Matematikk R2 Eksamen våren 2019 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk R2

Matematikk R2 - eksamen vår 2019

Løsningsforslag til eksamenssettet fra Utdanningsdirektoratet.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 / Oppgave 1a Derivasjon og kjerneregel

Oppgave 1a

Oppgave: Deriver funksjonen \(f(x)=3\sin(4x+1)+x\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (3 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal derivere en sammensatt sinusfunksjon og et lineært ledd. Faktoren 4 kommer fra kjerneregelen.

1. Del opp funksjonen Funksjonen består av \(3\sin(4x+1)\) og \(x\).
2. Deriver sinusleddet Den deriverte av \(\sin u\) er \(\cos u\cdot u\prime\).
3. Deriver kjernen For \(u=4x+1\) er \(u\prime=4\).
4. Ta med konstantfaktoren \(\frac{d}{dx}[3\sin(4x+1)]=3\cdot4\cos(4x+1)\).
5. Deriver x-leddet \(\frac{d}{dx}x=1\).
6. Samle svaret \[f\prime(x)=12\cos(4x+1)+1\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(3*sin(4*x+1)+x,x)Resultat: \(12\cos(4x+1)+1\) Tolkning: CAS bekrefter faktoren 12 og det konstante bidraget 1.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify , N x = symbols ( 'x' , real = True ) f = 3 * sin ( 4 * x + 1 ) + x derivative = diff ( f , x ) expected = 12 * cos ( 4 * x + 1 ) + 1 print ( "Funksjon f(x) =" , f ) print ( "Derivert f'(x) =" , derivative ) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Symbolsk kontroll =" , simplify ( derivative - expected )) print ( "f'(0) =" , derivative . subs ( x , 0 )) print ( "Numerisk f'(0) =" , N ( derivative . subs ( x , 0 ), 12 )) print ( "Numerisk f'(1) =" , N ( derivative . subs ( x , 1 ), 12 )) assert simplify ( derivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Funksjon f(x) = x + 3*sin(4*x + 1) Derivert f'(x) = 12*cos(4*x + 1) + 1 Forventet uttrykk = 12*cos(4*x + 1) + 1 Symbolsk kontroll = 0 f'(0) = 1 + 12*cos(1) Numerisk f'(0) = 7.48362767042 Numerisk f'(1) = 4.40394622556

Fasit: \(f\prime(x)=12\cos(4x+1)+1\).

Vanlig feil: Å glemme den indre deriverte 4 eller å glemme at \(x\) gir bidraget 1. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt kjerneregel, konstantfaktor og derivasjon av begge ledd. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 1b Produktregel og trigonometrisk identitet

Oppgave 1b

Oppgave: Deriver funksjonen \(g(x)=4\sin x\cdot\cos x\). Original poengangivelse: Oppgave 1 (3 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi kan bruke produktregelen direkte eller først skrive funksjonen som \(2\sin(2x)\). Begge metodene skal gi samme resultat.

1. Trekk ut konstanten Faktoren 4 beholdes utenfor derivasjonen.
2. Bruk produktregelen \((\sin x\cos x)\prime=\cos^2x-\sin^2x\).
3. Multipliser med 4 \(g\prime(x)=4(\cos^2x-\sin^2x)\).
4. Bruk dobbeltvinkel Identiteten \(\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x\) gir en kortere form.
5. Alternativ kontroll Siden \(4\sin x\cos x=2\sin(2x)\), blir den deriverte \(4\cos(2x)\).
6. Skriv svaret \[g\prime(x)=4\cos(2x)\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Derivative(4*sin(x)*cos(x),x)Resultat: \(4(\cos^2x-\sin^2x)=4\cos(2x)\) Tolkning: CAS gir produktregeluttrykket, som forenkles med dobbeltvinkelidentiteten.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , sin , cos , diff , simplify , trigsimp , pi x = symbols ( 'x' , real = True ) g = 4 * sin ( x ) * cos ( x ) raw = diff ( g , x ) expected = 4 * cos ( 2 * x ) print ( "Funksjon g(x) =" , g ) print ( "Derivert før trigonometrisk forenkling =" , raw ) print ( "Trigonometrisk forenklet =" , trigsimp ( raw )) print ( "Forventet uttrykk =" , expected ) print ( "Symbolsk kontroll =" , trigsimp ( raw - expected )) print ( "g'(0) =" , raw . subs ( x , 0 )) print ( "g'(pi/4) =" , simplify ( raw . subs ( x , pi / 4 ))) assert trigsimp ( raw - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Funksjon g(x) = 4*sin(x)*cos(x) Derivert før trigonometrisk forenkling = -4*sin(x)**2 + 4*cos(x)**2 Trigonometrisk forenklet = 4*cos(2*x) Forventet uttrykk = 4*cos(2*x) Symbolsk kontroll = 0 g'(0) = 4 g'(pi/4) = 0

Fasit: \(g\prime(x)=4\cos(2x)\).

