utvidet: -exp(2*x)*sin(x) + 2*exp(2*x)*cos(x) Derivert, faktorisert: (-sin(x) + 2*cos(x))*exp(2*x) Forventet: (-sin(x) + 2*cos(x))*exp(2*x) Symbolsk kontroll: 0

Fasit: \(g\prime(x)=e^{2x}(2\cos x-\sin x)\).

Vanlig feil: A derivere faktorene hver for seg og multiplisere dem, i stedet for a bruke produktregelen. Sensorpunkt: Sensor ser etter produktregelen, faktoren 2 fra kjerneregelen og minustegnet fra cosinus. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2a Substitusjon

Oppgave 2a

Oppgave: Regn ut integralet \(\displaystyle\int 2x\sin(x^2)\,dx\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Integranden inneholder en sammensatt funksjon og den deriverte av kjernen. Substitusjon er derfor naturlig.

Steg 1 - Velg substitusjon

Sett \(u=x^2\).

Steg 2 - Finn differensialet

\[du=2x\,dx\]

Steg 3 - Bytt variabel i integralet

\[\int 2x\sin(x^2)\,dx=\int\sin u\,du\]

Steg 4 - Integrer sinus

\[\int\sin u\,du=-\cos u+C\]

Steg 5 - Sett tilbake

\[-\cos(x^2)+C\]

Steg 6 - Deriver kontrollsvaret

\[\frac{d}{dx}\bigl(-\cos(x^2)\bigr)=2x\sin(x^2)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

G GeoGebra / CAS 1 Integral(2x sin(x^2),x) Resultat: \(-\cos(x^2)\)

Tolkning: CAS gir en stamfunksjon; den generelle stamfunksjonen inkluderer konstanten \(C\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy

 from sympy import symbols , sin , cos , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = 2 * x * sin ( x ** 2 ) antiderivative = integrate ( integrand , x ) expected = - cos ( x ** 2 ) print ( "Integrand:" , integrand ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy:" , antiderivative ) print ( "Forventet stamfunksjon:" , expected ) print ( "Derivert av svaret:" , diff ( expected , x )) print ( "Kontrollforskjell:" , simplify ( diff ( expected , x ) - integrand )) assert simplify ( diff ( expected , x ) - integrand ) == 0 

Integrand: 2*x*sin(x**2) Stamfunksjon fra SymPy: -cos(x**2) Forventet stamfunksjon: -cos(x**2) Derivert av svaret: 2*x*sin(x**2) Kontrollforskjell: 0

Fasit: \(\displaystyle\int 2x\sin(x^2)\,dx=-\cos(x^2)+C\).

Vanlig feil: A glemme minustegnet i stamfunksjonen til sinus, eller a unnlate integrasjonskonstanten. Sensorpunkt: Sensor ser etter substitusjonen \(u=x^2\), korrekt differensial og \(+C\). Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2b Delvis integrasjon

Oppgave 2b

Oppgave: Regn ut integralet \(\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Produktet \(x\ln x\) passer til delvis integrasjon fordi logaritmen blir enklere nar den deriveres.

Steg 1 - Velg delene

Sett \(u=\ln x\) og \(dv=x\,dx\).

Steg 2 - Deriver og integrer

\[du=\frac1x\,dx,\qquad v=\frac{x^2}{2}\]

Steg 3 - Bruk formelen

\[\int u\,dv=uv-\int v\,du\]

Steg 4 - Finn en stamfunksjon

\[\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}\]

Steg 5 - Sett inn grensene

\[\left[\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}\right]_1^e=\left(\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}\right)-\left(0-\frac14\right)\]

Steg 6 - Forenkle

\[\int_1^e x\ln x\,dx=\frac{e^2+1}{4}\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

G GeoGebra / CAS 1 Integral(x ln(x),x,1,e) Resultat: \((e^2+1)/4\)

Tolkning: CAS bekrefter den eksakte verdien.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy

 from sympy import symbols , log , E , integrate , simplify , N x = symbols ( 'x' , positive = True ) integrand = x * log ( x ) antiderivative = integrate ( integrand , x ) value = integrate ( integrand , ( x , 1 , E )) expected = ( E ** 2 + 1 ) / 4 print ( "Integrand:" , integrand ) print ( "Stamfunksjon:" , antiderivative ) print ( "Bestemt integral:" , value ) print ( "Forventet eksakt verdi:" , expected ) print ( "Desimalverdi:" , N ( value , 10 )) print ( "Kontrollforskjell:" , simplify ( value - expected )) assert simplify ( value - expected ) == 0 

Integrand: x*log(x) Stamfunksjon: x**2*log(x)/2 - x**2/4 Bestemt integral: 1/4 + exp(2)/4 Forventet eksakt verdi: 1/4 + exp(2)/4 Desimalverdi: 2.097264025 Kontrollforskjell: 0

Fasit: \(\displaystyle\frac{e^2+1}{4}\).

Vanlig feil: A sette grensene inn for tidlig eller a glemme at \(\ln 1=0\) og \(\ln e=1\). Sensorpunkt: Sensor ser etter et fornuftig valg av \(u\) og \(dv\), samt korrekt grenseinnsetting. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 3 Vendepunkt

Oppgave 3

Oppgave: Funksjonen er gitt ved \(f(x)=e^{2x}-4e^x\), \(D_f=\mathbb R\). Bestem koordinatene til eventuelle vendepunkter pa grafen til \(f\). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor den andrederiverte skifter fortegn, og deretter beregne funksjonsverdien.

Steg 1 - Deriver en gang

\[f\prime(x)=2e^{2x}-4e^x\]

Steg 2 - Deriver en gang til

\[f\prime\prime(x)=4e^{2x}-4e^x=4e^x(e^x-1)\]

Steg 3 - Los likningen

Siden \(e^x>0\), ma \(e^x-1=0\). Dermed er \(x=0\).

Steg 4 - Kontroller fortegnsskifte

For \(x<0\) er \(e^x-1<0\), og for \(x>0\) er \(e^x-1>0\). Dermed skifter \(f\prime\prime\) fortegn.

Steg 5 - Finn y-koordinaten

\[f(0)=e^0-4e^0=1-4=-3\]

Steg 6 - Konkluder

Grafen skifter krumning i punktet \((0,-3)\).

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

G GeoGebra / CAS 1 Derivative(f(x),x,2) Resultat: \(4e^x(e^x-1)\) 2 Solve(4 exp(x)(exp(x)-1)=0,x) Resultat: \(x=0\)

Tolkning: Den andrederiverte har ett nullpunkt, og fortegnsskiftet bekrefter vendepunktet. …