Vanlig feil: Å derivere produktet som produktet av de deriverte, eller å miste faktoren 4. Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt produktregel eller en korrekt og begrunnet bruk av dobbeltvinkel. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2a Ubestemt integral og potensregel

Oppgave 2a

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int(x^4-x^2)\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (5 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi integrerer polynomet ledd for ledd med potensregelen og tar med integrasjonskonstanten.

1. Del integralet opp \(\int(x^4-x^2)dx=\int x^4dx-\int x^2dx\).
2. Integrer første ledd \(\int x^4dx=x^5/5\).
3. Integrer andre ledd \(\int x^2dx=x^3/3\).
4. Behold minusfortegnet Det andre leddet trekkes fra.
5. Legg til konstant Alle stamfunksjoner skiller seg med en konstant \(C\).
6. Skriv svaret \[\int(x^4-x^2)dx=\frac{x^5}{5}-\frac{x^3}{3}+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(x^4-x^2,x)Resultat: \(x^5/5-x^3/3\) Tolkning: GeoGebra oppgir én stamfunksjon; den generelle familien har i tillegg \(+C\).

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = x ** 4 - x ** 2 antiderivative = integrate ( integrand , x ) expected = x ** 5 / 5 - x ** 3 / 3 back = diff ( expected , x ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy =" , antiderivative ) print ( "Forventet stamfunksjon =" , expected ) print ( "Derivert tilbake =" , back ) print ( "Kontroll mot integranden =" , simplify ( back - integrand )) print ( "Kontroll av de to formene =" , simplify ( antiderivative - expected )) assert simplify ( back - integrand ) == 0 assert simplify ( antiderivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = x**4 - x**2 Stamfunksjon fra SymPy = x**5/5 - x**3/3 Forventet stamfunksjon = x**5/5 - x**3/3 Derivert tilbake = x**4 - x**2 Kontroll mot integranden = 0 Kontroll av de to formene = 0

Fasit: \(\displaystyle\frac{x^5}{5}-\frac{x^3}{3}+C\).

Vanlig feil: Å glemme å øke eksponenten før man deler, eller å utelate \(+C\). Sensorpunkt: Sensor ser etter korrekt potensregel for begge ledd og integrasjonskonstant. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2b Substitusjon

Oppgave 2b

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int4x\,e^{-x^2}\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (5 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Eksponenten \(-x^2\) har derivert \(-2x\), som nesten finnes som faktor i integranden. Derfor passer substitusjon.

1. Velg substitusjon Sett \(u=-x^2\).
2. Finn differensialet \(du=-2x\,dx\).
3. Omskriv faktoren \(4x\,dx=-2\,du\).
4. Bytt variabel \(\int4xe^{-x^2}dx=-2\int e^u du\).
5. Integrer \(-2\int e^u du=-2e^u+C\).
6. Sett tilbake \[\int4xe^{-x^2}dx=-2e^{-x^2}+C\]

Digital kontroll i GeoGebra/CAS

GeoGebra / CAS 1 Integral(4*x*exp(-x^2),x)Resultat: \(-2e^{-x^2}\) Tolkning: CAS bekrefter både fortegnet og faktoren 2.

Digital kontroll i Python (SymPy)

Python 3.12 / SymPy - faktisk kjørt

 from sympy import symbols , exp , integrate , diff , simplify x = symbols ( 'x' , real = True ) integrand = 4 * x * exp ( - x ** 2 ) antiderivative = integrate ( integrand , x ) expected = - 2 * exp ( - x ** 2 ) back = diff ( expected , x ) print ( "Integrand =" , integrand ) print ( "Stamfunksjon fra SymPy =" , antiderivative ) print ( "Forventet stamfunksjon =" , expected ) print ( "Derivert tilbake =" , back ) print ( "Kontroll mot integranden =" , simplify ( back - integrand )) print ( "Kontroll av stamfunksjoner =" , simplify ( antiderivative - expected )) assert simplify ( back - integrand ) == 0 assert simplify ( antiderivative - expected ) == 0 

 Kjørt utskrift Integrand = 4*x*exp(-x**2) Stamfunksjon fra SymPy = -2*exp(-x**2) Forventet stamfunksjon = -2*exp(-x**2) Derivert tilbake = 4*x*exp(-x**2) Kontroll mot integranden = 0 Kontroll av stamfunksjoner = 0

Fasit: \(-2e^{-x^2}+C\).

Vanlig feil: Å overse minusfortegnet fra den deriverte av \(-x^2\), eller å få faktoren \(-1/2\) i stedet for \(-2\). Sensorpunkt: Sensor ser etter en tydelig substitusjon og korrekt tilbakebytte. Få mer forklaring Del 1 / Oppgave 2c Delbrøkoppspalting

Oppgave 2c

Oppgave: Bestem integralet \(\displaystyle\int\frac{4}{x^2-2x-3}\,dx\). Original poengangivelse: Oppgave 2 (5 poeng). Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Nevneren kan faktoriseres i to lineære faktorer. Da kan brøken spaltes i to enkle logaritmeintegraler. …